Molt Honorable Sr. President

de la Generalitat Valenciana,

Excmo. y Mgfco. Sr. Rector,

excmas. autoridades,

queridos compañeros y amigos,

señoras y señores:

Introducción

Es para mi un honor haber sido propuesto para impartir la lección inaugural del curso 1998-99 en nuestra Universidad. Igualmente soy consciente de la dificultad que entraña preparar una lección de matemáticas para un acto tan solemne. Galileo Galilei dijo en Il Saggiatore:

Con esto, después de veinte siglos, Galileo actualizaba la advertencia de Platón que aparecía en la fachada de su Academia: «No entre aquí quien no sepa geometría».

Estos son sólo unos ejemplos de la importancia que han tenido las matemáticas (y en particular la geometría) a lo largo de la historia de la humanidad.

Todos comprendemos que las exigencias del protocolo me obligan a ser muy breve en mi exposición. Evidentemente, es imposible glosar de una manera pormenorizada y detallada muchos datos considerados importantes sobre un tema en tan corto espacio de tiempo. Sin embargo, voy a hacer un esfuerzo para procurar, primero, encuadrar Valencia en el ámbito matemático mediterráneo, cuna de nuestra cultura y, posteriormente, mostrar una rápida visión de la vida y obra de algunos matemáticos valencianos. Finalizaré dando una visión muy personal de la situación de las matemáticas en España en este momento.

Desde mi llegada a Valencia, siempre me ha llamado la atención el hecho de que existan en esta ciudad varias calles y plazas que llevan el nombre de insignes matemáticos valencianos o relacionados con Valencia. Me ha parecido ésta una buena ocasión para recordar, aunque sea muy brevemente, cuál ha sido la contribución a las matemáticas y a la sociedad de estos prohombres valencianos o relacionados con Valencia. Todos conocemos las calles del Padre Tosca, Jerónimo Muñoz, José Zaragozá, Jorge Juan, Ciscar y Ciscar, Matemático Marzal, Landerer y la plaza de Reyes Prósper. Todas ellas son muy conocidas, excepto quizás la dedicada al Padre Tosca, un minúsculo callejón sin salida y que es transversal a las Grandes Vías. Personalmente considero que a este buen matemático valenciano se le debiera haber dedicado otra calle más importante. También la Universidad de Valencia ha dado el nombre de Jerónimo Muñoz a un edificio de institutos universitarios ubicado en el complejo de Ademuz.

Aunque sólo sea a vista de pájaro, voy a intentar dar una visión global del desarrollo histórico de las matemáticas, primero a orillas del Mediterráneo y, posteriormente, en España y principalmente en Valencia.

¿Qué es la matemática?

La matemática es una rama del conocimiento acerca de la cual prácticamente todo el mundo tiene una idea formada, aunque ésta no es la misma para todas las personas. De la educación primaria se recuerdan algunos cálculos aritméticos, así como nombres y propiedades de algunas figuras geométricas simples. En este período, la matemática se reduce a las cuatro operaciones que permiten realizar los cálculos usuales de la vida ordinaria y a sus aplicaciones para la determinación de áreas y volúmenes sencillos. Si la matemática sólo es saber calcular, con la aparición de las calculadoras parece que ya no tiene sentido; pero para saber manejar las calculadoras es imprescindible saber algo de matemáticas.

En la enseñanza secundaria la matemática es ya bastante diferente. Ahora está compuesta por ecuaciones, axiomas, teoremas, logaritmos, etc., aunque muchas veces el alumno no sabe claramente para qué le pueden servir, aparte de para tener que examinarse y aprobar la asignatura.

En los estudios superiores se incluyen en el concepto de matemáticas otros contenidos que deben ser útiles para las diferentes profesiones, como pueden ser la estadística, el cálculo infinitesimal, la teoría de la decisión o la informática.

Por lo tanto, parece difícil poder dar una definición de matemática que satisfaga a todos los colectivos.

Analizando la historia de la humanidad, principalmente la historia del pensamiento en la antigua Grecia, se observa cómo los matemáticos y pensadores se han ocupado de analizar las formas óptimas en la geometría y en la naturaleza. Cabe plantearse la siguiente pregunta: ¿a qué se debe que la naturaleza produzca ciertas formas y por qué unas son preferidas a otras? Preguntas como ésta son las que en gran medida han motivado el nacimiento y determinado la importancia de las matemáticas. La palabra griega mathema (que significa ‘conocimiento’, ‘comprensión’, ‘percepción’) sugiere que el estudio de las matemáticas partió de la formulación de preguntas relativas al mundo. En un principio el desarrollo de la matemática es consecuencia del deseo de comprender la naturaleza y de resolver problemas prácticos. Las matemáticas, sin embargo, son mucho más que auxiliares de otras ciencias. Como afirmó C. F. Gauss, «es irrelevante si el conocimiento matemático se aplica a la teoría de números o al movimiento de una porción de materia, como un planeta». A través de la historia, los matemáticos se han dedicado a sus propias ideas, al margen de la importancia que pudieran encerrar para la sociedad; han gozado con la belleza de sus descubrimientos y con el reto que todo problema matemático comporta.

Bertrand Russell dice:

Veblen y Whitehead (1932), refiriéndose a la geometría ofrecieron la siguiente definición, que L. A. Santaló ha extrapolado:

Según señala L. A. Santaló, aunque esta definición pudiese parecer una humorada, es la que se utiliza en la práctica. En efecto, los alumnos de enseñanza primaria consideran como personas competentes a sus maestros y profesores, mientras que para los matemáticos profesionales lo son los responsables de las revistas de crítica bibliográfica universalmente aceptadas tales como Mathematical Reviews (Estados Unidos) y Zentralblatt für Mathematik (Alemania). Todos los artículos mencionados o analizados en estas revistas pertenecen, por definición, a la matemática y aquellos que, por omisión, no aparecen mencionados no son considerados como matemáticos.

Ortega y Gasset decía que la definición más verídica que de la filosofía se puede dar es: «una ocupación a la que el hombre occidental se sintió forzado desde el siglo vi antes de Cristo y que con extraña continuidad sigue ejercitando hasta el momento actual». Para la matemática, se podría extrapolar también la definición de Ortega, ya que el hombre la empezó a practicar desde el momento mismo que comenzó a razonar.

Sujetas siempre a condicionamientos históricos, la evolución de las matemáticas (y en general de cualquier teoría científica) siempre ha estado motivada por la observación, la experimentación y la discusión crítica. No es fácil construir nuevas teorías matemáticas que, aparte de ser interesantes en sí mismas, interesen a los demás y, a medio o largo plazo, tengan aplicaciones prácticas. Las leyes de la naturaleza tienen una realidad objetiva y tangible, y la misión de la ciencia es mostrar esta realidad. La herramienta más poderosa que ha encontrado la humanidad es la utilización de las matemáticas, adaptadas a cada momento y a cada circunstancia, aunque dependiendo también la exactitud de las teorías construidas del grado de los conocimientos matemáticos disponibles en aquel momento.

Todos los matemáticos son conscientes de la dificultad que entraña el hecho de crear una nueva teoría que supere en perfeccionamiento y aplicaciones a otra ya existente, o que, simplemente, pueda coexistir de modo que ambas se complementen. También, y debido casi siempre a razones ajenas a los matemáticos, en todas las civilizaciones y países se han sucedido, y frecuentemente alternándose, momentos de esplendor con otros de retroceso, tanto en la producción científica en general como de la matemática en particular. Si analizamos la evolución histórica de las ciencias podemos comprobar cómo las matemáticas, o lo que frecuentemente se entendía por esta disciplina, fueron la máquina que casi siempre arrastraba el tren de toda la ciencia y eran ellas las que iban marcando la velocidad, aunque mantener ese ritmo no siempre resultase fácil ni cómodo.

La defensa de la potencia y belleza de las estructuras matemáticas en varias ramas, en particular de la física, no debe conducirnos a confundir estas ciencias con las matemáticas: como dice Feynman, cada una ayuda a la otra. La matemática moderna, y en particular la geometría, ha sido considerablemente estimulada por los avances de la física, pero las matemáticas están basadas fundamentalmente en «la lógica de sus reglas de razonamiento».

Las ciencias experimentales –y en ellas incluyo las matemáticas– son verdaderas por sí mismas, pero no por presiones sociales, ya que la naturaleza y sus leyes no dependen de nuestra mente. Me atrevería a decir más: las diferentes teorías matemáticas que se han construido a lo largo de la historia (desde las más sencillas a las más complicadas), y las que se descubrirán en el futuro, están ahí, como dijo en una ocasión S. S. Chern; lo que es necesario es «descubrirlas» y así sacarlas a la luz.

Si bien la experimentación y la observación diaria de los fenómenos del mundo físico han sido el motor principal para la formulación de determinadas teorías matemáticas, también es cierto que la abstracción ha permitido la construcción de otras igualmente ciertas y coherentes. Por ejemplo, a lo largo de la historia podemos ver que han sido muy numerosos los intentos por parte de los miembros de la comunidad matemática de llegar a probar el quinto postulado de Euclides a partir de los restantes. No ha sido hasta la mitad del siglo xix cuando se ha demostrado la independencia completa de todos los postulados y que, si se suprimía el quinto, también era posible construir nuevas geometrías tan consistentes como la de Euclides. Nacen así las geometrías no euclídeas que tanta importancia tienen en la actualidad tanto en el área de las matemáticas como en la de la física.

Como decía Cantor, las matemáticas son enteramente libres en su desarrollo, y sus conceptos, que sólo están ligados por la necesidad de no ser contradictorios, deben estar coordinados con conceptos anteriores introducidos mediante definiciones precisas. Las matemáticas aparecen así inventadas como un simple juego cuyas reglas establecemos nosotros de antemano, y su utilidad proviene de que si encontramos unos objetos físicos o mentales que satisfacen los postulados, relativos a una estructura, se podrán deducir de una manera lógica, para esos objetos, las consecuencias estudiadas anteriormente por los matemáticos y relativas a dicha estructura. Según Nicolas Bourbaki, la esencia de las matemáticas aparece así como el estudio de las relaciones entre los objetos que sólo son conocidos y descritos mediante algunas de sus propieda-des, precisamente aquellas que se consideran como los axiomas en la base de la teoría.

En matemáticas la intuición está desacreditada como método de prueba. Pero es, en cambio, el soporte de los axiomas y, por consiguiente, de toda la teoría. La intuición es así la fuerza creadora que sugiere relaciones inesperadas e incita a adivinar relaciones abstractas, de valor en operaciones reales. La verdad matemática reside así únicamente en la deducción lógica a partir de premisas establecidas arbitrariamente por los axiomas. Por ejemplo, el concepto de número entero parece formarse como abstracción de la correspondencia entre objetos sólidos, y la esencia de este concepto es que cada objeto material ocupa un lugar en el que no puede estar otro sin superponerse.

Aunque, como hemos visto anteriormente, las matemáticas nacen como una necesidad de explicar científicamente los fenómenos naturales, debemos poner de manifiesto que una cosa es el mundo real y otra muy diferente las matemáticas, aunque estén relacionados y tengan numerosos puntos de contacto. Por esta razón, cuando se estudian ciertos modelos matemáticos, es preciso tomar algunas precauciones, pues, en algún caso, se puede pensar que se están adquiriendo conceptos del mundo, lo cual puede no suceder. De lo que sí se puede estar completamente seguro es de conocer y poder analizar el modelo matemático. A lo largo de la historia algunos conceptos matemáticos han sido muy difíciles de comprender y asimilar, pese a su aparente presencia en el mundo físico. Por ejemplo, el concepto del infinito. Cuando Cantor trabajaba en la elaboración de su aritmética transfinita, sus investigaciones fueron en general bien recibidas por la comunidad matemática, aunque algunos de sus miembros (como Kronecker) mostraban reticencias. La objeción fundamental era la reserva que se tenía para la aceptación del infinito actual; es decir, que se consideraba que los números enteros positivos formaban un conjunto con una existencia real y objetiva, algo que está ahí. El otro concepto que podemos imaginarnos de infinito es el de infinito potencial o la posibilidad de poder obtener números tan grandes como nos los imaginemos. Ya varios siglos antes Galileo observaba que el conjunto de los enteros positivos se puede poner en correspondencia biunívoca con los enteros que son cuadrados perfectos, a pesar de que este conjunto pueda parecer menos numeroso que el de los enteros positivos. Galileo deducía así cómo los atributos igual, mayor o menor no son aplicables a cantidades infinitas. De esta manera Galileo se anticipaba a los desarrollos matemáticos aparecidos en nuestro siglo. Este ejemplo pone también de manifiesto la dificultad de la construcción de una teoría matemática correcta.

Otro ejemplo que demuestra la dificultad del pensamiento matemático nos viene dado por el problema de poder realizar la cuadratura del círculo utilizando solamente la regla y el compás. Los primeros intentos para conseguirla se localizan en la antigua Grecia, en el siglo v antes de Cristo. A partir de entonces, y durante más de dos mil años, numerosos matemáticos han empleado un inmenso caudal de energía para tratar de obtener una respuesta satisfactoria. En el siglo de Pericles, algunas personas tenían una verdadera obsesión por este problema. Ello motivó que Aristófanes, el célebre comediógrafo griego, que tan dado era a la burla, hablara de la necesidad de hacer la cuadratura del mundo. Tendrían que pasar varios siglos para que se pudiese demostrar analíticamente que dicha cuadratura no era posible.

A veces el tipo de abstracción que se utiliza en las matemáticas es de una naturaleza muy profunda, pero una vez formalizado el modelo matemático es posible obtener con frecuencia resultados prácticos interesantes. Así, por ejemplo, J. von Neumann, en los años veinte, se ocupa de los fundamentos de las matemáticas, introduciendo una famosa axiomática de la teoría de conjuntos, edificada sobre el concepto primitivo de clase. Von Neumann trabajó también en problemas de hidrodinámica en los cuales necesitaba manejar ciertas ecuaciones en derivadas parciales con soluciones difíciles de analizar. Sintió entonces la necesidad de conseguir resultados numéricos para la interpretación de estas soluciones, cuya observación mostrara un camino que condujera a la creación de una teoría. Así, se ve obligado a examinar problemas del cálculo con la ayuda de máquinas electrónicas, lo que aportó importantes descubrimientos sobre computación. Según su amigo, el también matemático S. Ulam: «Las aportaciones de von Neumann a la teoría de la computación estaban inspiradas en los artículos que escribió sobre los fundamentos de las matemáticas». Esto pone de manifiesto una vez más que incluso la parte más abstracta de la matemática puede conducir a aplicaciones prácticas de gran interés.

Si analizamos la historia de la ciencia, vemos que las matemáticas nunca han estado aisladas del resto de las disciplinas. Es particularmente interesante la interrelación, tan profunda y antigua entre la física y las matemáticas, que hace difícil concebir la una sin la otra. En este sentido, son muchas las teorías físicas que han generado conceptos e invariantes matemáticos (los monopolos han originado invariantes en variedades diferenciables; las integrales de Feynman de la teoría cuántica de campos los han proporcionado en la teoría de nudos, etc.). También la modelización y resolución de problemas físicos conlleva, cada vez más, la utilización de elementos matemáticos, muchos de ellos de carácter muy abstracto, así como el planteamiento de nuevos problemas y generalizaciones.

Otro hecho distintivo del siglo en que nos ha tocado vivir ha sido que las matemáticas han invadido otras ramas del conocimiento, lo que puede ser debido a que, como escribió Miguel de Guzmán (1983) en su discurso de ingreso en la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales: «el número es la herramienta a disposición de nuestro pensamiento para hacerse con las normas de actuación de la naturaleza». En el mismo discurso, transcribía además la siguiente frase de Filolao: «El mundo es quien armoniza en el alma las cosas con su percepción, haciéndolas cognoscibles unas con otras, proporcionándoles corporeidad».

En justa reciprocidad, las matemáticas han sido permeables a la influencia de las otras ciencias, por lo que el profesor Sixto Ríos también terminaba así su discurso de ingreso en la Real Academia de las Ciencias en 1961:

En 1968, el profesor Darío Maravall escribía en su discurso de ingreso en la misma Academia:

En los comienzos del desarrollo de la historia de las ciencias, de las artes y de las letras los conocimientos eran de carácter interdisciplinar. Las barreras entre las diferentes disciplinas fueron apareciendo a medida que aumentaba el progreso de las ciencias y de las letras en general. Es a partir del siglo xviii cuando se hace más notable esta diferenciación. Sin embargo, debemos tener en cuenta que la ciencia o las manifestaciones artísticas de cualquier naturaleza no deben estar en compartimentos, debe existir interdisciplinariedad lo cual, evidentemente, enriquecerá el desarrollo de las diferentes ramas del conocimiento. Como casos curiosos y muy conocidos de la formación humanística de algunos científicos, y de la formación científica de algunos humanistas, tenemos los del insigne matemático riojano Julio Rey Pastor, quién llegó a ocupar un sillón en la Real Academia de la Lengua; Echegaray, profesor de matemáticas, primero en una escuela técnica superior y posteriormente en la Facultad de Ciencias de la Universidad Complutense, y que alcanzó el Premio Nobel de literatura.

