CIRCUITO CAÓTICO DE CHUA

Una realización práctica

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José Ángel Oteo José María Castelo		José Bernabéu Francisco González
	una colaboración

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¿Qué información contiene esta página?	Lo que sigue es la descripción de un montaje del oscilador de Chua, el circuito electrónico más simple que presenta caos. Fue diseñado en 1983 por Leon O. Chua. Nuestro montaje está basado en el artículo de M.P. Kennedy: Three Steps to Chaos --Part II: A Chua's Circuit Primer (IEEE Transanctions on Circuits and Systems I Fundamental Theory and Applications, vol.40 (1993) pp.657-674). Esta página está pensada para recoger indicaciones técnicas de cómo manejar el circuito. Incluimos también algunos comentarios y sugerencias sobre los conceptos físicos y matemáticos que se pueden ilustrar con el montaje, pero su pertinencia deberá ser evaluada por el profesor en función del tipo de audiencia .
¿En qué consiste el montaje del circuito de Chua?	La idea consiste en medir dos diferencias de potencial en sendos puntos del circuito de Chua, mediante un osciloscopio. Ambas señales se muestran en la pantalla, en el modo de representación XY del osciloscopio. Una situación completamente análoga corresponde a lo que sucede con las conocidas figuras de Lissajous. También podemos representar cada una de las señales, de forma independiente, en función del tiempo. Esto da pie, si el osciloscopio lo permite, a determinar el Espectro de Potencia (Fourier) de cada señal; y es una ocasión excelente para conectar con lo estudiado en Métodos Matemáticos para la Física.
¿A quién va dirigido?	La audiencia natural para una demostración del oscilador de Chua son estudiantes de ciencias que hayan seguido un curso de, por ejemplo, Física General, Mecánica Clásica, Caos, Dinámica No-Lineal, Dinámica de Poblaciones o Ecuaciones Diferenciales. En cualquiera de estos contextos puede encontrar cabida. La misma demostración puede resultar estimulante para estudiantes de la asignatura de Física en Bachiller, a condición de simplificar el planteamiento hasta un nivel adecuado.
¿Qué aporta al estudiante?	Se trata de un montaje experimental del que se extraen datos que se representan visualmente para su interpretación.
¿Quién puede disponer del circuito?	El montaje que hemos preparado está a disposición de cualquier miembro de la comunidad educativa (oteo at uv punto es).
¿Qué propósito tiene este montaje?	Sirve de ilustración del fenómeno conocido como ruta al caos por duplicación del periodo. Esto es algo que se estudia matemáticamente en Teoría del Caos, o en Dinámica No-Lineal, o en Sistemas Complejos. El fenómeno aparece en circuitos electrónicos, y fue uno de los primeros escenarios donde se observó de forma experimental. También aparece en el estudio de la evolución de poblaciones en ecología, y otras variadas áreas de la ciencia.
Si quiero montar mi propio circuito, ¿resultará muy caro?	Todo el material empleado (componentes electrónicos, cables, tableta de conexiones, pilas) en la construcción del circuito no debe superar los 30€. Aunque no hay que olvidar el osciloscopio... Ésta es la parte cara.                         Una versión alternativa del montaje consiste en utilizar el propio PC como osciloscopio. Para ello existe software que simula un osciloscopio usando la tarjeta de sonido (es decir la propio entrada del micrófono) para la entrada de las señales. Nosotros no hemos explorado esta posibilidad.
¿De qué elementos consta el circuito?	El circuito consta de bobina, condensadores y resistencias. Hasta aquí es un circuito RLC, lineal. El elemento no-lineal es un amplificador operacional, denominado también diodo de Chua. La lista completa del material es ésta.
¿Y el esquema?	El esquema del circuito de Chua en el artículo de Kennedy es éste. Nosotros hemos hecho una ligera modificación técnica.
Primero hicimos un ensayo. O tal vez varios...	Éste es el aspecto que ofrece un montaje de prueba. Y aquí hay otro. El problema que tiene este montaje es que las conexiones son poco estables. En consecuencia, de acuerdo con la ley de Murphy, el circuito fallará en el momento más inapropiado :(
Y después construímos algo más robusto.	Éste es el aspecto que ofrece el montaje final. Dentro de la caja que aparace en la fotografía hay tan sólo un circuito impreso en el cual las conexiones son realmente robustas, y dos baterías.
¿Puede aparecer caos en el circuito de Chua?	Sí. De hecho, podemos sintonizar el circuito para que funcione tanto en un regimen regular como irregular. Para ello usamos los potenciómetros (== resistencias variables). Para entender por qué, hemos de responder a las preguntas siguientes.
