Dear friends:
Today, nine of July of twenty ou one, we are here to pay homage to
Profesor Antonio Martinez Naveira in his sixtieth birthday.
About two years ago some of us, his students, gather together
to organize this ceremony.
Our friends in Valencia had the hardest work of the organization,
to get it becoming a reality. We are very thankfull to them for their big
effort. Those in other places were asked to do a nice labor: Talking about
Mathematics and about Antonio.
Manolo Barros was asked to talk about Differential Geometry and
Angel Ferrández and me were asked to talk about the life, miracles
and work of Antonio.
We assumed extremely glad this task and very soon we realized
how difficult is transmitting our feelings about Antonio.
Each meeting of his disciples is an occasion to remind some anecdote
concerning Antonio (there are many) This is a reason to understand how
much we appreciate to our master and friend.
For all this, trying to be brief and being sure that the talk
of my colleage and friend Angel will be much more amusing, I begin to tell
some of the experiences of Antonio in the years we share in Santiago.
l beg your pardon for not giving my talk in English, but it is
very difficult for me to express my feelings in other language than Spanish.
However the projected images will be entitled in English in order
that the talk can be better understood for every body.
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Antonio Martinez Naveira, nace en La Coruña, pero es en
la aldea de Churío, en el municipio coruñés de Aranga
donde transcurre su infancia.
Sus padres, agricultores, disponían de escasos recursos
económicos, por lo que Antonio cursa todos los estudios primarios
en la escuela unitaria de su aldea cuya maestra, Dª Raquel Rey de
Castro, influiría de manera decisiva en su vida.
Los primeros cursos del bachillerato (en total eran siete) los
prepara en la misma escuela de su aldea teniendo que examinarse por libre
en el instituto de La Coruña. Habiendo sido trasladada Dª Raquel
a otra escuela será su maestro en esos años su sustituto,
el profesor Mosquera cuyo hijo recuerda todavía lo estudioso que
era aquel niño, y que había que lograr que pudiese continuar
sus estudios en algún colegio de La Coruña como alumno interno.
El hermano de Dª Raquel. D. Gumersindo Rey de Castro era
uno de los dueños y el Director del Colegio Academia Galicia
que tenia fama de ser uno de los mejores de La Coruña pero de precio
excesivo sobre todo para la economía de las personas dedicadas a
la agricultura. Antonio es recibido en el colegio como familiar directo
del director con derecho a enseñanza gratuita.Se establece tal relación
de afecto y amistad entre ellos que la madre de D. Gumersindo al referirse
a Antonio habla de "su nieto".
La confianza depositada por los hermanos Rey de Castro en él,
es altamente correspondida. Asi. en el año 1959, obtiene el título
de bachiller superior concediéndosele diploma de honor en el mismo.
Al mismo tiempo que estudiaba el bachillerato, Antonio estudió
magisterio (ya que en aquel entonces se podía empezar al terminar
cuarto) y cuando aprobó el examen de acceso a la Universidad tambien
obtuvo el título de maestro.
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Recuerdo que siempre dice Antonio que la asignatura que mas lata
le dio en magisterio fue la caligrafía que había que hacer
con plumín y tinta. Cualquiera que conozca su letra se dará
cuenta de lo difícil que debió resultarle aprobarla.
En Junio de 1960 aprueba el examen que le permite empezar los
estudios de Matemáticas y en Octubre de ese mismo año comienza
el primer curso que era común para todos los estudios de Ciencias.
Ese curso lo pasa Antonio en una pensión de las típicas de
Santiago, siendo posteriormente el Colegio Mayor San Clemente ,por aquel
entonces masculino, su lugar de residencia hasta terminar sus estudios.
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De su estancia en el colegio mayor San Clemente hay numerosas
anécdotas que nos recuerdan sus compañeros de entonces. Así
eran famosísimas las retrasmisiones de partidos de fútbol
imaginarios de Antonio que ponía tanta pasión en los
mismos que hasta se veía correr el balón. También
destacaba por ser el estudiante mas metódico de todo el colegio,
lo cual le ayudaba enormemente en sus estudios. Dado que todas las habitaciones
del Colegio eran dobles, aunque la habitación estuviera llena de
gente, él dormía su siesta o se acostaba temprano, importándole
muy poco el ruido que hacían los demás. En estas fotos le
vemos recogiendo la beca del Colegio de manos del Rector de aquel entonces
D. Angel Jorge Echeverri,
En cuanto a los estudios de matemáticas de aquella época,
cabe destacar que la promoción de Antonio fue la tercera desde la
creación en la facultad de Ciencias de la sección de Matemáticas.