Evidentemente, es muy difícil dar una definición de las matemáticas y que ésta sea universalmente aceptada. Quizás la siguiente podría ser bastante aceptable:

El nacimiento de la matemática

en el entorno mediterráneo

Las matemáticas en Babilonia y en Egipto

Las matemáticas son tan antiguas como el hombre. Desde que éste tuvo conocimiento del mundo exterior y de su persona, tuvo necesidad de contar y medir, lo cual constituye la base de las matemáticas. No se puede fijar una fecha determinada para el origen de las matemáticas, como tampoco se puede atribuir este origen a un hombre en particular. Frente a la tradición griega que atribuía a Palamedes (personaje mitológico) el invento de los números, Platón ironizaba: «¿De manera que Agamenón, antes de Palamedes, no sabía cuántos pies tenía?» (República 522e).

Los primeros testimonios materiales de la existencia del pensamiento matemático son ciertos dibujos y símbolos trazados sobre ladrillos o tabletas sirias y babilónicas, entre los siglos xxx y xx antes de nuestra era. Su contenido ha sido la fuente principal del conocimiento de sus matemáticas en la antigüedad. Es a partir de éstos primeros testimonios matemáticos cuando se ha podido deducir, por ejemplo, la existencia de un sistema de numeración de base 60 y algunas operaciones aritméticas, además de datos astronómicos y construcciones geométricas.

Más o menos por la misma época, anterior al primer milenio antes de Cristo, aparecieron en Egipto los primeros documentos matemáticos, en este caso escritos sobre papiros. El papiro Rhind, cuyo autor fue el escriba Ahmes, recopila toda una colección de problemas y reglas «para escudriñar la naturaleza y llegar a conocer todo lo que existe y todo misterio y todo secreto». Este encabezamiento prueba el poder que se atribuía a las matemáticas para resolver problemas y desvelar misterios, todo ello circunscrito a un ambiente de ciencia y magia. Este papiro incluye problemas de diferentes tipos, alguno de los cuales continua abierto hoy en día. También se encuentran en él nociones de áreas y de volúmenes elementales, algunos de carácter eminentemente práctico. Otros problemas son de carácter puramente teórico. Es importante señalar este aspecto para resaltar que, desde antiguo, la curiosidad por la resolución de problemas de ingenio ha sido un factor que ha contribuido a la creación matemática, tanto o más que las aplicaciones prácticas.

En resumen, todo parece indicar que las matemáticas babilónica y egipcia, de antes del primer milenio anterior a nuestra era, eran matemáticas empíricas, usadas como herramienta no sólo para el comercio y para la construcción, sino también para proponer y resolver problemas ingeniosos como los que hoy se plantean en la llamada «matemática recreativa». Sin embargo no hay constancia de que existiese el razonamiento matemático en el sentido actual de ciencia deductiva, con conceptos abstractos y generales. A pesar de lo cual no cabe duda de que sus conocimientos matemáticos, empíricos o razonados, fueron el germen del florecimiento matemático griego alrededor del siglo vii antes de Cristo.

Las matemáticas en la Grecia clásica

Existe unanimidad al afirmar que las matemáticas se desarrollaron en Grecia a lo largo de los siglos vii y vi antes de Cristo, una vez que los griegos formalizaron un alfabeto más o menos uniforme, aunque los historiadores modernos admiten que nuestros conocimientos sobre la ciencia de esa época carecen de un sólido fundamento. No existen fuentes primarias ya que los acontecimientos sólo fueron registrados mucho tiempo después de que hubieran sucedido. En este sentido, es casi seguro que las anécdotas e historias referentes a las dos figuras cimeras de la matemática primitiva, Tales de Mileto (hacia 624-548 aC) y Pitágoras de Samos (alrededor de 580-500 aC), sean más o menos legendarias. De lo que parece no haber duda es de que el saber matemático comúnmente atribuido a los primeros griegos era ya conocido por los egipcios y los babilonios muchos siglos antes. Sin embargo, los griegos, que se asentaron de extremo a extremo en toda la región mediterránea, desempeñaron un papel fundamental en la conservación, enriquecimiento y difusión de ese conocimiento. Pero una de sus primeras y principales aportaciones fue el haber utilizado el poder de abstracción. Así, la recta había dejado de ser una cuerda tensa y un rectángulo no era ya el contorno de una parcela. Asimismo, parece totalmente seguro que fueron los filósofos griegos los primeros en darse cuenta de que un enunciado matemático debía de ser demostrado mediante deducción lógica a partir de ciertos hechos fundamentales llamados axiomas. Hasta entonces, las demostraciones matemáticas se habían realizado a partir de la experimentación. El hecho de haber comprendido que una proposición matemática no quedaba demostrada exhibiendo un número suficientemente grande de casos en los que se verificaba, supuso un progreso de la máxima trascendencia en la historia de la ciencia en general y de las matemáticas en particular.

Para poner de manifiesto la diferencia entre las matemáticas griegas y las anteriores (egipcia o babilónica) bastará con recordar los tres problemas clásicos que tanto preocuparon a los griegos y a generaciones posteriores; problemas que, sin embargo, hubieran resultado incomprensibles para las civilizaciones basadas en la experimentación. Son problemas de carácter meramente intelectual, planteados a partir de especulaciones teóricas profundas y que nada tenían que ver con las necesidades prácticas. Estos problemas eran:

2. La trisección del ángulo. También en este caso hubo que esperar a la aparición de la geometría de Descartes para poder resolver el problema algebraicamente.

Estos problemas son la prueba evidente de la revolución que supuso para la historia del pensamiento el paso de la matemática empírica, dedicada a resolver problemas prácticos, a la matemática como estructura del pensamiento, con problemas puramente ideales, propios de filósofos y pensadores. A pesar de su dificultad, estos problemas se difundieron por la sociedad, perduraron a través de los siglos y sirvieron de estímulo para el desarrollo de las matemáticas y, por extensión, de toda la ciencia.

Tales de Mileto y el formalismo matemático

Se concede a Tales el mérito de la invención de la demostración matemática rigurosa. Sea verdad o no, no cabe duda de que los griegos sabían que una proposición matemática era verdadera si había sido demostrada. Tales de Mileto era mercader y probablemente había viajado por Egipto, donde había entrado en contacto con escribas y calculistas de la época, de los que aprendió matemáticas, con sus realizaciones prácticas y sus vinculaciones con la astronomía, la religión y la magia. Los egipcios tenían razones prácticas para desarrollar fórmulas geométricas exactas: debían medir sus tierras regularmente, porque la crecida anual del Nilo borraba casi todas las marcas limítrofes. Se cuenta que comparando la sombra de un bastón y la sombra de las pirámides, Tales midió, por semejanza, sus alturas respectivas. La proporcionalidad entre los segmentos que las rectas paralelas determinan en otras rectas dio lugar a lo que hoy se conoce como el teorema de Tales.

En este punto se puede marcar el límite simbólico del comienzo de las matemáticas, puesto que ya se efectúan generalizaciones de la realidad conocida a otras situaciones. Por ejemplo, los griegos ya tenían la noción de línea curva, que definían como el rastro dejado por un punto al desplazarse por el espacio.

Pitágoras y su concepción del universo

Los sabios de la antigüedad griega utilizaron sus conocimientos sobre circunferencias y esferas para crear un modelo matemático que describiera los movimientos de las estrellas y de los planetas. Pitágoras suponía que las estrellas estaban fijadas a una esfera de cristal que daba diariamente una vuelta sobre si misma en torno a un eje que pasaba a través de la Tierra y que los siete planetas –Sol, Luna, Mercurio, Marte, Júpiter, Venus y Saturno– estaban cada uno anclado a su propia esfera móvil. Esta idea, que se convertiría en la teoría del movimiento de los cuerpos celestes, fue el fundamento de la astronomía hasta el siglo xvi.

Pitágoras nació en la isla de Samos y conoció a Tales, quién le animó a desplazarse hasta Egipto para estudiar matemáticas. Viajó por Egipto durante varios años y allí adquirió una sólida formación mística y religiosa. De vuelta a Samos fundó una sociedad religiosa y filosófica. Por razones políticas, abandona Grecia y se instala, con su escuela, en Crotona, al sur de Italia. La sociedad que fundó tenía un régimen muy estricto y un rígido código de conducta. Superado un período de prueba, se permitía a los iniciados en la secta oír al maestro, oculto tras una cortina. Años más tarde se les permitiría ver a Pitágoras directamente. Los pitagóricos creían que, merced a las matemáticas, su espíritu podría ascender a través de las esferas celestiales hacia un mundo mejor.

Son muchos los resultados matemáticos atribuidos a esta secta, pero entre ellos destaca el teorema de Pitágoras, el cual todos hemos estudiado en la geometría elemental. Como una consecuencia natural de este teorema, los pitagóricos descubren los números irracionales; por ejemplo, el número raíz de 2 existe, ya que es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles de lado 1. El descubrimiento de estos nuevos números desestabilizó totalmente sus antiguas concepciones. Cuenta la leyenda que, en un principio, intentaron mantener oculta una verdad tan ingrata incluso que su descubridor, Hipaso de Metaponto, fue arrojado al mar durante un viaje. Quizás por primera vez en la historia de la ciencia, el pensamiento abstracto había conducido inexorablemente a una conclusión que reducía a añicos las creencias de todos.

Muchas fueron las suspicacias que levantaron el carácter secreto de la sociedad pitagórica y sus rituales místicos, que se decía había importado de Egipto. Hacia el año 500 aC, Pitágoras se vio obligado a huir a Tarento y después a Metaponto, donde fue asesinado. Sus seguidores continuaron sus enseñanzas en diversos lugares aproximadamente durante un siglo.

Los pitagóricos estaban convencidos de que la clave para la comprensión del orden del universo se encerraba en los números, que para ellos se reducían al conjunto de los enteros positivos. Pitágoras había descubierto una notable relación entre los números y la música. Al pulsar la cuerda tensa de una guitarra se emite un sonido musical y la altura de la nota producida depende de la longitud de la cuerda pulsada. La sorprendente aportación de Pitágoras consistió en relacionar los tonos de los sonidos con razones de números enteros. Los pitagóricos llegaron a la conclusión de que todas las relaciones de la naturaleza eran expresables mediante relaciones de números.

Tras la disolución de la escuela pitagórica, muchas otras escuelas continuaron el estudio de la geometría. Uno de los principios de las matemáticas –y posiblemente de la mente humana– consiste en construir estructuras cada vez más complejas a partir de estructuras simples. Los griegos concibieron así curvas más complicadas a partir de la recta y de la circunferencia, tales como la cicloide, la epicicloide o la hipocicloide. Analizando las distintas formas de tomar la intersección de un plano con un cono, construyeron las secciones cónicas. Los principales resultados relativos a secciones cónicas fueron descubiertos por Apolonio de Pérgamo (262-190 aC) y están descritos en sus ocho libros, Secciones cónicas. Los cuatro primeros libros eran una revisión de trabajos debidos a Euclides que se han perdido para siempre. El descubrimiento de las secciones cónicas se atribuye a un discípulo de Platón, cuya escuela floreció durante el siglo iv aC en la ciudad estado de Atenas.

Platón y la Academia

Platón, discípulo de Sócrates, fundó su escuela, la Academia, en una zona sagrada de Atenas llamada Hekademeie. La escuela de Platón era como una pequeña universidad donde el filósofo y sus amigos impartían enseñanzas a sus discípulos. Dos de los más grandes matemáticos de la antigüedad, Eudoxo de Cnidos (408-355 aC) y Teateto (420-367 aC), fueron miembros de esta Academia. Aunque Platón no era matemático, tenía las matemáticas en tan alta estima que exigía a sus alumnos que dedicasen diez años de su vida a su estudio y cinco más a la filosofía. Dice la leyenda que la inscripción grabada en la entrada de la Academia rezaba: «Nadie entre aquí que no sepa geometría». Para Platón la única matemática que debía ser objeto de estudio era aquella que se propusiera «elevar el conocimiento del alma hasta el conocimiento del bien [...], una ciencia de la cual ningún arte ni ningún conocimiento pudiera prescindir [...], conocimiento indispensable para aquel que quiera ser hombre». La otra matemática, la de los «mercaderes y traficantes que la cultivan con la vista puesta en las compras y las ventas» era considerada como una herramienta para los trabajos manuales, ajena a los centros académicos y a la filosofía. Estos dos aspectos conocidos actualmente como matemática pura y matemática aplicada, estuvieron bien delimitados en los primeros tiempos, pero más tarde se fueron interrelacionando y sus fronteras se volvieron cada vez más borrosas, hasta el momento actual, en el que las matemáticas forman una unidad.

Se dice que Platón propuso a sus discípulos explicar el movimiento de los cuerpos celestes mediante una combinación de diversos movimientos circulares y esféricos. Consideraba a la astronomía un simple juego de los geómetras, para quienes era fuente de interesantes problemas. Los griegos conocían los irregulares movimientos del Sol y de los planetas, aunque no podían explicarlos de una manera sencilla. Apolonio propuso que las órbitas celestes deberían ser descritas mediante la combinación de movimientos circulares. Del desarrollo de esta teoría se encargó Hiparco, el más grande astrónomo de la antigüedad. Su obra nos es conocida merced a la célebre Colección Matemática escrita por Ptolomeo en la que se completaba el sistema ptolemeico o geocéntrico.

No es sorprendente que los astrónomos griegos situaran en el centro de nuestro universo a la Tierra y no al Sol, ya que lo que nosotros observamos es el movimiento del Sol alrededor de nuestro planeta. Sin embargo, ya en el siglo ii antes de Cristo, Aristarco enseñaba que la Tierra y los demás planetas describían órbitas circulares en torno a un Sol fijo; esto es, el sistema heliocéntrico. Fueron varias las razones por las que sus hipótesis no fueron aceptadas. Entre otras, cabe señalar que los griegos no sabían y, en consecuencia, no podían explicar, cómo los objetos podían permanecer estables sobre la Tierra si ésta se movía, y porqué las nubes no quedaban rezagadas. Estos mismos argumentos volverían a ser utilizados casi dos mil años mas tarde cuando Copérnico propuso de nuevo la teoría del heliocentrismo.

El gusto exclusivo de Platón por las matemáticas puras perjudicó, sin duda, a las matemáticas aplicadas o prácticas. También debemos tener en cuenta que en esa época no se disponía de un sistema de numeración y cálculo manejable, ni de aparatos de observación y precisión con suficiente sensibilidad. Casi con seguridad, en el caso de que Platón y sus discípulos dispusiesen de ellos, se hubieran interesado por aplicaciones prácticas que de este modo les pasaron inadvertidas.

Euclides y Arquímedes

Son muy escasas las noticias históricas que se tienen sobre la vida de Euclides. Proclo dice que vivió en el período 306-285 aC, en tiempos de Ptolomeo I, quién le invitó al museo de Alejandría. Con bastante seguridad, parece que se puede afirmar que Euclides estudió en Atenas, donde conoció los últimos resplandores de su foco científico, pasando luego a Alejandría bajo la protección de los lágidas. Su obra más notable, a la cual debe su inmortalidad, es la titulada Elementos que equivale a lo que hoy sería un tratado y que ha llegado íntegra hasta nuestros días. Los Elementos rivalizan, por su difusión, con los libros más famosos de la literatura universal: la Biblia, La divina comedia, el Fausto y el Quijote, privilegio tanto más excepcional en cuanto que se trata de una producción científica, no asequible, por tanto, a las grandes masas de lectores. Pero su rigor lógico, en el cual reside parte de la génesis del moderno pensamiento matemático, y la unidad de su exposición, hacen de ella un cuerpo de doctrina único, que ha sido de lectura obligada para todos los estudiantes de geometría durante veintitrés siglos y que hoy sigue siendo la base de tal disciplina en la enseñanza secundaria.

La precisión de los enunciados, el mecanismo de las demostraciones, la concatenación de los teoremas y el deseo, tan felizmente alcanzado, de reducir al mínimo los fundamentos de las deducciones, convierten los Elementos en un todo orgánico en el que la geometría aparece como una ciencia autónoma, independiente de la aritmética. Ésta toma de aquella los recursos que necesita para las demostraciones y la nomenclatura adecuada a los entes de la razón que trata. En la lógica matemática es conocido con el nombre de sistema sintético el conjunto de las proposiciones euclídeas cuya trabazón lógica permite pasar de lo desconocido a lo conocido y de lo particular a lo general. En los Elementos, las particularidades están tratadas analíticamente, ya que el geómetra alejandrino ordena sus proposiciones de tal modo que la base y los materiales de cada una están dados por los que les preceden, y no introduce ningún ente en un razonamiento sin antes haber demostrado su existencia mediante una construcción. Este método exige ciertas afirmaciones previas, cuya exactitud se considera como evidente, y ciertas construcciones, también previas, cuya ejecución se supone conocida; es decir, las definiciones, los postulados y los axiomas.

Las definiciones euclídeas son todas nominales por cuanto no expresan la esencia de las cosas ni corresponden a síntesis de elementos inteligibles, tendiendo sólo a la claridad del lenguaje.