¿Cuándo puede un sistema matemático presentar caos?	En sistemas descritos por ecuaciones diferenciales autónomas puede aparecer caos si hay, al menos, tres ecuaciones acopladas y además  existe un término no-lineal en las variables dependientes.
¿Cuales son las ecuaciones del  circuito de Chua?	Como es sabido, los circuitos eléctricos se pueden estudiar matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales. En el caso que nos ocupa, ésta es la forma adimensional de las ecuaciones diferenciales que gobiernan la dinámica del circuito de Chua. Las variables x e y representan voltajes y la z es una intensidad. Lo que vamos a observar en la pantalla del osciloscipio es la representación de las funciones y(t) vs. x(t); o, expresado de otro modo, la función y(x). En nuestra jerga, hablaremos de plano de fase XY del sistema.
¿Por qué el oscilador de Chua es un circuito no-lineal?	La no-linealidad del circuito oscilante se origina en el amplificador operacional. En él, la ley de Ohm: V=I R, se verifica "por tramos", como en la figura, donde I=f(V), es continua y no-lineal, aun cuando sea lineal a trozos. En las ecuaciones del circuito de Chua, la función anterior que representa la ley de Ohm en el amplificador operacional se representa por f(x), y es el origen de la no-linealidad.
Ya he conectado los cables con el osciloscopio. ¿Qué espero observar?	Si empezamos ajustando el osciloscopio en modo XY, en la pantalla aparecerán pares de valores {x(t), y(t) }. Por supuesto, hay que ajustar las escalas de manera que veamos una figura completa en la pantalla. Como el osciloscopio representa todos los puntos comprendidos en un determinado intervalo de tiempo, en la pantalla observaremos una trayectoria. Los potenciómetros del circuito permiten sintonizarlo en diferentes regímenes; es decir, aparecerán diferentes tipos de trayectorias que, en nuestra jerga, llamaremos atractores. También podemos ajustar el osciloscopio en el modo normal. Observaremos entonces  los voltajes  x(t), y(t)  en función del tiempo. Es muy interesante comparar estos registros en régimen regular y caótico. Si el osciloscopio lo permite, podemos visualizar el espectro de potencia de cada una de las dos señales. Según el tipo de trayectoria que estemos analizando, podemos discutir las características del espectro; en particular, la presencia o no de picos aislados.
¿Por qué dos potenciómetros?	Los potenciómetros #1 y #2 están conectados en serie. La idea es que el #1 facilita un ajuste fino, de tal manera que permite la observación del tránsito de un atractor a otro en la pantalla del osciloscopio.
Cómo visualizamos la ruta al caos.	Ajustamos los potenciómetros #1 y #2 de manera que observemos un atractor regular. A continuación, manipulamos el potenciómetro fino (#1) hasta que veamos que la órbita simple se convierte en una órbita doble (== un lazo doble en la pantalla). Lo que hemos visto es que al girar (ligeramente) el dial no observamos apenas nada en la pantalla hasta que, de forma brusca, ha aparecido el doble lazo. No es necesario tener mucha práctica para darse cuenta de que la variación del potenciómetro #1 debe ser muy suave. Si continuamos con esta operación, la situación es similar, pero apareciendo ahora un atractor con cuatro lazos. Si repetimos la operación terminarán por aparecer 8 lazos. La próxima vez serán, 16; luego 32,... ¡Sólo puede aparecer un número de lazos que sea potencia entera de dos! Así pues, cuando giramos (muy léntamente) el dial, o bien el número de lazos permanece constante, o bien se duplica su número. Como este fenómeno ocurre en cascada, decimos que estamos ante una cascada de duplicacón de periodo. Es importante resaltar que el cambio es brusco. En todas estas situaciones el sistema oscila siempre de forma regular, con un periodo que es una potencia entera de dos. Existe un valor crítico de la resistencia #1 para el cual el circuito ya no puede oscilar de forma regular y pasa a un régimen caótico. Observamos un atractor extraño. Decimos entonces que el sistema ha efectuado una transición al caos siguiendo una ruta de duplicación del periodo. Es una de las más conocidas y estudiadas. Se puede conocer el valor exacto de la resistencia #1 para el cual tiene lugar cada bifurcación, así como el valor crítico en el cual comienza el caos.
¿Tiene el circuito de Chua alguna aplicación práctica?	En algunos laboratorios se usa como fuente de señales complejas. También se ha utilizado en experimentos de sincronización que interesan en el estudio de comunicaciones seguras. En simulaciones numéricas es un sistema de ecuaciones muy utilizado y, en un plano más lúdico, como generador de música de vanguardia.