El número de alumnos de su clase era nueve, cosa impensable hoy
en día, pero también el número de Profesores era muy
bajo, destacando los Profesores García Rodeja (se encargaba de las
Álgebras) el Profesor Aguiló (de los Análisis)
el Profesor Vidal Abascal (de las Geometrías) y el Profesor Aller
(de las Astronomías).Es con el Profesor Enrique Vidal Abascal con
quien conecta Antonio y él será el director de su tesis doctoral
y una de las personas que mas influirán en su formación matemática.
Antonio se licencia en Junio de 1965 con premio extraordinario. Por aquel
entonces D.Enrique trabajaba en teoría de foliaciones y es un problema
relacionado con este tema el que le propone a Antonio para trabajar.
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De aquí saldría su tesis doctoral leída
en Enero de 1969, titulada "Variedades foliadas con métrica casi-fibrada".
El tribunal estaba formado por los Doctores Vidal Abascal, Etayo,
Vaquer, Viviente y García Rodeja, quienes concedieron la máxima
calificación de Sobresaliente Cum Laude a la misma. Cabe destacar
que fué la segunda tesis de matemáticas leída en Santiago,
siendo la primera la del Profesor Echarte, hoy catedrático en Sevilla.
En 1973, en la Universidad de París VI defiende su tesis
de tercer ciclo, realizada bajo la dirección del Prof. Deheuvels,
siendo juzgada por los Profesores Lichnerowitz, Dolbeault y Deheuvels.
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Al mismo tiempo que preparaba su tesis doctoral, Naveira ocupó
plaza de Profesor Contratado en la sección de Matemáticas
desde octubre de 1965 hasta que en 1973 es nombrado Profesor Adjunto de
Universidad en un famoso Acto Académico en el que todos los propuestos
para ser adjuntos tuvieron que desplazarse a Madrid para jurar lealtad
al Movimiento Nacional en el Teatro Real. Posteriormente prepara oposiciones
a Agregado de Universidad y en el año 1975 obtiene la plaza de Profesor
Agregado de geometría V (Diferencial) de la Universidad de Granada
y en 1976 obtiene por acceso la Cátedra de Valencia.
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Mi relación con Antonio Martínez Naveira comienza
siendo yo estudiante de 2º de Matemáticas, en el curso académico
1966-67.El era nuestro profesor de Análisis Matemático y
en mi curso estudiaba la que entonces era su novia y hoy su mujer Isabel
Vázquez Paredes a la cual me unía una gran amistad. Esta
amistad enseguida se hizo extensible a Antonio y al final de ese curso,
junto con otro amigo, estábamos los tres dándole una serenata
a Isabel. He de decir que Antonio es un buen matemático pero como
cantante deja mucho que desear. Una vez casados Antonio e Isabel, al terminar
ella tercero de carrera, fue su casa mi restaurante preferido, ya
que infinidad de veces me invitaban a comer para que olvidase lo mal que
se comía en el Colegio Mayor donde yo vivía
Permítanme decir dos palabras sobre Isabel, a la que Antonio
y todos nosotros conocemos cariñosamente por Tatá. Con ella
se hace realidad el dicho tan conocido de que detrás de un gran
hombre hay siempre una gran mujer pues las virtudes de Antonio son sobrepasadas
ampliamente por las de ella. Siempre se preocupó de todo lo
concerniente a la casa y a los hijos , compaginándolo perfectamente
con su trabajo en la "cárcel" como nos gusta decir (Tatá
es profesora de bachillerato a distancia).Conozco pocos matrimonios que
después de tantos años sigan tan unidos y además,
como decía Vidal Abascal, aquí si que se da el caso de que
1+1 son 11 y no 2 como nos dice la aritmética.
Una vez finalizados los estudios, empecé a trabajar en
el Departamento de Geometría y Topología que en aquel entonces
dirigía el Profesor Vidal Abascal, siendo Naveira su más
directo colaborador. Recuerdo que D. Enrique me entregó la tesis
de Haefliger sobre teoría de foliaciones para que la leyera y me
fuera metiendo en el tema. Yo le comenté a Antonio que aquello no
era lo mío y el comenzó a estudiar los trabajos de Alfred
Gray sobre variedades casi-Hermíticas para dirigirme en ese tema.