Los postulados son verdades de carácter práctico, compatibles entre sí (aunque Euclides no lo demuestra), que al pedir que se admitan como posibles algunas construcciones, definen los entes geométricos, los cuales representan, al mismo tiempo, una elección entre ciertas sensibilidades lógicas.

Los axiomas son verdades evidentes por si mismas. Ahora bien, como la evidencia es subjetiva y, por tanto, varía de una persona a otra, Euclides los enuncia sin preocuparse de analizar si son suficientes o de si hay alguno superfluo. Por lo tanto, no forman un todo indisoluble desde el punto de vista lógico.

La diferencia entre los postulados y los axiomas consiste en que Euclides, y con él todos los geómetras griegos, pide la aceptación de los primeros para incluirlos en el sistema de los segundos. Según Hobbes:

La cuestión de los postulados o axiomas (palabras sinónimas para el matemático de hoy) tiene un aspecto metafísico del que es difícil prescindir. Se establecen arbitrariamente sin otra restricción que la de ser compatibles e independientes; esto es, de modo que no existan contradicciones lógicas internas y que ninguno se deduzca a partir de los restantes.

La actitud actual en las matemáticas se parece al espíritu clásico de Euclides en el sentido de que creemos que basta con la inteligencia para toda creación científica cuyo desarrollo se verifica según un proceso puramente racional. Si cambiamos o suprimimos coherentemente algunos postulados podremos seguir obteniendo geometrías coherentes. Éste no es un problema fácil, ya que es complicado decidir sobre la necesidad o no de un postulado o sobre su dependencia de otro u otros. A lo largo de la historia se ha visto como muchos matemáticos han intentado, en vano, probar que el famoso quinto postulado de Euclides era una consecuencia de los restantes. No fue hasta mediados del siglo pasado cuando se vio la independencia de todos los postulados y la posibilidad de la construcción de nuevas geometrías. Habían nacido así las geometrías no euclídeas (elíptica e hiperbólica) con la misma consistencia que la euclídea, pero independientes de ésta.

Los Elementos constan de trece libros, a los que casi todos los editores agregan otros dos, cuya autenticidad es dudosa. De lo que no cabe duda alguna es de que la historia de los Elementos es la historia de la geometría, desde su redacción hasta el Renacimiento. En Vera (1970) se encuentra una versión en castellano de una gran parte de esta obra universal.

Pero Euclides no sólo se dedicó a la geometría. Se habían definido los números primos y Euclides demostró que había infinitos, aunque debido a la inexistencia de un sistema de numeración adecuado le habría resultado difícil dar ejemplos de números primos relativamente grandes, por ejemplo, superiores a un millón. Notemos que para los griegos los números superiores a diez mil eran ya prácticamente inmanejables, debido a los métodos de cálculo rudimentarios y enojosos que utilizaban.

La ordenación y el rigor que se encuentra en la obra de Euclides fue fundamental para desarrollos posteriores, puesto que indicaba el camino adecuado para el avance seguro y la conducción correcta de la imaginación hacia lo desconocido. Un primer fruto fue la obra de Arquímedes, quien conjuntó de una manera magistral la metodología euclidiana con la inventiva y la audacia necesarias para tratar problemas prácticos y crear nuevas líneas de pensamiento.

Arquímedes fue además un genio de la mecánica. Entre sus inventos más célebres se encuentra el tornillo de Arquímedes, utilizado en muchos países, entre ellos, España, para extraer agua de los pozos. Construyó también planetarios que, pese a la lejanía en el tiempo, eran tan populares como lo son en la actualidad.

Sin embargo, no fueron sólo los inventos «pacíficos» los que dieron a Arquímedes su gran fama en la antigüedad, sino también su contribución a la defensa de Siracusa contra los romanos. Este septuagenario matemático había dotado al ejercito de dicha ciudad de armas muy modernas, las cuales causaron el desconcierto total entre los soldados romanos. Los historiadores de la época no describen los espejos ustorios, pero sí lo hacen los posteriores. Fueron mencionados por primera vez por Galeno (129-199). Si realmente existieron, debió tratarse de alguna especie de espejo parabólico. Según cuenta la leyenda, fueron capaces de concentrar los rayos de sol en una zona muy reducida y de esta forma, dirigidos hacia la armada romana, provocaron el incendio de las naves. El ejercito de Siracusa fue así capaz de destruir la armada de los invasores. Se sabe que es matemáticamente posible la construcción de tales artefactos. Experimentalmente, se ha demostrado que la leyenda es creíble, como probó en 1747 un naturalista francés, el conde de Buffon. Sin embargo, Siracusa cayó en manos romanas a causa de una traición y Arquímedes fue asesinado. Marcelo, a modo de desagravio, mandó erigir para Arquímedes una tumba sobre la cual se veía una esfera circunscrita por un cilindro que simbolizaba, de acuerdo con sus deseos, su teorema favorito sobre los volúmenes del cono, el cilindro y la esfera. Cuando Cicerón visitó Sicilia pudo ver todavía el monumento que se ha perdido para la historia.

Aunque no de una manera explícita, Arquímedes sí ha contribuido a la aplicación de las matemáticas. En efecto, en el Equilibrio, trataba el problema de la palanca, que, junto a la cuña, el plano inclinado, el rodillo y la polea, componía la colección de las sencillas máquinas utilizadas en la antigüedad para construcciones tan asombrosas como las pirámides de Egipto, los templos griegos y los acueductos romanos. Se sirvió libremente de la noción de baricentro o centro de gravedad de un cuerpo como si la conociese y le fuese familiar. Casi veinte siglos más tarde, S. Stevin y Galileo Galilei construyen la teoría de la estática; esto es, una teoría del equilibrio para complicados sistemas mecánicos.

La obra de Euclides fue continuada por muchos otros matemáticos en especial por los de la escuela de Alejandría; sin embargo, la historia de las ciencias cambiaría totalmente con la venida del imperio romano. Pese a que los romanos no se han distinguido particularmente por su afición a las matemáticas, quizás obligados por las construcciones prácticas, también desarrollaron diversos conceptos arquitectónicos. Entre ellos destacan el arco y la bóveda. Como ejemplo, podemos citar los numerosos acueductos diseminados por todo el mundo romanizado.

Quizás los edificios construidos en la Europa medieval sean todavía más impresionantes y espectaculares que los de los romanos. La invención del arco ojival (basado en la elipse) supuso la introducción de un nuevo principio de construcción. De hecho, permitió la construcción de las majestuosas catedrales góticas, que tan admiradas son por su elegancia y su belleza.

Si bien el imperio que fundara Alejandro Magno desapareció con él, la idea de imperio universal que él encarnara y que había tratado de realizar arraigó en el campo de la cultura, pues la cultura griega, favorecida por un rápido declive del imperio persa, se extendió fácilmente por todo el Oriente, helenizándolo. Merced a las campañas de Alejandro, se estableció un fecundo intercambio entre Oriente y Occidente, mientras que los centros intelectuales se extendieron y se desplazaron. Si Atenas ya había perdido su hegemonía política, en este período pierde también su supremacía cultural y en el mundo griego de Oriente surgen nuevos focos de irradiación de la cultura griega, entre los que sobresale Alejandría.

Al universalizarse, el idioma griego contribuyó al intercambio y a la difusión de la cultura, sirviendo de vehículo a todos los intelectuales del mundo helenizado y favoreciendo el progreso de la ciencia. Por otra parte, los poderes políticos dispensaron en esta época una amplia protección a las artes y a las ciencias. Tal protección fue singularmente importante para estas últimas, pues permitió no sólo ofrecer a los científicos condiciones de seguridad y de bienestar que facilitaran su dedicación exclusiva a la investigación y a la enseñanza, sino que permitió la adquisición de materiales e instrumental necesarios para la tarea científica. Modelo de estos mecenas fue la corte de los Ptolomeos en Egipto. En Alejandría se construyeron la biblioteca y el museo, donde centenares de sabios y estudiosos enseñaban, trabajaban e investigaban.

Evidentemente, en los cuatro últimos siglos anteriores a nuestra era se alcanzó una cima en la historia de las matemáticas. De ellas se tenía un concepto muy elevado que compartían todas las clases sociales desde los esclavos hasta los reyes.

Las matemáticas en la Edad Media

Desde el punto de vista científico, podríamos subdividir la Edad Media en cuatro grandes períodos:

La decadencia

El filósofo Scheler (1938) clasifica los saberes en saber práctico, saber culto y saber de salvación. Si aplicamos esta clasificación a las matemáticas, podemos afirmar que el saber de los egipcios era práctico, ya que les interesaba la solución de problemas concretos generados por su organización social. El mundo griego es un ejemplo típico del saber culto en todos los aspectos, pero de manera especial en el matemático. Se estudiaba esta ciencia para entender la naturaleza y poner a prueba hasta dónde podía llegar el hombre con su actividad razonadora. La finalidad última era comprender el universo y captar su armonía.

Los últimos representantes del saber culto por excelencia fueron Apolonio de Perga (siglo ii aC), autor de libros sobre cónicas no superados durante bastantes años, Eratóstenes de Cirene (siglo ii aC) que ya midió el radio de la Tierra, utilizando para ello el conocimiento de la distancia entre Alejandría y Siena (ciudades situadas en un mismo meridiano) y sus latitudes respectivas, y Claudio Ptolomeo, ya en el siglo ii, autor del Almagesto, obra en la que se sistematizan todos los conocimientos astronómicos de la época. Dicha obra se basa en el sistema geocéntrico y estuvo en vigor hasta ser cuestionada por Copérnico, catorce siglos más tarde. Después de otros autores menos importantes, que habitualmente eran recopiladores, se entra en la Edad Media, durante la cual, gran parte del mundo occidental pasó a interesarse únicamente por el saber de salvación.

El saber matemático en el mundo romano era, como se ha dicho en el capítulo anterior, de tipo práctico. Pero con la decadencia de la civilización romana y la caída del imperio de Occidente (siglo v) se observa en los escritores romanos cierta reacción favorable hacia el saber culto. Así, a mediados del siglo v, el cartaginés M. Capella escribe una enciclopedia sobre las siete artes liberales entre las que, como es bien sabido, aparecen la geometría, la aritmética y la astronomía. Éstas interesaban a la Iglesia pues eran necesarias para efectuar el cómputo del calendario eclesiástico. Puesto que su uso era tan limitado, no se sentía la necesidad de aumentar los conocimientos adquiridos, ni de promover las ciencias por sí mismas. Bastaba con hacer inventario de la herencia del pasado en enciclopedias más o menos extensas. Por ello no hubo matemática original, y únicamente se desarrollaron en grado sumo las ciencias de las cosas divinas. Las otras ciencias, en particular las matemáticas, se redujeron a la reproducción de las obras clásicas de los griegos, a veces tergiversadas y escasamente comprendidas. Entre otras, destaca la famosa enciclopedia Etimologías de San Isidoro de Sevilla, quien considera todas las disciplinas de su época y su clasificación. En ella se da igualmente la definición de algunos términos técnicos.

El siguiente recopilador notable ya no procede de la cuenca del Mediterráneo. Se trata de Beda el Venerable (672-735) y su obra Sobre la naturaleza de las cosas pretendía recopilar todo el saber de la época. Por primera vez en la historia el saber matemático, aunque rudimentario, se extendió a los países nórdicos y tuvo influencia en el llamado Renacimiento carolingio, sobre todo gracias a un discípulo de Beda: Alcuino de York, consejero de Carlomagno. Éste era considerado como uno de los hombres más sabios de su tiempo. Se debe a Alcuino un escrito «para desarrollar el ingenio de los jóvenes», el cual era una mezcla de problemas aritméticos y geométricos, en general muy simples, adornados de cuestiones místicas y recreativas que poco tenían que ver con las matemáticas. Así, es fácil deducir el bajo nivel matemático al que se había llegado en Europa en la Alta Edad Media. Todavía descendió más el nivel cultural cuando, a la muerte de Carlomagno, desaparece también el Renacimiento carolingio.

Las matemáticas entraron en tal decadencia que ni siquiera se regresó al nivel adquirido en siglos anteriores. Un ejemplo típico de ello es la geometría. No se sabe si fue debido a su título o a la autoridad de Platón, pero lo cierto es que los Elementos de Euclides figuraron como texto de geometría durante siglos, aunque con frecuencia eran difícilmente comprendidos. Ésta era una obra para matemáticos formados y para investigadores, pero no para matemáticos prácticos o para jóvenes estudiantes. La eficacia de los Elementos de Euclides para la enseñanza comenzaría a cuestionarse en el siglo xviii. En efecto, Claireaut dice:

También, en el siglo xviii, los miembros de la Academia de Ciencias de París MM. Delambre y Prony escribían:

Recordemos en este sentido que la diferencia entre las matemáticas para investigadores o matemáticos formados y las matemáticas para usuarios, a los que sólo interesa entender los resultados, y la proporción de ambas tendencias en la enseñanza elemental, ha provocado polémicas y discrepancias en todos los ámbitos sociales a lo largo de la historia.

El sistema de numeración indoarábigo

El aporte oriental a las matemáticas durante el primer milenio de nuestra era proviene de tres centros culturales distintos: chino, hindú y árabe. Distintos fueron también su valor y su influencia. En este sentido la matemática china fue la que dejó menos huella. En efecto, de los documentos existentes se desprende que ésta no difiere esencialmente de la de los antiguos pueblos orientales en lo que se refiere al nivel de los conocimientos. Por el contrario, a la matemática hindú se deben aportes originales relevantes, así como una notable influencia sobre la matemática árabe y, por intermedio de ésta, sobre la matemática occidental. Sin duda, hay en la matemática hindú una propensión mayor hacia los números que hacia las figuras; de ahí que sus contribuciones más importantes se refieran a la aritmética, al álgebra y a la trigonometría. Si nos fijamos en el período comprendido entre los siglos iv y xii de nuestra era, las obras más antiguas son de carácter astronómico y de evidente influencia griega. Su importancia matemática, además de su influencia en el mundo islámico, reside en el hecho de que en estas obras aparecen por primera vez, y son estudiadas posteriormente, algunas de las hoy llamadas funciones circulares, fundamentales para el desarrollo posterior de las matemáticas.

Además de los aportes individuales de varios matemáticos indios, se deben a la matemática hindú dos aportes colectivos de gran trascendencia: la contribución al simbolismo algebraico y el sistema de numeración de base 10. Usaban ya los números positivos y negativos (créditos y débitos), así como el cero como símbolo operatorio.

Aunque al simbolismo de los números que utilizamos en la actualidad se les conoce como cifras arábigas, los árabes han sido meros transmisores, no creadores, ya que en la India se utilizaba este sistema anteriormente, si bien con una simbología diferente. Sin embargo, no se sabe con certeza cómo nacieron estas cifras y hay varias leyendas al respecto. La introducción y la generalización del uso del sistema de numeración indoarábigo necesitaron siglos. Los algebristas árabes (entre los que destacó Al-Khuwarizmi, en el siglo ix, de cuyo nombre deriva la palabra algoritmo, y de cuyo libro, escrito en árabe, Hisrab al jabar wa-al-mugabala, se cree que deriva la palabra álgebra) lo fueron utilizando poco a poco y, a partir de ellos y del gran centro cultural de Córdoba, con Abderramán III, en el siglo x, se fue extendiendo por el sur de Europa.

Los mosaicos de la Alhambra de Granada

La matemática árabe merece una reflexión especial. El movimiento histórico denominado islamismo ha desempeñado un papel singular en el desarrollo de la ciencia durante el primer milenio de la era cristiana. Cuando a mediados del siglo viii los árabes, que entonces dominaban la mayor parte del mundo civilizado desde el Pamir hasta los Pirineos, detienen sus conquistas bélicas y su expansión política, la fisonomía del islam se modifica. El contacto y las relaciones que los árabes establecieron con pueblos y regiones que eran o habían sido centros de grandes culturas, unido a ciertos factores aportados por el propio islam como la tolerancia respecto de algunos pueblos conquistados y la atmósfera de libre discusión y de libertad de opinión, así como la existencia de numerosas cortes islámicas que protegían y favorecían los estudios científicos, contribuyó a que a finales del siglo viii el mundo islámico se encontrara en posesión de todos los elementos necesarios para el desarrollo de una gran cultura científica, que alcanzó el máximo esplendor en los siglos ix, x y xi. Como ejemplo podemos señalar los conceptos matemáticos que aparecen en la ornamentación de la Alhambra de Granada.

Todos estamos familiarizados con los motivos ornamentales geométricos usados en la decoración de paredes y techos. Los palacios orientales contienen una gran abundancia de éstos. Nosotros tenemos del mismo modo los mosaicos o teselaciones simétricas del plano euclídeo. Aunque podemos imaginar o incluso crear muchos; si nuestro propósito es conocer el grupo de simetrías de los mosaicos y si queremos conocer el grupo formado por las isometrías planas que los dejan invariantes, las reglas por las que se rigen son bastante restrictivas. Desde este punto de vista E. Fedorov a finales del siglo pasado y por otra parte G. Polya a comienzos del actual probaron que dentro de la teoría de grupos finitos hay exactamente 17 grupos posibles. Cada uno de éstos permite la división del plano en celdas congruentes que, agrupadas y coloreadas convenientemente, dieron lugar a los mosaicos clásicos y sirvieron al holandés M. C. Escher (1898-1972) de inspiración para sus famosos grabados, los cuales son tan interesantes desde el punto de vista artístico como del matemático. En la línea de la escuela de Escher hay en la Comunidad Valenciana un renombrado pintor, J. M. Iturralde, cuya obra geométrica es digna de admirar.

