Los
que hemos pasado por la facultad de
Física sabemos que los sistemas de
ecuaciones diferenciales lineales con
coeficientes constantes se pueden resolver
de forma exacta. Estos sistemas aparecen con
frecuencia no sólo en física,
sino también en ingeniería y
en ciencia en general.
Si los
coeficientes no son constantes, entonces la
situación es bien diferente: por regla
general, simplemente, no sabemos resolverlos de
forma analítica. Las opciones entonces
son resolver (a)
por
integración numérica o/y (b) de
forma analítica aproximada.
El esquema (b) ha
dado lugar a multitud de métodos de
aproximación, por ejemplo, la Teoría de
Perturbaciones Dependientes del Tiempo
que se estudia habitualmente en Mecánica
Cuántica y proporciona aproximaciones
polinómicas sucesivas del operador de
evolución temporal U(t,t0),
que es una forma de presentar la solución
del sistema lineal que evoluciona en el tiempo a
partir de unas condiciones iniciales dadas en t0.
El
desarrollo de Magnus proporciona una
representación exponencial del
operador de evolución: U(t,t0) = exp(Ω), donde Ω(t,t0)
se determina mediante aproximaciones sucesivas.
En la práctica esto significa que algunas
propiedades importantes de la solución
exacta son preservadas. Como ejemplo, en
Mecánica Cuántica la
normalización de la función de
onda se preserva en cada orden de
aproximación del desarrollo de Magnus, a
diferencia de la Teoría
de Perturbaciones Dependientes del
Tiempo.
He
dedicado buena parte de mi
investigación a estudiar tanto
aspectos formales como prácticos
del desarrollo de Magnus cuyo
número de aplicaciones está
en continuo crecimiento.
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