Sobre el mismo, realicé mi tesis Doctoral que defendí en
Julio de 1974 y que figuraba bajo la dirección de D. Enrique Vidal
, dado que por aquel entonces solo los catedráticos podían
figurar como directores, pero ya en la misma se hace constar mi agradecimiento
al Doctor Naveira por su inestimable ayuda. Esta es la razón del
por que Antonio dice siempre que yo fui realmente su primer discípulo,
cosa que agradezco y comparto.
Desde 1970, año en el que me licencié, mi relación
con Antonio se intensifica.
Debo destacar de él , sobre todo lo demás, lo
siguiente :
1º.- Su capacidad de trabajo. Nunca me he encontrado con
nadie capaz de superarle. Cuando yo hacía la tesis, terminábamos
de discutir algo a las 11 de la noche y ya me citaba para el día
siguiente a las nueve de la mañana con todos los cálculos
hechos. He de decir que él siempre los traía hechos para
compararlos con los míos.
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2º.-Su ilusión por resolver cualquier problema en el que se encuentra sumergido. Yo siempre diré que la Real Sociedad Matemática Española está de nuevo viva por haber tenido la suerte de nombrar a Antonio para presidirla. Además esta ilusión la hace contagiosa a todos los que le rodean.
De los cinco años que trabajamos juntos, ya que en 1975
se marchó para Granada, podría relatar numerosas anécdotas
que hemos vivido. Por ejemplo, los congresos a los que asistimos. Dado
que en aquel entonces en la Universidad se mal vivía, teníamos
que desplazarnos en nuestros coches y para ello el seiscientos de Antonio
nos ayudó mucho. Eso si, para viajar teníamos que salir de
Galicia a las tres de la madrugada para pasar el Puerto de Piedrafita sin
camiones.
También, en la primavera de 1973, nos desplazamos a París
para asistir en la Universidad de París VI a la lectura de su tesis
doctoral de tercer ciclo, dirigida por el Prof. René Deheuvels,
y que obtuvo la máxima calificación. De ese viaje, además
del trabajo científico realizado, recuerdo las caminatas a las que
nos sometía Antonio a su mujer y a mi, ya que él era de la
teoría que para conocer una ciudad había que patearla. Hoy
se lo agradezco pero en aquellos momentos deseaba que se le torciera un
tobillo para tener que sentarnos y seguir visitando París en metro.
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Para terminar mi recorrido por la vida de Antonio, me gustaría
relatar el congreso de Durham (Reino Unido) en 1974 al que asistimos juntos.
Íbamos fundamentalmente para conocer a Alfred Gray, ya que él
había sido el censor de nuestro trabajo sobre el Lema de Shur en
las variedades Nearly-Kahler publicado en los Proc. Amer. Math. Soc., y
nos había citado allí. Creo que para la geometría
diferencial en España este viaje fue fundamental ya que allí
además de conocer a Alfred y comenzar una relación increíblemente
fructífera, también conocimos a Lieven Vanhecke que tanto
ha hecho por ayudar a los geometras de Santiago, Granada, La Laguna, Valencia,
etc.
Asistimos a este congreso invitados por el Profesor Willmore
que era un gran amigo de la Universidad de Santiago, que había visitado
en numerosas ocasiones con motivo de los congresos organizados por el Profesor
Vidal. En ese congreso, el Profesor Gray nos presentó un trabajo
de un colaborador suyo que Naveira y yo echamos abajo dado que lo que el
hacía en unas variedades "nuevas" era realmente en las Kahlerianas.
Al año siguiente a este congreso el profesor Gray visitó
Granada y a partir del año 76 empezamos a visitar Maryland (EEUU)
por períodos de más de seis meses, la mayoría de los
discípulos de Antonio. También él visito Maryland
varias veces, y el trabajo de clasificación de las casi-producto
fue gestado en esa Universidad Americana.
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Paso ahora a comentar muy brevemente su trabajo científico, el cual podíamos dividir en las siguientes áreas:
1.- Teoría de Foliaciones
2,- Variedades casi-Hermíticas y problemas de curvatura
3.- Variedades casi-producto
4.- Volúmenes de pequeñas esferas geodésicas y tubos.
5.- Geometría Integral y Estereología
Comentaré las tres primeras, que son las que empezó
a trabajar en Santiago, dejando las dos últimas para Angel
que las conoce mucho mejor que yo.
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1.-TEORIA DE FOLIACIONES.