Durante mucho tiempo se creyó que en la ornamentación de la Alhambra de Granada sólo se encontraban 13 de estos grupos. Como señala J. M. Montesinos (1987) no es difícil obtener 16. El mérito del descubrimiento del que faltaba es de J. M. Montesinos y de R. Pérez Gómez, (Pérez Gómez, 1987). Mosaicos de estos tipos aparecen también en muchos otros lugares de la geografía española. Ello nos da idea del conocimiento empírico que los maestros de la ornamentación tenían de las matemáticas. A pesar de que no habían desarrollado la teoría de los grupos finitos, los conocían y los utilizaban.

La época de la transmisión

Como se ha dicho anteriormente, en plena Edad Media, el panorama científico en Occidente era desolador. Lo único que destacaba era el interés por conservar las obras antiguas, traducirlas al latín o al árabe, y guardarlas celosamente en las bibliotecas de las instituciones religiosas y políticas. Este hecho, no cabe duda, debe ser motivo de agradecimiento por parte de todas las generaciones posteriores. Por otro lado, cuando a partir del siglo xi la cultura árabe comienza a mostrar signos de decadencia, en el mundo cristiano asoma un despertar cultural. En Oriente el renacimiento bizantino no mostró mayor originalidad, en especial en matemáticas, pero en Occidente ese despertar, lento y con dudas en sus comienzos, adquirió posteriormente fuertes impulsos para empalmar ya con el Renacimiento de los siglos xv y xvi y, más tarde, con el movimiento cultural de la Edad Moderna.

En sus comienzos ese proceso de renovación cultural fue estimulado, y en cierto sentido acelerado, por influencias árabes que se ejercieron a través de un triple conducto: las costas del Mediterráneo oriental durante las cruzadas, Sicilia y España.

Estos contactos permitieron a los cristianos reconocer el valor del saber acumulado por los árabes, iniciándose entonces una era de transmisión de ese saber a través de traducciones del árabe, del latín, del hebreo y, en menor medida, del griego. Sin lugar a dudas, el centro más activo de traducciones fue España; así, no era difícil encontrar parejas de traductores que trabajaban para hacer las traducciones entre las diferentes lenguas. Sólo en la escuela de traductores de Toledo, dirigida por Gerardo de Cremona, siglo xii, se han catalogado al menos ochenta y siete obras traducidas.

Esta obra de traducción puso a disposición de las personas cultas occidentales las culturas griega y árabe, lo que unido al nacimiento de las primeras universidades, dio frutos en el campo de las matemáticas.

Esa influencia se nota ya en Gerberto de Aurillac, más tarde Papa con el nombre de Silvestre II. Debido a su influencia en la Iglesia, Gerberto fue uno de los principales impulsores de la utilización del sistema de numeración indoarábigo y de la divulgación del astrolabio. Su matemática era muy simple: casi se puede decir que la humanidad había retrocedido 2.000 años (Millás-Vallicrosa, 1931).

Algunos problemas matemáticos, como el cálculo de las fechas de las fiestas móviles de la Iglesia, estaban vinculados a la religión; otros trataban sobre curiosidades, ya en la frontera entre la magia y la mística. A finales del siglo x se funda el monasterio de Ripoll, que fue un centro cultural importante, con una excelente biblioteca, con la que Gerberto tuvo mucha relación.

A partir de Sicilia, quien más contribuyó a la difusión de la cultura árabe en Europa fue, sin duda alguna, el italiano Leonardo Pisano, llamado Fibonacci (1170-1240) quien, después de viajar durante algunos años por el norte de África, al volver a Italia en 1202, y «para que a la raza latina no le faltara por más tiempo aquel conocimiento» publicó su Liber abaci, en el que se utilizan y se enseñan a utilizar sistemáticamente la numeración decimal y las cifras indoarábigas.

Por el posible interés que puedan tener para los amantes de la historia de la ciencia a orillas del Mediterráneo, no podemos dejar de citar a Pedro Alfonso y a Savasorda. El primero de ellos fue protegido de Alfonso V de Aragón. Al parecer, quería entender las teorías matemáticas de los árabes pero se encontraba con importantes problemas. Sin embargo, resulta interesante su famosa Disciplina clericalis, en la que establece una clasificación de las artes liberales diferente a las dadas anteriormente. Para él serían lógica, aritmética, geometría, medicina, música, astronomía y filosofía o gramática. En Cataluña hay que reservar un lugar de honor para Savasorda, que fue autor de una notable obra en hebreo. Sirvió para iniciar en la ciencia árabe a las comunidades judías en el sur de Francia y contribuyó, por su colaboración con Platón de Tívoli (1134-1145), a difundir obras clásicas. Ambos escribieron en Latín el Liber embadorum, un tratado de agrimensura dedicado al cálculo de superficies. Es la primera obra en latín en la que se tratan las ecuaciones de segundo grado y que será utilizada posteriormente por Leonardo de Pisa.

A principios del siglo xiii ejercieron su influencia sobre la cultura de Occidente tres nuevos factores: la fundación de las universidades, el redescubrimiento de Aristóteles y la actividad docente de las órdenes mendicantes.

Casi con total seguridad, la constitución de las universidades está relacionada con la relajación del sistema feudal, el aumento de población y sus movimientos sociales. Era suficiente con que los estudiantes y los maestros fuesen bastantes en número para agruparse en una corporación. Hasta este momento la filosofía había sido esclava de la fe. Sin embargo, la situación cambia radicalmente en este siglo xiii al estudiarse la obra de Aristóteles. Este estudio fue particularmente importante en la Universidad de París. Las discusiones trascienden al terreno doctrinal y se plantea así con toda su crudeza el dilema razón-fe. Además, las nociones recién adquiridas se difunden por las universidades gracias a las traducciones. Por otra parte, este enriquecimiento del saber determina la renovación parcial de los manuales escolares y la aparición de lo que podríamos llamar el movimiento enciclopédico del siglo xiii.

El renacimiento. Tartaglia y los desafíos matemáticos

El renacimiento científico

El avance del conocimiento científico en general, y en particular el de las matemáticas, no ha sido siempre fácil. Además de las dificultades propias y naturales del razonamiento científico, existían, por una parte un rechazo social, debido quizás a una reacción ante lo desconocido, y, por otra, unas «verdades» o dogmas preestablecidos contra los que hubo que luchar. Uno de los ejemplos más importantes de este enfrentamiento fue el proceso abierto a Galileo Galilei. Recordemos que las ideas aristotélicas de que todo es y todo obra en virtud de un fin preestablecido habían sido asumidas por la Iglesia. Por el contrario, Galileo representó el comienzo del pensamiento científico moderno, en el que una proposición es verdad sólo cuando ha sido demostrada. Durante gran parte del siglo xv y el xvi, la tradición de origen clásico va a continuar siendo la base general del cultivo de las diferentes áreas científicas e intelectuales en la Europa occidental. Sin embargo, comienzan a adquirir importancia los planteamientos que se le enfrentaban, los cuales van a contribuir notablemente a crear las condiciones adecuadas para la aparición de la ciencia y del pensamiento moderno.

La dialéctica entre la tradición y la renovación estaba asociada a las grandes corrientes de una manera tan compleja que no es posible efectuar interpretaciones simplistas. La recuperación humanística fue histórico-crítica, y de ella surgió necesariamente la invitación a nuevas investigaciones. En este sentido, Luis Vives se expresaba con una gran claridad:

La galaxia Gutenberg

Otro factor a tener en consideración y que va a cambiar profundamente los principios de la actividad intelectual medieval, favoreciendo la actividad de los humanistas y la reestructuración del mapa del conocimiento, fue la invención de la imprenta. Este hecho cambiaría el ritmo de la historia. Según Santaló (1994):

La versión latina de Campano fue la primera edición impresa de los Elementos de Euclides, en 1482, pero fue especialmente a lo largo del siglo xvi cuando se imprimieron las obras maestras clásicas, de manera que al finalizar ese siglo, ya en idioma original o ya en versión latina, estaban a disposición de los estudiosos los escritos más importantes de Arquímedes, Apolonio, Diofanto, etc. conocidos en aquel momento. Aparecen igualmente impresos los primeros escritos matemáticos de los contemporáneos, lo que permite abrir unas posibilidades inmensas a la comparación de datos y resultados por un gran número de especialistas.

En el siglo xv se produce otro acontecimiento cultural que influye directamente en el desarrollo de la matemática, la conjunción que se dio, sobre todo en suelo italiano, entre la ciencia, la técnica y el arte, bajo el signo común del humanismo y que puede simbolizarse en una de las figuras cumbres del Renacimiento: Leonardo da Vinci.

Algunas notas sobre la obra matemática de Leonardo da Vinci

Casi con toda seguridad, Leonardo da Vinci puede ser considerado como uno de los genios universales que más han contribuido al desarrollo científico y artístico de la humanidad. Le correspondió vivir en una época en la que todo, en particular el pensamiento humano, estaba supeditado a la teología. Sin embargo, su gran poder de observación y creatividad desbordaron su entorno.

Aunque Leonardo es más conocido universalmente por su pintura que por su restante obra científica, sus contribuciones a otras artes, por ejemplo la escultura, y a ciencias como ingeniería, mecánica, física, biología, arquitectura, anatomía, geología y matemáticas fue decisiva. Considera a estas últimas como la llave de la naturaleza. Aunque su obra conocida en esta especialidad no está escrita con suficiente rigor ni los resultados obtenidos fueron decisivos en aquel momento, merece, sin embargo, ser considerado en la historia del pensamiento matemático universal por sus prodigiosas intuiciones, en particular, las de carácter geométrico. Algunas de ellas se plasmaron en realidades en los siglos posteriores. Personalmente pienso que en ello radica gran parte de la genialidad de Leonardo. A lo largo de la historia de la humanidad todos, o casi todos, los descubrimientos científicos han sido fruto de una intuición de mentes preparadas para analizar, interpretar y desarrollar fenómenos que a otros pudiesen parecerles banales o intranscendentes. Y Leonardo poseía esa prodigiosa intuición.

Leonardo consideró la ciencia desde un aspecto fundamentalmente visual. Desde este punto de vista, intentó geometrizar los objetos, para así poder explicar, con un lenguaje matemático, todos los fenómenos naturales. Todo lo observa, lo analiza, lo experimenta, siempre que ello le fuera posible, cambia los datos, los modelos, las situaciones, etc. Creía que todos los sucesos físicos se podían estudiar con modelos y, por tanto, construye infinidad de ellos: desde el de la aorta con sus válvulas, para así poder comprender mejor la corriente sanguínea, hasta el del mar Mediterráneo en miniatura, en el que estudia y analiza las corrientes de los ríos que desembocan en él, utilizando para ello movimientos de partículas, tales como polvos o manchas de tinta. Sin saberlo, estaba profundizando en el estudio de trayectorias de partículas, que tanta importancia han tenido en los siglos posteriores y sobre todo en la actualidad. En sus obras pictóricas y escultóricas, los dibujos y las superficies ya poseen una precisión científica y una perspectiva inigualables.

Leonardo divide la geometría en tres partes:

Se preocupa Leonardo por comparar lo grande y lo pequeño, el macrocosmos y el microcosmos, y entender el origen del universo para poderlo explicar racionalmente. En el concepto de punto diferencia perfectamente las concepciones material y geométrica.

Poseía una mente dotada de gran espíritu interdisciplinario. Cuando construye un modelo, una máquina o una teoría no lo hace en función de dicho objeto, siempre existirá una razón natural que le habrá impulsado a ello. Así, por ejemplo, profundiza en el estudio de la mecánica para poder aplicarla, entre otras situaciones, a explicar las fuerzas musculares. Uno de los grandes sueños de toda su vida, que no pudo ver realizado, fue el de que a semejanza de los pájaros, otros cuerpos más pesados que el aire pudiesen volar. También en este caso, todos sus intentos estuvieron basados en diseños y modelos construidos utilizando la geometría.

Desde el punto de vista de la geometría pura, estudia y complementa las obras de Euclides y Arquímedes, entre otros. A través de sus códices conocidos, nos han llegado algunos dibujos de un gran interés. Analiza y estudia de una forma exhaustiva los centros de gravedad de las figuras geométricas. Merece especial atención el estudio que hace de las transformaciones de unas figuras en otras conservando el mismo volumen; así como el incipiente estudio empírico de superficies curvas. Sus métodos son siempre originales, artificiosos, laboriosos y a veces inconclusos, como una gran parte de su obra, ya que frecuentemente era inconstante en su trabajo. Quizás ello fuese debido al gran número de ocupaciones que tenía siempre.

Durante una estancia suya en Milán colaboró con el matemático Luca Pacioli en su obra Divina proportione. Leonardo dibujó además las figuras del primer libro de esta obra. Su admiración por las matemáticas era tan grande que llegó a escribir: «No existe ciertamente nada donde las ciencias matemáticas no puedan ser aplicadas».

Analizando en profundidad toda su obra, se puede considerar a Leonardo da Vinci como el ingeniero y pintor, así le llamaban en la corte de Ludovico el Moro, y como a aquél que ha contribuido poderosamente al desarrollo de la civilización con las diversas y fructíferas aportaciones tanto de carácter artístico como científico que hizo a la humanidad. Quizás podamos afirmar, sin temor a equivocarnos, que Leonardo vivió en una época que no le correspondía, puesto que se adelantó en varios siglos a la suya.

Las matemáticas en la Valencia del Renacimiento

Es muy difícil, por no decir imposible, precisar con exactitud el nacimiento de una universidad clásica. López Piñero y Navarro Brotons en su documentada obra Història de la ciència al País Valencià señalan que la de Valencia comienza a funcionar en 1502. En estos momentos la Universitat de València-Estudi General está celebrando su quinientos aniversario. En cualquier caso, lo fundamental es que ha funcionado durante cinco siglos y lo sigue haciendo. Como señalan los mismos historiadores, el primer catedrático de matemáticas del Estudi General de Valencia fue Tomás Durán. En 1555 había ya dos cátedras, una de matemáticas y otra de astronomía.

Desde un punto de vista histórico, es interesante recordar la opinión que Luis Vives tenía de las matemáticas y de la astronomía. En su tratado Sobre las disciplinas señala que las matemáticas «aprovechan para muchas circunstancias de la vida real y para el conocimiento de la filosofía». Con relación a la astronomía, Vives señala sus aplicaciones a la geografía y a la navegación, «que sin estos conocimientos iría errante e insegura entre los más graves y grandes peligros», pero también rechaza su uso para «adivinar el futuro y las cosas oscuras», ya que eso «atrapa al espíritu humano con su enorme vanidad, y lo lleva poco a poco hacia la impiedad». En cambio, la considera necesaria para «las descripciones y determinaciones del tiempo, sin los cuales los trabajos del campo, que rigen toda la vida, no se podrían llevar a término».

La obra científica de Jerónimo Muñoz

Ya en el siglo xv, pero sobre todo en la primera mitad del siglo xvi, se multiplicaron en Italia las cátedras de matemáticas. En España esta disciplina se imparte con carácter secundario en la facultad de artes, a menudo como parte de la cátedra de física (filosofía natural). Durante el siglo xvi las grandes universidades (Salamanca, Alcalá, Valladolid, etc.), cuentan con notables profesores de matemáticas que, además, mostraron una apertura renacentista. Desgraciadamente, se cayó en una total postración y se rehusó participar en la revolución científica que invadió casi toda Europa.

No obstante, dentro de este panorama general surgen figuras científicas muy interesantes. Por ejemplo, el valenciano Jerónimo Muñoz. Nació en Valencia y estudió en la universidad de esta ciudad. Parece probable que ampliara estudios en el Collège de France (París) y en la Universidad de Lovaina, lo que le permitió ponerse en contacto con la ciencia que se cultivaba en los centros más prestigiosos del momento. Fue catedrático en la universidad de Valencia (hebreo y matemáticas) y con posterioridad en la de Salamanca (astronomía y matemáticas). Aparte de su faceta de «gran maestro», tanto en ciencias como en humanidades, adquirió merecida fama como astrónomo, ya que tuvo la oportunidad de observar y estudiar la famosa supernova de 1572, la que marcó una etapa importante en el proceso del abandono de la cosmología aristotélica y medieval, y la progresiva sustitución de ésta por la idea de un universo infinito, o indefinido, que rige la física y la astronomía modernas. Jerónimo Muñoz llegó a afirmar que «en el cielo se producen alteraciones y corrupciones» lo que, veladamente, equivalía a dudar de la doctrina aristotélica. Insistía en que no debía darse más crédito a Aristóteles que a los matemáticos quienes, debido a su formación, están más capacitados para dictaminar. Sin embargo, no se decidió abiertamente por la teoría de Copérnico. La obra de Muñoz sería citada posteriormente por Galileo Galilei, lo que pone de manifiesto la categoría científica de este matemático, astrónomo y humanista valenciano.

