MÉTODOS PARA LA DETERMINACIÓN DEL SIGNO DE UNA FORMA CUADRÁTICA NO RESTRINGIDA:
AUTOVALORES DE UNA MATRIZ A
(matrices simétricas)
Se trata de obtener las raíces de la ecuación característica: çA- a Iç = 0
donde A es la matriz cuadrada de orden n, I es la matriz identidad de orden n.
DEFINIDAS
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE
DEFINIDA POSITIVA
ai > 0, " i=1,...,n
DEFINIDA NEGATIVA
ai < 0, " i=1,...,n
SEMIDEFINIDAS
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE
SEMIDEFINIDA POSITIVA
ai³ 0, " i = 1,...,n 
con al menos un aj = 0 y un ak>0, 
1£ k,j£ n
SEMIDEFINIDA NEGATIVA
ai£ 0, " i=1,...,n 
con al menos un aj = 0 y un ak<0, 
1£ k,j£ n
INDEFINIDAS
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE
INDEFINIDA
$ ai > 0 
$ aj < 0
NULA
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE
NULA
ai = 0, " i = 1,...,n

 
MENORES PRINCIPALES CONDUCENTES DE A
(matrices simétricas)
Determinante de Orden 1: 1ªfila-1ªcolumna;
A1=ç a11ç
Determinante de Orden 2: 2 primeras filas-2 primeras columnas
A2= 
Determinante de Orden 3: 3 primeras filas-3 primeras columnas
A3=
...
DEFINIDAS
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE
DEFINIDA POSITIVA
A1>0, A2>0, A3 > 0,... An>0
DEFINIDA NEGATIVA
A1< 0, A2 > 0, A3 < 0, A4 > 0,... 
An > 0 si n es par 
An < 0 si n es impar
SEMIDEFINIDAS
CONDICIÓN NECESARIA
çAç = 0
CONDICIÓN SUFICIENTE
SEMIDEFINIDA POSITIVA
A1 > 0, A2 > 0, A3 > 0, ... Ar > 0 
Ar+1 = 0, ..., An = 0 
con r = rango(A)
SEMIDEFINIDA NEGATIVA
A1 < 0, A2 > 0, A3 < 0, A4 > 0,... 
Ar > 0 si n es par 
Ar < 0 si n es impar 
Ar+1 = 0, ..., An = 0 
con r = rango(A)
NULA
A= Q (matriz nula)
MENORES PRINCIPALES DE A
(matrices simétricas)
Determinantes construidos a partir de la diagonal principal: 
DE ORDEN 1:
Cualquier determinante de orden uno construido a partir de la diagonal principal de la matriz A. Resulta al tomar una fila cuyo orden (primero, segundo, tercero, etc.) coincida con el de la columna elegida. Por ejemplo: 
1ªfila-1ªcolumna; A1=ç a11 ç (conducente) 
2ªfila-2ªcolumna; ç a22ç
3ªfila-3ªcolumna; ç a33ç
4ªfila-4ªcolumna; ç a44ç
5ªfila-5ªcolumna; ç a55ç
6ªfila-6ªcolumna; ç a66ç
DE ORDEN 2:

Cualquier determinante de orden dos construido a partir de la diagonal principal de la matriz A. Resulta al tomar dos filas cuyo orden (primero, segundo, tercero, etc.) coincida con el de las dos columnas elegidas. Por ejemplo: 

1ª, 2ª filas-1ª, 2ª columnas (conducente): A2 =
1ª,3ª filas- 1ª,3ª columnas: 
3ª,7ª filas- 3ª,7ª columnas: 
2ª,5ª filas- 2ª,5ª columnas: 
DE ORDEN 3: 

Cualquier determinante de orden tres construido a partir de la diagonal principal de la matriz A. Resulta al tomar tres filas cuyo orden (primero, segundo, tercero, etc.) coincida con el de las tres columnas elegidas. Por ejemplo: 

3 primeras filas-3 primeras columnas (conducente): A3 =; 
1ª, 3ª, 4ª filas y columnas: ; 
2ª, 4ª, 5ª filas y columnas: ;
DE ORDEN 4: 

Cualquier determinante de orden cuatro construido a partir de la diagonal principal de la matriz A. Resulta al tomar cuatro filas cuyo orden (primero, segundo, tercero, etc.) coincida con el de las cuatro columnas elegidas. Por ejemplo:

4 primeras filas-4 primeras columnas (conducente): A4=;
1ª,3ª, 5ª, 6ª filas y columnas: 
...
DEFINIDAS
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE
DEFINIDA POSITIVA
Todos los menores principales positivos.
DEFINIDA NEGATIVA
Todos los menores principales
  • positivos, los de orden par.
  • negativos, los de orden impar.
SEMIDEFINIDAS
CONDICIÓN NECASARIA Y SUFICIENTE
SEMIDEFINIDA POSITIVA
  • Determinante nulo, ç Aç = 0
  • Todos los menores principales:
  • No negativos.
SEMIDEFINIDA NEGATIVA
  • Determinante nulo, ç Aç = 0
  • Todos los menores principales:
  • No negativos, los de orden par.
  • No positivos, los de orden impar.
NULA
A= Q (matriz nula)
INDEFINIDAS
CONDICIONES SUFICIENTES
1.- Determinante no nulo y no se verifica la CN y S de definida (ni DP ni DN) de menores principales conducentes. 