Como discípulo de Vidal Abascal a finales de los sesenta,
resulta natural que Antonio comenzara interesándose en el estudio
geométrico de variedades foliadas. Una foliación es una descomposición
de la variedad en hojas, subvariedades todas de la misma dimensión,
y verificando una condición local :la de ser localmente un producto
de espacios euclídeos. Uno de los elementos determinantes de su
naturaleza es la geometría transversa, es decir , las propiedades
geométricas que permanecen invariantes al moverse, localmente, a
lo largo de las hojas. Entre las foliaciones mas regulares están
aquellas que admiten una métrica de Riemann invariante en este sentido,
hoy denominadas foliaciones de Riemann. Al estudio y caracterización
de las métricas de Riemann en una variedad foliada con esta propiedad
de invarianza, las llamadas métricas casi-foliadas dedica Naveira
su tesis doctoral.
En ella, ademas de recopilar y sistematizar los pocos estudios
hechos hasta la fecha (aún faltaban unos años para que Molino
diera su excelente teorema de estructura) se centra en la descripción
de las formas mas geométricas como, por ejemplo, por citar la menos
técnica de las novedosas, caracterizar la métrica casi-fibrada
por la propiedad de que cualquier geodésica ortogonal a una hoja
es ortogonal a todas las que corta.
El trabajo más importante en este tema, es el realizado
en colaboración con el profesor Johnson y publicado en 1981
en Geometría Dedicata.
Al principio de los años 70, Bott demostró un teorema
de obstrucción a la integrabilidad de una distribución EÃTM,
dada por la anulación, a partir del grado 2dimE, del álgebra
de Pontryagin de TM/E. Este resultado fue mejorado por Pasternack, bajando
el umbral de anulación a dimE, en el caso de foliaciones con métrica
casi-fibrada.
Para foliaciones totalmente geodésicas, Gluck demuestra
que no existe ninguna obstrucción en el caso de dimE = 1. Para codimensión
1 , Johnson y Whitt encuentran una obstrucción fuerte a la existencia
de foliaciones totalmente geodésicas con una hoja compacta. Además
la condición, para una distribución, de ser totalmente geodésica
equivale a la de, para un complementario, admitir una métrica casi-fibrada.
Resulta natural el pensar que una obstrucción análoga a la
encontrada por Pasternack , en el caso totalmente geodésico,
haya que buscarla en el anillo de Pontrjagin de E y no de TM/E. Esto es
lo que hacen Johnson y Naveira en este trabajo, probando que si F es totalmente
geodésica y dimensión de F es impar los Pontk
(F) = 0 para k mayor o igual que la dimensión de M. En su demostración
utilizan tensores similares a los introducidos por OíNeill en su estudio
de submersiones.
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2.-VARIEDADES CASI-HERMITICAS Y PROBLEMAS DE CURVATURA.
Es bien conocido que la clase mas conocida y estudiada de las
variedades casi-Hermíticas es la formada por las variedades Kahlerianas.
Tales variedades son aquellas dotadas de una estructura Hermítica
de tal forma que su 2-forma de Kahler define una estructura simpléctica
sobre ella. Utilizando propiedades sobre su curvatura es sencillo el demostrar
que si una variedad Kahler tiene curvatura constante entonces es llana.
Es por ello que se introduce el concepto de curvatura seccional
holomorfa, la cual permitirá realizar un estudio sistemático
de los espacios proyectivos complejos. Así se define la curvatura
seccional holomorfa como la restricción de la curvatura seccional
a la Grasmanniana de 2-planos holomorfos.
Lo mismo que sucede en los espacios de curvatura seccional constante,
el hecho de ser constante la curvatura seccional holomorfa de una variedad
Kahler, permite determinar explícitamente el tensor curvatura en
términos de la métrica
Así se tiene el siguiente resultado de clasificación:
"Una variedad Kahler completa, conexa y simplemente conexa, de curvatura
seccional holomorfa constante puede ser identificada con el espacio proyectivo
complejo, el espacio hiperbólico complejo o el espacio euclídeo
complejo según que la constante sea mayor que 0, menor que cero
o igual a cero".
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Sabemos que existen dieciseis tipos distintos de variedades casi-Hermíticas,
algunos de los cuales tienen un especial interés geométrico
y topológico derivados de su misma definición. Tal es el
caso de las variedades Nearly Kahlerianas, Hermíticas y localmente
conformes a variedades Kahlerianas
Se plantean los dos problemas siguientes:
1.- ¿Cuando es posible garantizar la existencia de un Lema tipo Schur para la curvatura seccional holomorfa de una variedad casi-Hermítica?.