En Navarro Brotons-Roselló (1991) se puede leer parte de una carta que Jerónimo Muñoz le remitió a un amigo. En ella que se pone de manifiesto la situación de la ciencia en España en aquel momento:

Éste es un testimonio impresionante y de gran interés para valorar la situación de la ciencia en la España de la Contrareforma. Se puede apreciar igualmente que el mecenazgo científico en la España renacentista estaba muy por debajo del que existía en otros países como Italia o Francia.

Tartaglia y los desafíos matemáticos

La resolución de las ecuaciones de primer y de segundo grado ya se conocía en la antigüedad, posiblemente, desde los tiempos de los egipcios. Por otra parte, se presentaban frecuentemente problemas que desembocaban en ecuaciones de tercer y cuarto grado, las cuales fueron resueltas por los algebristas italianos del siglo xvi. Esta contribución se realizó en la primera mitad de ese siglo, aunque es difícil precisar la fecha: en esa época en Italia los matemáticos tenían la costumbre de desafiarse entre sí, proponiéndose unos a otros interesantes problemas, con cuya solución pretendían más que una compensación económica alcanzar prestigio y fama. Esta es la razón por la cual a menudo ocultaban sus descubrimientos matemáticos.

Frecuentemente, estas competiciones eran públicas, como lo fue una, realmente espectacular, que tuvo lugar en Milán en 1548 entre Ferrari y Tartaglia, y que fue presenciada por numerosos expertos y curiosos. La mayoría de los problemas que se proponían en estas competiciones estaban vinculados a las ecuaciones de tercer grado. Estos torneos matemáticos son un ejemplo de una pasión común a todos los creadores ya que, como decía Rey Pastor en 1932: «un sabio sin vocación apasionada, incapaz de sentir el latido heroico que acompaña a toda creación, es un alma en pena, como un sacerdote sin fe».

Rey Pastor también añadía:

Como complemento a lo dicho por Rey Pastor, podemos añadir que los hombres de ciencia creadores no contabilizan las jornadas de trabajo que invierten en la obtención de sus creaciones. Sin embargo, como señala Santaló (1994): «en ocasiones se ofrecían premios para obtener la comprensión de los hombres vulgares».

Los desafíos matemáticos tuvieron una larga tradición. Como señala también Santaló en el libro citado anteriormente, otro famoso ejemplo de un concurso fue el de la braquistocrona (curva de caída de un cuerpo en un tiempo mínimo entre dos puntos no situados en una misma vertical), propuesto en 1696 por J. Bernouilli «a todos los matemáticos del mundo», con la promesa de «honor, alabanza y aplauso» para quien lograra resolverlo. Quien lo consiguió años más tarde fue el propio J. Bernouilli.

Las actuales Olimpiadas Matemáticas

En cierto modo los torneos matemáticos de la Italia del siglo xvi se pueden considerar como el antecedente histórico de las actuales Olimpiadas Matemáticas. Éstas surgen a finales del siglo pasado en Europa central. El primer torneo matemático para jóvenes del que tengo noticias en este período se celebra en 1894 en Hungría y era conocido como la Competición Húngara Eotvos. Estas competiciones se extendieron rápidamente a muchos otros países, y se ramificó su modalidad. En España la primera Olimpiada Matemática de ámbito nacional se disputó en 1959 y desde entonces se viene celebrando de manera ininterrumpida. La primera Olimpiada Internacional tuvo lugar en 1959, año en que Rumania invitó a participar a algunos países limítrofes (Hungría, Bulgaria, Polonia, Checoslovaquia y la República Democrática Alemana). Inglaterra, Francia e Italia lo hicieron por primera vez en 1974, y la primera participación española fue en Francia en 1983. A la última Olimpiada Internacional acudieron más de 80 países. En este momento sólo faltan por incorporarse algunos países de África central. Cada año, los cinco primeros clasificados en la fase nacional de la Olimpiada española participan, junto con los ganadores de los restantes países, en la Olimpiada Internacional, y los seis primeros clasificados lo hacen en la Iberoamericana. En algunos países (Rumania, Polonia, Corea, Argentina, etc.) la celebración de las Olimpiadas Matemáticas, en sus distintas fases, constituye un acontecimiento científico-deportivo con un alto reconocimiento social. Actualmente, se celebran también Olimpiadas de Física. Es ésta una forma excelente de captar vocaciones para las ciencias y, lo que es más importante, permitir a los jóvenes estudiantes compartir sus pensamientos e inquietudes con personas de otras ciudades, países y culturas.

La algebrización de las matemáticas

Con el siglo xvi puede decirse que se cierra un nuevo período en el desarrollo de las matemáticas: el que abarca desde la decadencia griega hasta la llegada de la ciencia moderna, que significaron para las matemáticas el inicio de una nueva era de constantes e ininterrumpidos procesos de creación.

En gran medida, la matemática árabe y su introducción y desarrollo en Europa propiciaron la aparición de una nueva especialidad, el álgebra, diferente de la geometría tanto en su forma como en su contenido. En esta nueva rama la abstracción matemática adquiere una jerarquía superior. Los objetos matemáticos dejan de ser números particulares o figuras geométricas y pasan a ser letras con las que el matemático se mueve de una manera abstracta pero racional.

El carácter simbólico que el álgebra confiere a las matemáticas permite ampliar su visión, algo que la geometría griega había ocultado. Por otra parte, los recursos que aporta el álgebra permiten unificar la aritmética, aplicando un modelo común a las propiedades de los números, y dotar a las matemáticas de unos métodos generales que la geometría por sí sóla no podía permitirse. Esta amplitud del contenido de los símbolos algebraicos permitirá que las matemáticas adquieran un carácter dinámico y faciliten el planteamiento y resolución de un nuevo tipo de problemas; esto es, los problemas de la continuidad y de la variabilidad. Esto conducirá a la aparición del análisis infinitesimal.

Se puede afirmar sin ninguna duda que al comenzar el siglo xvii los matemáticos disponían por fin de dos grandes herramientas: la geometría de los antiguos, sobre todo de los griegos y el álgebra, con su conjunto de reglas flexibles y con su gran poder algorítmico.

La matemática española del siglo xvii. Los renovadores

La revolución científica del siglo xvii

En el siglo xvii se comienzan a constituir las academias y las sociedades científicas, algunas de las cuales han perdurado hasta nuestros días. Así nacen la Accademia dei Lincei y la Accademia del Cimento en Italia, la Académie Royale des Sciences en Francia, la Royal Society en Inglaterra, etc. Se constituyen además muchos otros grupos, más o menos informales que, repartidos por toda Europa, impulsarán la investigación científica y materializarán el espíritu de colaboración y de publicación de los resultados obtenidos, lo que representa la característica esencial de la investigación moderna. Hasta ese momento las universidades eran consideradas conservadoras y contrarias al progreso científico; sin embargo, esta postura cambia muchísimo de unos países a otros y, de hecho, las universidades representaban una fuente de información básica muy importante para la mayoría de los científicos, siendo incluso su lugar de trabajo. Si bien es cierto que las relaciones entre las universidades, las academias y otras sociedades fueron a veces hostiles, también lo es el hecho de que los diferentes tipos de instituciones realizaron tareas complementarias.

La revolución científica afectó por igual a todas las ramas, tanto al conocimiento tradicional de la naturaleza cómo a las artes y a las ciencias. Así, las nuevas instituciones científicas se preocuparon de las relaciones entre la ciencia y la técnica y se erigieron en árbitros supremos en estas cuestiones. Por ejemplo, tanto la Royal Society como la Académie des Sciences asumirían en sus países el monopolio exclusivo de las patentes.

Debido a las razones históricas y políticas del momento, España quedó casi completamente aislada de este movimiento durante varios siglos. Existieron tímidos intentos de acercamiento a la nueva ciencia en el segundo tercio de esta centuria, pero debido quizás a la situación del país no llegaron a cua-jar de una manera definitiva.

López Piñero se ha ocupado en varias ocasiones de la relación que existió durante el siglo xvii, entre la sociedad y la ciencia en España. Hace un buen análisis de las dos tendencias, la conservadora y la moderna, adaptándolas frente a la aparición de la revolución científica. Señala que en España la primera postura tuvo más seguidores, tanto por parte de instituciones civiles (como las universidades), como en medios eclesiásticos. Por el contrario, el poder real y numerosos municipios importantes son modernos en cuanto señalan la necesidad de fomentar un espíritu renacentista y de asimilar los nuevos avances científicos imperantes en Europa.

El movimiento renovador

Hacia finales del siglo xvii, muchas personas tomaron conciencia de la situación real de la ciencia española en relación con su entorno, apareciendo así el movimiento renovador. Este movimiento no se desarrolló por igual en todas las disciplinas, ya que dependía tanto del desarrollo que en la España de la época hubiese alcanzado una disciplina como de la resistencia o adaptación que la sociedad le fuera a dispensar. En ciencias, aunque todavía no había cristalizado una estructura propiamente moderna, sí existía una clara diferenciación entre dos campos bien delimitados: por una parte, las matemáticas, la física, la astronomía y las aplicaciones de cada una de estas ramas y, por otra, la medicina con los conocimientos afines de química y de biología.

A caballo entre los siglos xvii y xviii se encuentran los renovadores valencianos. En ese período podemos afirmar, casi con seguridad, que Valencia, junto con el Colegio Imperial de Madrid, era el centro matemático más importante de España, gracias a los renovadores Zaragozá, Corachán y Tosca. Aunque una gran parte de la obra de estos matemáticos (sobre todo de los dos últimos) corresponde al siglo xviii, por coherencia los hemos incluido en este capítulo, ya que su obra así lo merece.

La renovación de las matemáticas, la física y la astronomía se va a encontrar frontalmente con una barrera difícil de superar: sobre la teoría heliocéntrica había aún una prohibición expresa por parte de todos los estamentos oficiales. Esta situación alcanza tal extremo que incluso Jorge Juan, en 1748, tuvo problemas con la Inquisición a la hora de publicar sus Observaciones astronómicas. Fue necesario para ello que intercediese por él Gregorio Mayans. Evidentemente, en el siglo xvii la prohibición había sido mucho más fuerte. De hecho, muchos renovadores, para eludir en lo posible un enfrentamiento con la Inquisición, afirmaban que debía de condenarse «la realidad actual, pero no la posibilidad de sus afirmaciones». Estos mismos problemas los tendrían también los renovadores de la medicina.

En esta situación, cabe destacar el importante papel que desempeñó la Compañía de Jesús en todos los países católicos para la renovación de las ciencias. En primer lugar, porque las únicas instituciones que durante la mayor parte de este siglo mostraban una cierta vitalidad en los estudios científicos fueron algunos de los colegios establecidos en España por la Compañía, especialmente el Colegio Imperial de Madrid. En segundo lugar, porque la pertenencia a la Compañía permitía a sus miembros residentes en España mantener el contacto con científicos jesuitas europeos y, a través de ellos, con la ciencia europea. Finalmente, porque el modo de proceder global de la Compañía, y su manera cautelosa, pero progresiva, de asumir la ciencia moderna resultaban muy adecuados en el ambiente español del momento. Así, los científicos españoles partidarios de la renovación en estas materias, aun no perteneciendo a la Compañía, la tomaron como modelo para sus propósitos de introducir en España la ciencia moderna. Rey Pastor, a quien me referiré posteriormente, afirmó en 1926 que España no había tenido nunca una cultura matemática moderna. Como consecuencia del movimiento renovador, estuvo a punto de conseguirla en los primeros años del siglo xviii. Pero, como veremos también más adelante, una vez más se perdió la oportunidad.

El Colegio Imperial de Madrid

Los Reales Estudios del Colegio Imperial, por estar abiertos y atentos a los progresos de la revolución científica más allá de las fronteras de España, por ser foco de cultivo de estudios e investigaciones matemáticas, y por su labor en la enseñanza de las matemáticas, fueron la institución más importante para el desarrollo de esta ciencia en España durante el siglo xvii.

Los jesuitas monopolizaban la mayor parte la enseñanza en los países católicos y controlaban también varias facultades de arte y teología en las principales universidades. Se introdujeron también en las cortes. Para mantener y potenciar su liderazgo, los jesuitas prestaron especial atención a las modas, gustos y necesidades de la aristocracia. Se preocuparon igualmente por cuestiones técnicas. Una de las causas que justifican este resurgir de la ciencia entre los jesuitas hay que buscarla sin duda en su eclecticismo, muy adecuado para el ambiente español, reacio y hostil cuando no indiferente a las novedades.

En esta época existía una fuerte discusión referente a si las matemáticas debían ser consideradas una verdadera ciencia. Los jesuitas concluyen que lo son, aunque totalmente distinta de las demás. Esta caracterización y defensa de las matemáticas iba encaminada a apoyar y promocionar su enseñanza en el Colegio Imperial de Madrid, en pie de igualdad con las otras disciplinas y, en general, a llamar la atención de los grupos dirigentes sobre su importancia y utilidad.

Durante la mayor parte del siglo xvii el Colegio Imperial de Madrid, que había sido fundado a comienzos de siglo, fue la única institución que mostró cierta vitalidad en los estudios científicos, sobre todo en los estudios de matemáticas, dentro del marco de la ideología jesuítica. Los científicos de esta orden, más que los de ninguna otra, impulsaron y desarrollaron la enseñanza de las Matemáticas puras mixtas (según la terminología de la época) en los numerosos Colegios de la Compañía repartidos por la Europa católica. El desarrollo de la revolución científica, y el empeño y honestidad de muchos de los científicos de la Compañía, les llevaron a un progresivo abandono de la concepción aristotélico-escolástica del saber, y a una aceptación gradual de los resultados de la ciencia moderna.

En España, los jesuitas, deseando prestigiar los Reales Estudios del Colegio Imperial, se encontraron con fuertes resistencias en la Corte y, sobre todo, en las universidades castellanas. Pese a ello, procuraron llevar a Madrid a científicos extranjeros de la Sociedad, con experiencia docente y reconocido prestigio, entre los que se encontraban el belga Jean Charles de la Faille y el borgoñón Claude Richard. El plan fundacional establecía dos cátedras de matemáticas y especificaba las correspondientes materias. Además de estas cátedras, los jesuitas asumieron también las enseñanzas de la cátedra de cosmografía y matemáticas de la Academia de Matemáticas de Madrid.

Los jesuitas prestaron especial atención a la geometría clásica, de acuerdo con la orientación humanística que imprimían a sus estudios. En este sentido son de especial interés las obras que escribieron Richard y De la Faille. Éste último fue también autor de un tratado de arquitectura. De la Faille actuó asimismo como asesor de los ejércitos reales en las campañas de Portugal, Italia y Cataluña. Había sido discípulo de Gregoire de Saint Vincent y llegó a España precedido de una merecida fama. Su maestro cuidó de que se imprimiera en Amberes su obra más importante, que trataba sobre los centros de gravedad. Esta obra es una de las contribuciones matemáticas más notables, y probablemente la más conocida, de un matemático activo en España durante el siglo xvii.

De la Faille se interesó también por las cuestiones de cartografía náutica. Conocía bien la proyección de Mercator y sus ventajas para la navegación. De este modo se deduce que los jesuitas del Colegio Imperial colaboraron en la introducción en España de la proyección de Mercator para las cartas náuticas, ya que en las obras impresas y manuscritas anteriores no se halla ninguna referencia a esta proyección.

Las tertulias matemáticas valencianas

En Valencia a finales del siglo xvii y a comienzos del xviii, el marco institucional de la actividad de los científicos no era la Universidad, que también atravesaba un período de modernización, sino una serie de tertulias y academias no oficiales. Algunas de ellas se celebraban en casas de nobles adinerados, como el conde de Villatortas o el marqués de Cervellón. Está totalmente probado que los personajes más importantes de estas tertulias fueron Íñigo, Tosca y Corachán. En casa del matemático Baltasar de Íñigo se constituiría una tertulia con carácter de Academia de Matemáticas, con la intención explícita de establecer las bases de una futura Sociedad Científica Valenciana. Estos propósitos aparecen reflejados en la carta que Juan Bautista Corachán dirige al profesor de matemáticas del Colegio Imperial de Madrid, el jesuita Francisco Petrei. Entre los manuscritos de Corachán se encuentra una especie de libro de actas en el que se reflejan las actividades de algunas sesiones de esta Academia. Un dato curioso es que cada uno de los participantes tenía un seudónimo. Un ejemplo del espíritu de aquellas tertulias lo encontramos en el Parnaso, escrito imaginario de Corachán, en el que expone su idea de una sociedad científica, con la cual soñaban aquellos intelectuales valencianos. Era ésta una sociedad en la que antiguos y modernos pudieran encontrarse y discutir todas las cuestiones filosóficas y científicas, donde la razón y la experiencia, nunca en contradicción con la fe, deberían ser los últimos árbitros de las discusiones.