2.- No se verifica ninguna de las CN y S anteriores de Definida ni de Semidefinida: caso particular: 

  • Menor principal de orden par negativo. 
Ejercicios resueltos

0.- Estudie el signo de la forma cuadrática representada por

.

Solución:

Según el método de los menores principales conducentes:

El rango de A es 2, es decir, sólo hay dos columnas, o filas, linealmente independientes, pues la tercera columna es el resultado de multiplicar la primera por 2, y la cuarta columna es exactamente la primera. Las dos primeras columnas son Linealmente Independientes (L.I.), como se muestra con A2 > 0.

Se tiene, pues, que A1 > 0, A2 > 0, A3 = A4 = 0, con rg(A) = 2, por lo que se verifica la condición suficiente de semidefinida positiva (menores principales conducentes positivos hasta el de orden igual al rango de la matriz, y a partir del menor de orden inmediato superior al del rango se anulan todos). Por tanto, la matriz A es SEMIDEFINIDA POSITIVA.

Aplicando el método de los autovalores, se tiene:


(3-a )[ (1-a )(4-a )(1-a )+4+4-(4-a )-4(1-a )-4(1-a )] =
= (3-a )[ (1-a )2(4-a )+8-4+a -4+4a -4+4a] = (3-a )[ (1-2a +a2)+9a -4] =
= (3-a )[ 4-8a +4a2-a +2a2-a3+9a -4] = (3-a )[ 6a2--a3]= 0.

Una solución viene dada por:

3-a = 0 ®a1 = 3,

O bien por, 6a2-a3 = 0 ® a2 (6- a ) = 0, cuya solución viene dada por a2=0®a2=a3=0; o bien por 6 - a = 0 ®a4 = 6.

Los autovalores son a1 = 3, a2 = a3 = 0, a4 = 6. Todos son no negativos y existe al menos uno positivo y otro nulo. Por tanto, A es SEMIDEFINIDA POSITIVA.

1.- Estudie el signo de la matriz

en los puntos (1,2), (1,-2), (-1,2) y (-1,-2). ¿Qué signo tiene en R2?.

Solución:

En el (1, 2) se tiene

Todos los menores principales conducentes son positivos, por lo que Hf(1,2) es DEFINIDA POSITIVA.

En el (1, -2) se tiene

No se cumple la condición necesaria y suficiente de DEFINIDA POSITIVA, pues todos los menores principales conducentes no son positivos. No se cumple la condición necesaria y suficiente de DEFINIDA NEGATIVA, pues todos los menores principales conducentes de orden par no son positivos, H2<0, ni los de orden impar negativos, H1>0. No cumple la condición necesaria de SEMIDEFINIDA POSITIVA o NEGATIVA, H2 no es nulo, como no es NULA, Hf(1,-2) es INDEFINIDA. Se podía haber concluido que es INDEFINIDA porque existe un menor principal de orden par negativo, H2<0. Si se obtienen los autovalores, se tiene a1=6 y a2=-12, uno positivo y otro negativo, lo que permite llegar a la misma conclusión.

En el (-1, 2) se tiene

Como en el punto (-1, 2), no se cumple la condición necesaria y suficiente de DEFINIDA POSITIVA, ni de DEFINIDA NEGATIVA. Tampoco cumple la condición necesaria de SEMIDEFINIDA POSITIVA o NEGATIVA, H2 no es nulo. Como no es una matriz NULA, Hf(-1, 2) es INDEFINIDA. También se podía haber concluido que es INDEFINIDA porque existe un menor principal de orden par negativo, H2<0. Los autovalores son a1=-6 y a2=12, uno negativo y otro positivo, lo que permite llegar a la misma conclusión.

En el (-1, -2) se tiene

Todos los menores principales conducentes de orden par son positivos y los de orden impar negativos, por lo que Hf(-1, -2) es DEFINIDA NEGATIVA.

Como existen puntos en R2 donde Hf es indefinida, o bien para unos puntos es definida positiva y para otros es definida negativa, se concluye que en R2 es "Indefinida".

NOTA: En R2++ es Definida positiva. En R2+ es "semidefinida positiva" (DP en unos puntos, SDP en otros, NULA en el origen). En R2-- es definida negativa., mientras que en R2- es "SDN" (DN en unos puntos, SDN en otros, NULA en el origen)

Ejercicio propuesto:

Determine el signo de la forma cuadrática representada por la siguiente matriz:

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© Juan Manuel Pérez-Salamero González