2.- Clasificar las variedades casi-Hermíticas de curvatura seccional
holomorfas constante.
Así pues, resulta interesante el estudiar en que medida
la curvatura seccional holomorfa de tales variedades permite determinar
su geometría.
Un primer paso será el estudio de las variedades casi-Hermíticas
con curvatura seccional holomorfa constante.
Así se tiene el siguiente resultado:
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En nuestro trabajo sobre variedades Nearly-Kahler citado anteriormente,
probamos que si M es una variedad Nearly-Kahler de dimensión compleja
mayor o igual que 2, su curvatura seccional holomorfa es constante
punto a punto si y solo si es globalmente constante.
Este resultado es utilizado por Gray y Watanabe para resolver
el problema de clasificación en el caso de variedades Nearly-Kahler.
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Sobre estos problemas tiene Naveira numerosos trabajos publicados,
bien solo o en colaboración con Gray, Vanhecke, Barros. Ferrández,
Rocamora.
También el estudio de las curvaturas seccionales holomorfas
de orden superior fue abordado por Antonio. Así en su trabajo
de 1974 en el Journal of Differential Geometry caracteriza las variedades
Kahlerianas con curvatura seccional holomorfa de orden superior constante.
En este mismo tema trabaja con la Profesora Concha Fuertes, hoy profesora
titular en la Universidad Complutense de Madrid, y consiguen caracterizar
los conjuntos de planos holomorfos sobre los cuales la curvatura seccional
holomorfa de orden dos alcanza un máximo o un mínimo. Este
tema fue la tesis de la mencionada profesora, figurando Naveira como codirector
de la misma con el Prof. Vidal.
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3.-VARIEDADES CASI-PRODUCTO.
Otro de los temas que se empezaban a estudiar en Santiago recién
licenciado Naveira y de la mano de René Deheuvels eran las variedades
casi-producto. Así ,en el año 1971 se leen dos tesis: una
"Cohomología en las variedades casi-producto y foliaciones" del
Prof. Cordero y otra "Conexiones en las variedades casi-producto y foliaciones"
del Prof. Vidal Costa, en las que Antonio interviene de forma activa. Este
tema lo tendrá siempre presente y así, en el año 1977,
vista la clasificación que sobre las variedades casi-Hermíticas
publicamos Gray y yo, decide ponerse a trabajar en clasificar las
variedades casi-producto por un camino similar al nuestro.
Siendo P el campo de tensores definiendo una estructura casi-producto
sobre una variedad de Riemann, se define la dos forma asociada F, y se
considera óF, siendo ó la conexión métrica. Usando una descomposición
del espacio de los tensores que tienen las mismas propiedades
que óF bajo la acción natural de O(p) x O(q), Naveira obtiene una
clasificación de las variedades casi-producto Riemannianas en treinta
y seis clases diferentes , muchas de las cuales ya aparecían en
las distintas bibliografías sobre el tema
Este trabajo, realizado mientras visitaba a Alfred Gray en la
Universidad de Maryland aparecería publicado en el Rendiconti di
Matemática e Applicazione de Roma en el año 1983 y desde
entonces son numerosos los matemáticos que lo citan.
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Quizás más importante todavía que la aportación de Antonio a las variedades casi-producto, sea la de sus colaboradores. Así, es Francisco Carreras, en su trabajo titulado; "Linear Invariants of Riemannian almost-product manifolds" el que prueba que los subespacios definidos en la clasificación de Naveira, son irreducibles. Además trabaja en el estudio de la curvatura de estas variedades. Asimismo, Angel Montesinos, Vicente Miquel, Olga Gil y Antonio Hernández Rocamora obtienen resultados muy importantes sobre estas variedades.
Muchas mas cosas se podrían decir sobre la investigación de Antonio en estos campos, pero el conocimiento que todos tenemos sobre ello me obligó a dar una breve pincelada para no cansarles.
Creo sinceramente que la mejor labor matemática que ha desarrollado nuestro homenajeado es la creación de una escuela que se ha ramificado por toda la geografía española como nos va a poner de manifiesto Angel. Estoy seguro que él, como Vicerrector que es de Innovación en la Universidad de Murcia nos va a sorprender a todos y va a conseguir despertar la imaginación de los presentes con su agudeza de ingenio y su saber hacer. A él le dejo la palabra.
Muchas gracias por su atención.