Destaca en esta época la actividad del impresor y matemático Antonio Bordassar, quien se interesó, entre otras cuestiones, por la unificación de los pesos y medidas. Pero quizás el aspecto más notable de la actividad de Bordassar sea el esfuerzo que realizó para establecer una Academia de Matemáticas en Valencia. Él, como buen discípulo de los renovadores, tenía clara la idea de la institucionalización de la ciencia, para hacerla accesible, según los ideales de la época, a todos los estamentos sociales. En este sentido, se dirigió a Mayans (bibliotecario real) para sugerirle la posibilidad de crear una Academia Nacional de Ciencias «como la de París». Fracasaría sin embargo en su empeño.

La influencia de los renovadores valencianos en las generaciones siguientes fue muy importante. Desgraciadamente, debido a diversas circunstancias, esta influencia se fue perdiendo con el paso de los años.

Los orígenes de la revolución científica en Valencia, en lo que respecta a las matemáticas, cabe situarlos en la década de los sesenta del siglo xvii. Están en relación con la presencia en la ciudad del jesuita José Zaragozá, natural de Alcalá de Chivert. Poseía éste unas excepcionales dotes para las matemáticas, y se puede considerar en esta materia como autodidacta. Fue profesor en el Colegio de la Compañía en Mallorca, donde tuvo la oportunidad de conocer al astrónomo práctico Vicente Mut. Éste último estaba familiarizado con los trabajos de astronomía realizados en Europa en esa época y mantenía conversaciones con otros jesuitas, tanto europeos como del Colegio Imperial de Madrid. Parece indudable que la influencia que Mut ejerció sobre Zaragozá en la rama de las matemáticas fue muy importante; éste le consideró siempre una persona de una gran valía científica y se refería a él como «matemático insigne». Oficialmente, en Valencia, enseña teología en el Colegio de San Pablo (el actual Instituto Luis Vives), pero se dedica de manera privada a la investigación y a la enseñanza de las matemáticas. Posteriormente fue profesor en el Colegio Imperial de Madrid, lo que le supuso un gran honor, puesto que casi todos los profesores de este centro eran extranjeros.

Zaragozá publicó diversas obras matemáticas, entre las que destaca una de orientación didáctica, fruto de sus enseñanzas extraacadémicas. Casi todas sus obras, que no aportaban novedades significativas, representaron sin embargo en su época un notable esfuerzo pedagógico para enriquecer el empobrecido panorama español en esta disciplina. Su obra más importante fue Geometria magna in minimis, que sí que contiene aportaciones personales. En algunas de sus conclusiones se adelantó algunos años a Ceva y en muchos a Euler pero, lamentablemente, su obra no tuvo la difusión que merecía y sus aportaciones fueron ignoradas por los matemáticos europeos.

Aunque el problema de determinar centros de gravedad es muy antiguo –Arquímedes ya se ocupó de esta cuestión–, la idea de asociar pesos a puntos fue introducida por Ceva. Sin embargo, cuatro años antes de la publicación del resultado de Ceva relativo a esta propiedad, apareció en Toledo un artículo de Zaragozá, que concibe para su centrum minimum, un punto definido únicamente en términos geométricos tradicionales, las propiedades que son características del centro de gravedad. A partir de este nuevo concepto, Zaragozá desarrolló una teoría que puede ser considerada como la primera aproximación a la teoría baricéntrica, que se comenzaría a desarrollar siglo y medio más tarde.

En astronomía Zaragozá fue un excelente observador. Muchos de sus informes sobre cometas fueron enviados a l’Académie des Sciences de París. Respecto a la teoría de Copérnico, adoptó la postura común a la mayoría de los astrónomos de la Compañía de Jesús. Éstos se referían a ella con una hipótesis utilizable para describir los movimientos planetarios, sin que implicase ningún compromiso sobre su veracidad, y se decantaban finalmente por el sistema del mundo propuesto por Tycho Brahe, que en esencia coincide con el de Copérnico.

Zaragozá escribió un excelente tratado de geografía práctica sobre la esfera. Fue una persona muy crítica con la ciencia de su momento, pero que no se quería comprometer. Cuando no podía probar un hecho mostraba una gran desconfianza; por ejemplo, cuando se refería a las cavidades interiores de la Tierra afirmaba: «no las repruebo, porque son posibles, ni las apruebo porque no basta la posibilidad para afirmar el hecho». Al igual que su amigo Mut, se mostró también sumamente crítico con la astrología.

Las inquietudes científicas de Juan Bautista Corachán

Corachán nació y estudió en Valencia, y su amor por las matemáticas parece bastante precoz: a los dieciocho años escribió una obra de carácter didáctico titulada Ameno y deleytable jardín de las Matemáticas. Realizó además numerosas observaciones astronómicas de cometas, eclipses y planetas y, hacia finales del siglo xvii, comenzó a frecuentar las tertulias científicas en las que se sentía muy en su elemento. En 1696 consiguió la cátedra de matemáticas de la Universidad de Valencia. Intentó mejorar la calidad de la enseñanza en esta materia y para ello, entre otras medidas, escribió una versión más moderna de los Elementos de Euclides e impartió, con permiso del rector, conferencias fuera del programa oficial.

En un memorial escrito alrededor de 1702, Corachán expuso diversas quejas; por ejemplo, sobre el poco salario que recibía o sobre la escasa atención que las autoridades académicas habían dedicado a sus peticiones anteriores. Uno de sus manuscritos lleva el expresivo título: Breve insinuación de la grande importancia, y la necesidad de las Matemáticas para lo literario y lo político. En este manuscrito se advierte desde el comienzo un tono de escepticismo y una conciencia clara del retraso en el que se encontraba el cultivo de las ciencias en España. Se refiere también a la importancia de las matemáticas para la medicina. Critica igualmente el hecho de que no exista una cátedra de física que, como señala, existe ya en las mejores universidades europeas.

Corachán escribió también otro manuscrito muy interesante: Apuntamientos para las Constituciones que se han de hacer en la insigne Universidad de Valencia en lo tocante a las Mathemáticas. Este manuscrito es una petición de reforma de la enseñanza de las matemáticas que en aquel momento se impartía en la Universidad de Valencia. Comienza señalando de nuevo su escepticismo sobre el hecho que sus peticiones sean atendidas, y hace a continuación un análisis completo tanto de las cátedras que debían existir, como de lo que se debía enseñar en cada una de ellas. Destaca igualmente la importancia de la aplicación de las matemáticas a otras ramas como la arquitectura militar o la artillería. Exige rigor en el método de enseñanza, señalando que todas las materias referidas se habrán de enseñar «demostradas y probadas con razones naturales y experiencias respectivamente».

Los esfuerzos de Corachán no tuvieron ningún éxito. Como consecuencia de la guerra, después de 1707 la Universidad de Valencia, así como las restantes instituciones, sufriría recortes presupuestarios, lo que previsiblemente habría impedido llevar a cabo muchas de las reformas propuestas por Corachán. En 1720, cansado y enfermo, se retiró y su actividad matemática decreció considerablemente. Sesenta años más tarde, el plan de reforma de Corachán va a ser copiado e incorporado por Mayans en su Idea del nuevo método que se puede practicar en la enseñanza de las universidades de España.

Sus obras matemáticas se reducen fundamentalmente a dos: una de astronomía y otra de aritmética, que ha sido reeditada en varias ocasiones y traducida al francés. Era una obra elemental de carácter teórico-práctico, en la que destaca el uso sistemático de la notación decimal moderna, difundido en España por Corachán sin un retardo notable respecto de otros países. Nos legó igualmente una colección de manuscritos relativos a cuestiones científicas y filosóficas.

Siguiendo la tradición de los matemáticos jesuitas, demasiado influidos por la geometría clásica, la geometría analítica de Descartes y Fermat no aparece en la obra de Corachán. De los trabajos de cálculo infinitesimal, ofrece noticias, pero siempre a través de los escritos de otros matemáticos jesuitas. España tendría que esperar más de un siglo hasta que otro valenciano, Jorge Juan, introdujese ese nuevo método de cálculo. Se preocupó igualmente de la astronomía, de la cosmografía, de la filosofía de la ciencia y de la hidrometría o medida de las aguas corrientes. Al estudiar esta última disciplina, Corachán muestra una vez más su concepción moderna de la ciencia y del científico como administrador de la naturaleza. Muestra igualmente su preocupación por poder transmitir los conocimientos teóricos básicos y necesarios para la resolución de problemas técnicos.

La obra del padre Tosca y su plano de la ciudad de Valencia

La contribución de los innovadores valencianos a las ciencias físicomatemáticas culminaría con la publicación por el padre Tosca de sus obras Compendio matemático y Compendium philosophicum.

Tomás Vicente Tosca nació en Valencia, estudió en la Universidad, fue ordenado sacerdote e ingresó en la congregación de San Felipe Neri en la que llegó a desempeñar importantes cargos. Llegó a ocupar también el cargo de vicerector de la Universidad.

Al igual que Corachán, Tosca asesoró a la ciudad en diversas cuestiones de tipo técnico, como la relativa al Grao. Elaboró igualmente un plan para construir un puerto en Cullera y un canal navegable que comunicase la Albufera y el río Júcar. Desde el punto de vista geográfico y topográfico, la elección del lugar para construir un gran puerto parece acertada. Lo que no podemos afirmar, aun con una visión histórica de trescientos años, es si su proyecto hubiese dañado la Albufera o la hubiese potenciado. Se interesó por la cartografía, el dibujo y la arquitectura, como pone de manifiesto su obra científica y la realización de diversos trabajos y proyectos arquitectónicos. Pero quizás la faceta de su vida que más recuerden los valencianos sea la de topógrafo. En efecto, todos hemos oído hablar del plano del padre Tosca, que fue probablemente actualizado por Bordassar y grabado por Fortea hacia 1738. Debió de poseer una gran facilidad para transmitir sus conocimientos ya que frecuentemente le consultaban maestros de obras, escultores y otras personas que utilizaban las matemáticas en sus oficios.

Como hemos dicho, la literatura científica española a lo largo del siglo xvii no recogía los resultados de la revolución científica que se había producido en los principales centros europeos, y que aquí prácticamente no existió. En este aspecto la publicación del Compendio matemático de Tosca constituyó sin duda un acontecimiento importante. En efecto, en esta obra muchos de los aspectos más importantes de la nueva ciencia aparecen expuestos con amplitud y claridad, en lengua romance, y desde los modernos supuestos metodológicos de Galileo y los científicos mecanicistas. Corachán ya había escrito una obra en esta dirección; sin embargo, la diferencia más importante entre las dos obras radica en que Tosca incluye un capítulo de aplicación del álgebra a la geometría y que no se encuentra en la obra de Corachán. Tosca redacta su obra tomando como modelo los Cursos de carácter enciclopédico publicados fundamentalmente por científicos jesuitas y con finalidades didácticas. Todo a lo largo del siglo xvii estos cursos experimentaron una notable evolución, debida a la influencia de la revolución científica. Se preocupa igualmente de analizar el origen, progreso y utilidad de las matemáticas, señalando que sin esta ciencia no se puede avanzar de una forma correcta en la filosofía natural. En el aspecto de las matemáticas puras, además de una exposición clara y didáctica, se incluye ya la combinatoria, que no aparecía en otros textos clásicos. Como era costumbre en la época, este compendio analiza diversas ramas de las matemáticas, tanto puras como aplicadas. Además de las matemáticas en sí aborda el estudio de la mecánica, la óptica, la astronomía, etc. Las mismas ideas renovadoras las va a aplicar en su obra de filosofía en la que incluye la física. En España la obra de Tosca alcanzaría una gran difusión, en particular, en la primera mitad del siglo xviii.

También en el compendio matemático de Tosca se trata de la «arquitectura civil, dibujo y arte de tallar las piedras, arquitectura militar, pirotecnia y artillería». Estos mismos problemas habían sido tratados también por J. Ch. de la Faille durante su estancia en el Colegio Imperial de Madrid.

La matemática valenciana de los siglos xviii y xix

Situación general

La promoción de la actividad científica española, incluyendo, naturalmente, la valenciana, durante el siglo xviii alcanzó su momento culminante durante el reinado de Carlos III. En general, esta promoción se va abandonando durante el de Carlos IV y se notó en buena parte durante los decenios inmediatamente anteriores a la Guerra de la Independencia.

Uno de los aspectos básicos de la promoción de la actividad científica fue la lucha contra el aislamiento con respecto al resto de Europa. En lugar de prohibir los estudios fuera de España, como se había hecho durante la Contrareforma, se potenció la formación científica en el extranjero. Para ello, se concedieron ayudas y se contrataron científicos y técnicos extranjeros.

Por otra parte, los dirigentes ilustrados trataron de llevar a cabo un ambicioso plan de reforma educativa y de renovación tecnológica e intentaron, asimismo, sentar las bases para el desarrollo de la nueva ciencia. Paralelamente, la reforma y modernización técnica de la Armada y del Ejército permitieron la creación de nuevas instituciones científico-técnicas de carácter moderno.

Hacia finales del siglo xvii y comienzos del xviii, aun considerando el desfase existente en muchos aspectos respecto a Europa, Valencia se convirtió en uno de los principales centros de renovación científica. Y siguió siéndolo aunque con un marcado carácter técnico-práctico. La influencia de los renovadores en las nuevas generaciones de intelectuales valencianos fue grande y se extendió a otras personas cuya dedicación profesional resultaba difícilmente compatible con las nuevas tendencias de las matemáticas, ya que el progreso continuo de estas materias exigía un grado de preparación cada vez mayor. Con total seguridad, la abolición de los fueros y privilegios del Reino de Valencia influyó negativamente en su desarrollo científico. Por ejemplo, Bordassar deseaba continuar la obra de los innovadores con la creación de una academia de matemáticas y, pese a sus muchos intentos, su proyecto fracasó. También influyó en el hecho de que en Valencia no se llegasen a establecer academias militares o colegios de cirugía y estudios de clínica semejantes a los que se implantaron en otras ciudades.

Durante casi todo este siglo y el siguiente, las matemáticas puras en Valencia se redujeron a la elaboración de libros que resultaban útiles para la enseñanza, pero que no aportaban contribución alguna al desarrollo de esta ciencia. En este período la sociedad otorgaba una mayor importancia a las matemáticas aplicadas. Por ejemplo, en la Academia de San Carlos la necesidad de una adecuada y rigurosa formación científico-técnica de los arquitectos quedaría claramente recogida en sus estatutos, los cuales datan de 1768, en los que se establecía que:

Jorge Juan, marino, matemático y estadista

Uno de los temas que ha llamado la atención a todos los científicos en toda la historia ha sido el de la forma de la Tierra. Durante muchos siglos se ha considerado esférica. A partir del Renacimiento, se sucedieron los estudios para establecer su forma exacta. Unos la consideraban achatada por los polos, otros alargada y otros de forma totalmente esférica. También a lo largo de la historia, cada civilización y, posteriormente, cada país tenía unos patrones para sus pesas y medidas, lo que, frecuentemente, provocaba confusión. Ya Huyghens propuso la definición de un elemento de longitud universal a partir del movimiento pendular. Pero éste dependería del punto de la superficie terrestre donde se tomase la medición pendular si la Tierra no fuese esférica.

Estas dudas sobre la forma de la Tierra provocaron que un gran número de científicos, fundamentalmente geómetras franceses, pidieran ayuda a la Academia de Ciencias y a la Secretaría de Marina de Francia para la realización de dos expediciones, una a Laponia y otra a Quito, con la intención de resolver definitivamente el problema.

La expedición a Laponia, dirigida por el geómetra francés Maupertius, y en la que participaba el sueco Celsius, se realizó en los años 1736 y 1737. Maupertius dio cuenta de los resultados, que confirmaban la hipótesis de Newton del achatamiento polar.

La expedición al virreinato español del Perú fue más larga y conflictiva, y se ha considerado como una de las más difíciles de todos los tiempos. Los trabajos llevados a cabo en el territorio americano fueron de tal magnitud que implicaron una considerable revisión y perfeccionamiento de todos los métodos y recursos prácticos de la astronomía y de la geodesia del momento. Para ponerla en marcha, en Francia se organizó una expedición multidisciplinar. Por parte francesa la expedición iba encabezada por los académicos Godin, Bouguer y De la Condamine. Les acompañaban igualmente otros científicos. El gobierno francés solicitó permiso a Felipe V para efectuar las observaciones en los dominios españoles. El rey concedió el permiso, y envió además a dos competentes marinos españoles de la Academia de Marina de Cádiz: Jorge Juan y Antonio de Ulloa.

Además de la asistencia técnica en las operaciones geodésicas, se les ordenó a estos marinos que levantaran planos de puertos y ciudades con sus fortificaciones. Debían además realizar observaciones geométricas y etnográficas, determinar las latitudes y longitudes de los diversos lugares por los que pasasen, trazar caminos o mejorar los existentes y describir la flora de las zonas visitadas. Los dos guardiamarinas cumplieron sobradamente con todas sus obligaciones, realizando una labor muy superior a la que se les había encomendado. Téngase en cuenta que sólo contaban 21 y 19 años de edad respectivamente, y disponían de una preparación científica muy inferior a la de los académicos franceses.

Esta expedición al Perú tuvo una duración de casi una década. Pese a todas las adversidades que tuvo que superar, consiguió unos resultados incuestionables que permitieron establecer con exactitud tanto la forma de la Tierra como otras consecuencias de indudable valor científico.

Como resultados de esta expedición, Juan y Ulloa redactaron varias obras, conjuntamente y por separado, que han sido de gran utilidad para la posteridad. El volumen Observaciones Astronómicas y Phísicas se puede considerar como la primera recopilación completa de los trabajos relativos a la medida del arco de meridiano. Esta obra fue publicada antes que la de los científi- cos franceses. Se aprecia en los autores un dominio total de las teorías de Huyghens y de Newton, de los desarrollos posteriores, así como de las nuevas técnicas matemáticas, como el cálculo infinitesimal. Matemáticamente, Jorge Juan escribió:

Este viaje de Jorge Juan al Perú supuso la primera etapa, muy brillante, de una intensa vida dedicada a la ciencia aplicada y al Estado de los Borbones, tanto desde su condición de militar como de diplomático. El marqués de la Ensenada le encargó renovar nuestra flota naval, y fue también comandante de la Academia de Cádiz. Juan pensaba que los cadetes debían adquirir los conocimientos que les capacitasen para dirigir un navío, y que éstos incluían una sólida preparación en matemáticas. Escribió también un interesante tratado de mecánica aplicada, El examen marítimo, obra que fue traducida a varios idiomas. El Instituto de España la reeditó en 1968 en Madrid. Es ésta una obra de construcción naval, con mecánica y matemáticas aplicadas a la construcción de buques. El prólogo de esta edición es del académico García-Frías, y contiene importantes observaciones: por ejemplo, que la fórmula de la resistencia del agua al avance de un buque dada por Newton, Mariotte y Bouguer fue mejorada por Jorge Juan, con una fórmula más aproximada al proceso físico de la navegación. La importancia de este problema fue puesta de manifiesto por Millán en su discurso de ingreso en la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales al señalar que:

Císcar y el sistema decimal de pesas y medidas

Gabriel Císcar y Císcar nació en Oliva en 1760 y pasó casi toda su vida en Cartagena y Madrid. En muchos aspectos, ésta transcurrió paralela a la de Jorge Juan. Comenzó y prosiguió su carrera de marino en Cartagena donde, en 1788, fue nombrado director de la Academia de Guardias Marinos. En 1798 fue elegido por el gobierno español, junto con Agustín de Pedrayes, representante de España en la reunión convocada por el Instituto de Francia para estudiar el nuevo sistema decimal de pesos y medidas. Éste debía de conducir a la unificación de las unidades en los países que asistieran al congreso. Císcar participó en las reuniones y dirigió la construcción de diversos péndulos con los que realizaron varios experimentos gravimétricos, que repitió posteriormente en Madrid. Igualmente, supervisó en París la construcción de los modelos correspondientes a las nuevas unidades destinados a España. También escribió varios libros de texto destinados a las escuelas navales. El Curso de Císcar se puede considerar como una de las obras más importante de las enseñanzas náuticas en la España del siglo xix. En el observatorio astronómico de Cartagena llevó a cabo también varios trabajos de astronomía. Al estallar la Guerra de Independencia pasó a ocupar cargos relevantes, aunque en los años posteriores estuvo sujeto a las coyunturas políticas de cada momento.

En todas las etapas de la historia, la actividad científica estuvo orientada, y a veces ordenada, por las fuerzas políticas dominantes. Esto es lo que sucedió a menudo a comienzos del siglo xix. Pero es fácil comprender la situación de confusión intelectual en aquella época, ya que la Revolución francesa, con todas sus consecuencias históricas, estaba muy reciente en el tiempo. Esta situación es similar a la vivida de nuevo en España en la primera mitad de este siglo.

Por el conjunto de la actividad científica desarrollada en España, las décadas de mediados del siglo xix pueden ser consideradas como una etapa intermedia entre la decadencia anterior y la recuperación que se produciría durante la Restauración. Las condiciones socioeconómicas y políticas de la España isabelina, aunque distaban mucho de ser satisfactorias, fueron mucho mejores que las vigentes durante el reinado de Fernando VII. La desaparición de la represión absolutista permitió un crecimiento notable de la publicación de libros y revistas, así como el retorno de muchos científicos exiliados por motivos políticos. Muchos de ellos habían aprovechado su estancia en el extranjero para mejorar su formación. Todo ello facilitaría la asimilación de las novedades europeas más importantes, aunque la actividad científica se desarrolló todavía con una institucionalización muy deficiente y bajo un horizonte ideológico muy limitado, impuesto por la mentalidad del liberalismo moderado. Posteriormente, el período iniciado por la revolución de 1868 significaría una gran libertad, tanto en el terreno ideológico como en el institucional que, pese a la inestabilidad política, permitiría progresos considerables. Sin embargo, en las ciencias matemáticas estos progresos tardaron en observarse. Esta situación la podríamos considerar casi como un postulado: «los frutos de las inversiones en la actividad científica no son jamás inmediatos, debido a la dificultad de formar nuevos especialistas». Quizás así se pueda comprender la aversión que los poderes políticos, en general, sintieron y siguen sintiendo hacia este tipo de inversiones.

Desde el punto de vista científico, una de las principales aportaciones de la ley Moyano al despertar científico español fue la creación de unas facultades de ciencias independientes de las de filosofía. Aparecen así las facultades de físicas, exactas y naturales que se mantendrían durante muchos años, se potenciarían e incluso en muchos casos se subdividirían según las necesidades y el progreso de las ciencias. La ley Moyano significó también la consagración de las enseñanzas industriales con la aparición de las escuelas técnicas, que en muchas ocasiones fueron y siguen siendo importantes centros de investigación matemática.

Según señalan López Piñero y Navarro Brotons,(1995), en su Història de la ciència al País Valencià:

Esta opinión de López Piñero y Navarro Brotons la comparto totalmente, y volveré sobre ella al final de esta lección. Sin embargo, en aquella época tanto profesores de instituto como de universidad, se esforzaron por actualizar y elevar el nivel de los conocimientos en las materias físico-matemáticas. El objetivo sólo se alcanzó en una pequeña parte.

Uno de los matemáticos más destacados de la España de finales del siglo xix fue sin duda Eduardo Torroja, quien contribuyó de una manera muy notable a la enseñanza de la geometría, entonces de moda en nuestro país. Natural de Tarragona, fue catedrático en Valencia por un período de tres años. Ocupó la cátedra de Complementos de álgebra, geometría, trigonometría rectilínea y esférica y geometría analítica de dos y tres dimensiones. Su lección magistral del curso 1875-76 versó sobre «La correlación íntima de todas las ciencias» y en ella insistía muy profundamente sobre la importancia de las matemáticas como base para el estudio de las diferentes disciplinas científicas. A pesar de ser Torroja un hombre de una buena formación matemática, era casi totalmente ajeno a las nuevas líneas de investigación que en geometría se venían siguiendo en Europa y, de una manera incipiente, en América. Mientras que en Italia se estaban sentando las bases del cálculo tensorial, que constituiría el fundamento matemático para la teoría de la relatividad de Einstein, mientras que se estudiaban ya las geometrías riemannianas y estaba apareciendo la topología (analysis situs), aquí, salvo contadas excepciones, se continuaba con la Geometría de muchos siglos atrás. Otros matemáticos valencianos de la misma época y en la misma línea fueron Antonio Suárez, León y Ortiz, José María Villafañé, Manuel Marzal, Luis Gonzaga Gascó y Cecilio Jiménez Rueda.

Manuel Marzal, que es conocido por la calle de Valencia que lleva su nombre, era natural de Sueca y fue catedrático de análisis matemático. Cursó su licenciatura y doctorado en Madrid y fue el primer matemático que trató en España la teoría de las formas algebraicas. En el curso 1887-1888 pronunció la lección inaugural del curso académico sobre «Influencia del análisis matemático en el progreso de las otras ciencias». Con posterioridad, publicó en Barcelona litografías para la enseñanza, así como distintos volúmenes de análisis matemático. Era un gran pedagogo y sentía una marcada preocupación por mejorar la calidad de la enseñanza, como ponen de manifiesto diversas comunicaciones en congresos. Se interesó también por la historia de las matemáticas. Su sucesor en la cátedra fue Luis Gonzaga Gascó, fundador del Archivo de Matemáticas. Los objetivos de esta revista, que se exponen en el primer número, eran:

Reyes Prósper

Ventura Reyes Prósper nació en Badajoz en 1863 y cursó su licenciatura en ciencias naturales en Madrid. Ganó por oposición su primera cátedra de historia natural en el instituto de Teruel en 1887. La segunda cátedra, también por oposición, fue la de matemáticas en el instituto de Albacete en 1892. Después de haber ocupado diversas cátedras de física y química en Cuenca, Jaén y Toledo, en 1907 fue nombrado catedrático de matemáticas de este último instituto. Vivió también algún tiempo en Alemania donde fue discípulo y amigo de Felix Klein. Valencia ha dedicado su nombre a una pequeña plaza situada en el distrito Exposición.

Formó parte del Comité Internacional Permanente de Ornitología en el Congreso Internacional de Budapest y, en setiembre de 1898 fue nombrado miembro de la Sociedad Física Matemática de la Universidad Imperial de Casans (Rusia). Formó parte de la Sociedad Astronómica de Francia y fue miembro corresponsal de la Real Academia de Ciencias Exactas Físicas y Naturales de Madrid, en la que acogieron favorablemente sus trabajos de lógica matemática. Fue un hombre de una extensa cultura y un gran científico. Dos de sus trabajos en matemáticas «Sur la géométrie non-euclidienne» y «Sur les propriétés graphiques des figures centriques» han sido transcendentales para el desarrollo de la geometría; por ejemplo, para la demostración del teorema de los triángulos homológicos, que cerró definitivamente la fundamentación de la geometría proyectiva. Estos trabajos fueron publicados en la revista Matematischen Annalen, posiblemente la publicación de matemáticas más prestigiosa en todo el mundo en aquel momento. Quizás se pueda considerar a Reyes Prósper como el primer matemático español que publicó algunos de sus resultados en una revista internacional con un elevado índice de impacto. Publicó también muchos otros trabajos de matemáticas y de historia natural en diversas revistas especializadas. Es quizás en este período, junto con García de Galdeano, uno de los pioneros en mantener en contacto la matemática española con la europea.

El astrónomo autodidacta J. J. Landerer

Uno de los científicos valencianos más destacados de esta época, tanto en el área de las ciencias fisicomatemáticas como en geología y en paleontología es José Joaquín Landerer. Cursó estudios de bachillerato y no prosiguió estudios superiores, ni ejerció ningún cargo universitario. Su formación fue en gran medida la de un autodidacta, facilitada por su desahogada posición económica. Esto lo que le permite adquirir toda clase de material científico y viajar a diferentes centros científicos europeos. Residió algún tiempo en París, donde entró en contacto con los círculos científicos franceses. Se casó con una vecina de Tortosa y repartió su tiempo entre Valencia y dicha localidad catalana. Instaló un laboratorio geológico para investigar y para asesorar a los agricultores. Escribió el Principio de Geología y Paleontología. Tanto en esta obra como en otros trabajos anteriores se ocupó del origen de las especies.

La astronomía siempre ha sido una disciplina que han cultivado no sólo los profesionales; de hecho, ha habido muy reputados astrónomos aficionados, así como muchos mecenas que protegían a jóvenes estudiosos de esta disciplina. Todavía en nuestros días, y a pesar del gran desarrollo tecnológico de la actividad astronómica, los profesionales no han monopolizado totalmente esta especialidad. En todos los países existieron siempre cualificados científicos aficionados a la astronomía y que frecuentemente no eran matemáticos en el sentido que nosotros imaginamos. Así nacen en España los observatorios astronómicos de Santiago y del Ebro.

Landerer colaboró en la puesta en funcionamiento del Observatorio Astronómico del Ebro y, después de su muerte, fue cedida a este centro toda su fortuna. Este observatorio sigue funcionando, y con gran actividad, en la actualidad.

Landerer publicó sus investigaciones sobre astronomía en las más prestigiosas revistas internacionales de la especialidad, tales como los Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de Paris o el Bulletin Astronomique de France. Sus cálculos revestían siempre una gran exactitud, como lo ponen de manifiesto diversos observadores extranjeros. Se interesó igualmente, y con gran éxito, por analizar diversos eclipses de sol. Realizó también una gran labor de divulgación de todas aquellas materias en las que estaba interesado con la publicación de artículos en diversas revistas nacionales.

La Real Sociedad Matemática Española (RSME)

Aunque la Real Sociedad Matemática Española nace y se desarrolla en el siglo xx, voy a permitirme encuadrarla en este capítulo, ya que a finales del siglo xix y a comienzos del xx se producen en España diversos intentos de crear publicaciones científicas matemáticas de entre las que sólo ha sobrevivido la de la RSME.

La Sociedad Matemática Española, más tarde Real, fue fundada por Julio Rey Pastor en 1911. Como su órgano de expresión comienza a editarse la Revista de la Sociedad Matemática Española. No es la primera revista de matemáticas que se publica en España en este período, ya que anteriormente habían aparecido en 1891 El Progreso Matemático, editada por García de Galdeano en Zaragoza; en 1899 el Archivo de Matemáticas, editada en Valencia por Luis Gonzaga Gascó; en 1901 La Revista trimestral de Matemáticas, editada por José Rius y Casas y en 1903 la Gaceta de Matemáticas elementales (más tarde, a partir de 1949, Gaceta Matemática) publicada por Angel Bozal Obejero (éstas últimas en Madrid). La RSME publica (incluso durante la Guerra Civil) la Revista Hispano-Americana, que a partir de 1985 se convertiría en la Revista Iberoamericana de Matemáticas. Existen además en España algunas otras revistas de matemáticas tales como la Revista Matemática de la Universidad Complutense de Madrid, la Collectanea Mathemática, de la Universidad de Barcelona, Publicaciones Matemáticas de la Universidad Autónoma de Barcelona o las revistas de las academias de ciencias de Madrid y Zaragoza, entre otras. Aunque lo más descorazonador es que ninguna de las revistas científicas de matemáticas editadas actualmente en España aparecen en el SCI Journal Citation Reports.

Desde su fundación la RSME ha venido funcionando casi como un reflejo de la situación de las matemáticas en España. En 1973 llegó a tener más de setecientos socios, pero esta sociedad había desaparecido casi por completo en los primeros años de ésta década; de hecho tenía cero socios y sólo se conservaba de ella sus estatutos. En 1997 se reconstituye la RSME, y en este momento está funcionando de nuevo con total normalidad y con un decidido empeño de convertirla en reflejo de lo que son las matemáticas en España en este momento. Ha alcanzado ya los ochocientos socios, que es la cifra más alta de su historia. Si tenemos en cuenta que la Sociedad Americana de Matemáticas (American Mathematical Society) tiene más de veinte mil socios y la Sociedad Matemática de Brasil más de tres mil, todavía es largo el camino que debe recorrer nuestra sociedad. Sin embargo, creo que podemos mirar hacia el futuro con optimismo ya que los miembros de su Junta Directiva pensamos, como los renovadores, en la universalidad de la ciencia en general y de las matemáticas en particular. En el pasado mes de mayo apareció el primer número de la Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, en el que se señalan los objetivos de esta revista:

Por el bien de las matemáticas en España, deseo y espero que la vida de la Gaceta sea larga y fructífera, y que refleje la labor de la RSME como una sociedad sólida e importante en el concierto matemático internacional.

Panorma actual de las matemáticas en España

La polémica histórica de las matemáticas en España

La polémica sobre la ciencia española en general y sobre las matemáticas en particular, que alcanzó su momento culminante a finales del siglo pasado, ha quedado zanjada. Desgraciadamente, tenían la razón quienes señalaban la inexistencia de una ciencia matemática española. Mucho se ha escrito y discutido sobre cuáles fueron las causas de nuestro retraso científico en matemáticas. Éste es un problema de muy difícil solución. Aunque sea muy brevemente, me voy a permitir recordar algunos pensamientos de varias autoridades en la materia.

Con los años, el retraso existente se fue haciendo patente. Aparecieron estudios serenos de nuestra aportación a las matemáticas; por ejemplo, el de Julio Rey Pastor. La situación creada es extraña y difícil de explicar, dado el valor que la cultura española tiene en otros órdenes, tales como el artístico, literario o humano. Aquellas etapas de la historia en las que los poderes públicos trataron de evitar que se reconociese el retraso científico, causaron un gravísimo daño a España. La recuperación es muy difícil, ya que estamos disputando una carrera de fondo donde los demás corredores nos llevan muchos metros de ventaja, y ellos no van a pararse. Todavía hoy, perdura en parte, la creencia de que el progreso científico no es demasiado importante. Mientras los poderes públicos no escuchen atentamente a las autoridades competentes y no pongan los medios económicos suficientes, difícilmente se alcanzará ese mínimo crítico que permita el desarrollo científico en general y el matemático en particular que, sin duda, el genio español podría alcanzar. En gran medida, se sigue pensando en España que lo que necesitamos es técnica y no ciencia, y no se comprende la absoluta necesidad de esos difíciles estudios en la ciencia básica. En los grandes centros de investigación internacionales se tiene muy claro que la investigación aplicada es una consecuencia lógica de la potenciación de la investigación básica. También, a menudo, es difícil y casi imposible diferenciar estas dos líneas de investigación ya que están directamente interrelacionadas y la potenciación de una conlleva necesariamente la potenciación de la otra.

Es posible que mi apreciación esté deformada por mi formación profesional; sin embargo coincide con la de muchos otros científicos. Estoy totalmente convencido de que sin un desarrollo matemático fuerte un país no puede tener un desarrollo científico de alto nivel ni puede pensar en un desarrollo industrial competitivo. Por el bien de nuestro desarrollo es necesario ser valiente y denunciar las deficiencias como, por ejemplo, lo hizo el eminente matemático riojano Julio Rey Pastor, quien en su obra Los matemáticos españoles del siglo xvi escribe:

Las matemáticas en España, en la primera mitad de este siglo, han discurrido por senderos pobres e infecundos. Como reconoce el mismo Rey Pastor, en España nos habíamos equivocado una vez más de camino. Así, en su discurso de contestación al de ingreso de la Academia de Ciencias del Profesor Ricardo San Juan (22 de febrero de 1956), afirma que:

En su discurso de apertura de curso en la Universidad de Santiago, en 1972, Vidal Abascal profundizaba en las razones de esta equivocación:

Según Marañón y Vidal Abascal (1972), quizás la causa fundamental de nuestro retraso científico-matemático se deba a motivos culturales. «La consigna –dice Marañón– es aplastar al adversario y no ponerse de acuerdo con él; y la verdad no es del aplastamiento, sino del acuerdo, de donde surge.»

En cierta manera, también Menéndez Pidal, en su Historia de España, sostiene esto mismo cuando escribe:

Durante la primera mitad de este siglo el aislamiento de las matemáticas en España respecto a las nuevas ideas que estaban de actualidad en otros países europeos fue casi total. Sólo algunos casos aislados y, en parte, la política científica de la Junta de Ampliación de Estudios intentaron paliar este aislamiento. Por ejemplo, en 1935 el gerundense Luis Angel Santaló se desplazó a Berlín para estudiar la geometría integral, especialidad con múltiples aplicaciones a la vida práctica; en particular, a la teoría de la probabilidad geométrica. Santaló abandonó España tras la Guerra Civil y se instaló en Argentina. Su obra sobre geometría integral se estudia actualmente en los más prestigiosos centros matemáticos internacionales y es básica para geómetras aplicados y probabilistas.

Muchos otros matemáticos realizaron grandes esfuerzos por mejorar el nivel de las matemáticas en España y publicaron muchos e interesantes trabajos, pero la mayoría (como hemos dicho anteriormente) estaban basados en las ideas del siglo xix. En ese momento en Europa la ciencia matemática seguía otros derroteros, ya que a finales del siglo xix había aparecido, entre otras, la topología como una rama básica para varias disciplinas matemáticas. En España esta materia se comenzó a enseñar tímidamente en las décadas de los cuarenta y los cincuenta. Otro tanto podemos decir de las modernas teorías de la geometría diferencial y del álgebra, que tanta importancia han tenido y tienen actualmente en el moderno desarrollo de la física teórica.

Situación actual de las matemáticas en España

Analizando con un poco de perspectiva histórica el desarrollo de las matemáticas en España en los últimos cincuenta años podemos observar que a partir de la década de los cincuenta hay en la universidad española un número de profesores, todavía limitado, pero significativo, que comprenden el problema del aislamiento y se preocupan, por una parte, de enviar discípulos a los más prestigiosos centros extranjeros para especializarse en las nuevas teorías, y por otra de invitar a sus universidades a aquellos especialistas que las pudiesen explicar. Ello, unido a una acertada política de becas y ayudas para desplazarse al extranjero a partir de finales de los sesenta, permitió que, globalmente, las matemáticas en España se incorporaran a las nuevas corrientes matemáticas internacionales.

Desde 1940 se edita en Boston el Mathematical Reviews y, desde 1931, el Zentralblatt für Mathematik en Berlín. En ellos son analizados los contenidos de todas las publicaciones mundiales de matemáticas en libros, revistas, monografías, etc. Como es sabido, existe también una clasificación que, aunque de una manera aproximada, mide la categoría científica de las revistas especializadas atendiendo a su índice de impacto. En los años finales del siglo pasado se crea la Unión Matemática Internacional (UMI), organización que a partir de 1930 concede las medallas Fields (equivalentes a los premios Nobel para matemáticas). Teniendo en cuenta los índices de impacto de las diversas publicaciones matemáticas, la UMI clasifica los países según su producción matemática. Ésta varía entre un mínimo de una y un máximo de cinco estrellas. Según los datos a los que he tenido acceso, España estuvo, hasta la década de los noventa, en el grupo de países con dos estrellas. En este momento tenemos asignadas tres y ocupamos el puesto número trece en la clasificación mundial.

La situación actual de la producción matemática en la universidad española es bastante buena, aunque, evidentemente, siempre es mejorable. Son ya numerosos los matemáticos españoles que publican en revistas que figuran en los primeros lugares de los índices de impacto y que participan en congresos y coloquios a nivel internacional. Muchos de sus artículos y libros aparecen citados en la bibliografía especializada. Además, la enseñanza de las matemáticas en la universidad se ha institucionalizado de forma que los grupos de investigación importantes no desaparecerán cuando se retire su creador, como nos sucedió con Muñoz, Zaragozá o Tosca. La razón es que la semilla ha arraigado con fuerza, y es frecuente encontrar ya en los equipos a jóvenes investigadores dispuestos a crear nuevos grupos, o bien a continuar la labor de sus maestros. Según un informe de la Comunidad Europea, España representaba en 1992 el 1,5% de la producción mundial de revistas periódicas que aparecen en el Sciences Citation Index (SCI), en comparación con el 0,3% que del año 1981.

A la matemática española todavía le queda sin embargo mucho camino por recorrer, y adolece de varios defectos que es necesario corregir. Por ejemplo, a diferencia de otros países, tales como Estados Unidos, Francia, Italia, Alemania, Brasil o México (sólo por citar algunos), no existen dotaciones presupuestarias suficientes para becas de iniciación a la investigación, ni se dispone de institutos de investigación específicos para matemáticas. Como tal Centro sólo funciona el Centre de Recerca Matemàtica en Barcelona, que, aunque no tiene una plantilla fija, cuenta con un gran número de profesores invitados de una alta cualificación científica. Con el ánimo de corregir en lo posible estos defectos, consideramos que la RSME tiene algo que decir al respecto.

En 1939 fue creado en Madrid el Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) que contenía dos institutos relacionados con las matemáticas: el Jorge Juan y el de Estadística. Hasta principios de la década de los setenta, ambos institutos realizaron una actividad científica de una repercusión aceptable, dentro de las limitaciones impuestas por la realidad matemática española del momento. La decadencia de la actividad científica de las matemáticas en el CSIC comenzó en los años setenta y se mantiene en nuestros días. Desapareció primero el Instituto de Estadística y, a continuación, se suprimió el Instituto Jorge Juan. En su lugar se creó la Confederación de Centros de Investigación Matemática y Estadística (CECIME), una pura entelequia creada para confederar Centros que no existían como tales. Este proyecto fue abandonado en apenas tres años. En estos momentos el personal de plantilla (y único) que trabaja en el CSIC en la investigación matemática lo constituyen cuatro personas. Como contraste se puede citar, por ejemplo, el Instituto de Matemática Pura y Aplicada de Río de Janeiro (IMPA), que dispone en estos momentos de una plantilla fija de 43 profesores, además de numerosos invitados de carácter temporal, y de una valiosísima biblioteca.

En 1990 se crea en Europa la Sociedad Europea de Matemáticas (SEM), a la cual se adhirieron la práctica totalidad de sociedades matemáticas europeas. Una vez más, con retraso respecto a Europa y debido a una serie de razones tan sólo imputables a los españoles, la adhesión de la RSME no fue aprobada hasta el pasado 28 de agosto en Berlín. En la actualidad todos los miembros de la RSME pueden ser socios de la SEM y estar así puntualmente informados de gran número de actividades científicas que desarrollan tanto las sociedades miembros como la propia SEM. Es éste un paso más para evitar una vez más el aislamiento secular de las matemáticas en España.

En la «Declaración de Río de Janeiro sobre matemáticas» del 6 de mayo de 1992, la UMI declaró el año 2000 como Año Mundial de las Matemáticas con los siguientes tres objetivos:

La UNESCO, en su Asamblea General de noviembre de 1997, aceptó, e hizo suya, la propuesta de la UMI.

España va a tener un gran protagonismo durante ese año. En el mes de julio se celebrará en Barcelona el III Congreso Europeo de las Matemáticas. Aprovechando este acontecimiento se organizarán conferencias satélites en varias universidades españolas. Por ejemplo, en homenaje a la cultura árabe, está prevista en Granada una conferencia sobre «Las matemáticas en los países mediterráneos».

En este momento, España ha hecho y sigue haciendo un gran esfuerzo para integrarse en la Comunidad Europea. Esta integración no sólo debe ser política y económica sino que debe abarcar otros muchos aspectos de la sociedad, entre los que evidentemente debe figurar el matemático. Una gran mayoría de los países de la Comunidad son conscientes de que una mejora en su nivel matemático repercutirá de una manera muy favorable en su desarrollo científico, tecnológico y social. Me voy a permitir comparar, sólo en algunos aspectos, lo que en esta dirección se está haciendo en Francia con la realidad española.

En 1987 se celebró en Palaiseau, al sur de París, un encuentro de matemáticos para estudiar la situación general de las matemáticas en Francia. De él se extrajeron diversas conclusiones. Diez años más tarde, exactamente en enero de 1997, se volvió a organizar otro congreso de matemáticos para analizar la evolución de las perspectivas y los resultados obtenidos con sus recomendaciones. En este sentido es altamente satisfactorio un párrafo que aparece en Risler (1997, p. 8) y que dice:

La importancia que se le da a la investigación en matemáticas en Francia queda puesta de manifiesto por el hecho de que entre 1986 y 1996 el número de catedráticos de universidad, en áreas de matemáticas (sin contar los de informática), pasó de 650 a 1.090. En el mismo período, el de investigadores del Centre National de la Recherche Scientifique pasó de 220 a 334 (Risler, p. 13). Estas cifras indican que el número de investigadores del CNRS es siempre, aproximadamente, un 30% del de catedráticos de universidad. Es preciso tomar estas cifras con las debidas reservas ya que algunas personas pertenecen a ambos colectivos. ¿Cuál es la situación paralela en España? Como hemos dicho anteriormente, sólo hay cuatro matemáticos investigadores en la plantilla del Consejo Superior de Investigaciones Científicas. Según datos del Ministerio de Educación francés, en 1988 se dedicaba a la investigación en matemáticas el 4% del total de fondos presupuestados para la investigación en todas las áreas del conocimiento. Este porcentaje aumentó hasta el 6% en 1996. No me consta que existan en España estudios que permitan contrastar este dato.

A la vista de esta situación, cabe preguntarnos si los matemáticos españoles seremos capaces de convencer a nuestros gobernantes de la necesidad de potenciar la enseñanza de las matemáticas en todos sus niveles y de crear y consolidar una política científica razonable y moderna en la investigación en matemáticas, tanto puras como aplicadas? Si fuésemos capaces de lograr este objetivo, habríamos dado un gran paso hacia el desarrollo científico en España.

La inexistencia de centros específicos para la investigación matemática resulta paradójica si la comparamos con el desarrollo de la investigación matemática universitaria. Es éste un problema que tarde o temprano (esperemos que sea temprano) deberán abordar nuestros poderes públicos, tanto a nivel estatal como autonómico.

En este momento la Real Sociedad Matemática Española también es consciente de esta situación y, en la medida de sus muy limitadas posibilidades, está intentando potenciar el despegue definitivo de las matemáticas en España, procurando además acercarlas a la sociedad, aunque esta tarea no siempre resulta fácil.

El nivel matemático español en la enseñanza secundaria

A menudo oímos hablar en los medios de comunicación y frecuentemente comentamos la dificultad que presentan las matemáticas para su aprendizaje. Todo el mundo debería ser consciente de la importancia y la necesidad del conocimiento científico en general, y del matemático en particular, para entender mejor el mundo que nos rodea. Sin embargo, es frecuente encontrar en la sociedad una actitud de incomprensión, incluso de desconfianza, hacia la ciencia sobre todo hacia las matemáticas. Esto es consecuencia de su desconocimiento. Cuanto mayor es la formación científica y humanística de un pueblo, menor es esta desconfianza. Hay pueblos que han comprendido perfectamente este «postulado» y procuran aplicarlo en su vida cotidiana. No se trata de volver al enciclopedismo ilustrado, pero sí de dar al mayor número posible de personas una amplia formación científico-humanística.

Es de todos sabida la repulsa casi generalizada que sienten los estudiantes hacia las matemáticas. Quizás la razón fundamental de este rechazo resida en la falta de un inevitable encadenamiento de los conocimientos que debería estar presente en el aprendizaje de esta materia, y que no es tan necesario en otras asignaturas.

No quisiera terminar sin denunciar un problema acuciante que en estos momentos tiene la sociedad española. Es el del bajísimo nivel que la enseñanza de las matemáticas tiene en la enseñanza secundaria. Evidentemente, la socialización y la masificación de la enseñanza conlleva el riesgo de una disminución de la calidad. Nadie debe ignorar el hecho de que el nivel cultural y formativo de nuestros actuales bachilleres es muy inferior tanto en ciencias como en humanidades al que tenían hace unas décadas. Sin embargo, otros países han sabido armonizar el aumento del número de alumnos de enseñanza secundaria con el mantenimiento del nivel. Ello repercute en el nivel cultural global de sus bachilleres. Este problema también ha sido denunciado recientemente en su discurso de ingreso en la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales por el nuevo académico valenciano, el profesor Manuel López Pellicer (1997):

Con la estructuración actual de la enseñanza de las matemáticas en la enseñanza secundaria en todo el Estado español, es casi imposible para la práctica totalidad de los alumnos una comprensión y un aprendizaje correctos de esta disciplina. El bachillerato francés, cuya concepción se remonta casi a la época napoleónica, sigue conservando su alta cualificación, pese a los diversos cambios sociales y políticos que ha sufrido en el último siglo. Este alto nivel es consecuencia de una acertada y continuada política educativa. Tengamos en cuenta que, por ejemplo, en el último año del bachillerato y en las ramas científico-técnicas, Francia nos duplica en el número de horas dedicadas semanalmente a la enseñanza de las matemáticas. Lo mismo se podría decir respecto de las humanidades.

Me ha parecido muy interesante una reflexión de Ortega y Gasset referente al nivel científico de un pueblo:

Esta consideración de Ortega se puede aplicar a todas las ramas del pensamiento humano. En todas las especialidades aquellas personas que, por sus dotes, son capaces de abrir y señalar nuevos horizontes al conocimiento, no constituyen más que unos pocos puntos críticos entre todas aquellas personas dedicadas de alguna manera a dicha especialidad. José A. de Azcárraga, en su discurso inaugural del pasado año en esta universidad, también se preguntaba: «¿Cómo conseguir una mínima educación científica, tan imprescindible en nuestros días?». Y añadía: «La única forma de elevar la formación científica de la sociedad es mejorar la enseñanza de las ciencias desde el comienzo». Tampoco se olvidaba Azcárraga de lo importante que es la formación humanística. Si analizamos fríamente la situación actual, debemos reconocer las deficiencias que en su formación presentan los alumnos que entran en nuestras universidades, en particular en lo relativo a su formación matemática. No es aventurado pensar que una gran parte del fracaso escolar en los primeros años de vida universitaria se debe al bajo nivel que presentan los estudiantes.

Estas consideraciones deberían preocupar a la sociedad y a los gobiernos tanto estatal como autonómicos, ya que en estos tiempos, sumamente tecnificados e informatizados, en los que el cálculo y la simulación numérica son una componente esencial de los procesos científicos e industriales, el aprendizaje y la asimilación de las matemáticas no debe ni puede estar aislada de la informática. Es una creencia muy extendida que gracias a las máquinas de calcular y los ordenadores ya no necesitamos saber matemáticas. Nada más lejos de la realidad: la máquina por si sola no sabe hacer nada, para poder programarla es imprescindible un conocimiento aunque sea mínimo, pero bien asimilado, de las matemáticas.

Pero el aumento del nivel educativo de un país no se consigue de una manera inmediata, sino que es necesario esperar varios años (tal vez lustros) para que los resultados de una reforma meditada, coherente y razonable sean tangibles. Frecuentemente, los poderes públicos sólo consideran los beneficios inmediatos de sus acciones. Resulta entonces muy difícil, por no decir imposible, poner en práctica estas reformas a largo plazo, ya que chocan por una parte con la inercia de la sociedad y por otra con la de los propios legisladores a quienes, en muchas ocasiones, les preocupa más el presente que el futuro.

He dicho.

Bibliografía