Tema 1. EQUACIONS POLINÒMIQUES, p(x)=0

  1. Utilització de la Regla de Horner per a l'aplicació del Mètode de Newton d'aproximació a les arrels d'una equació polinòmica:
Teorema 1: L'avaluació de l'expressió p(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn requereix n sumes i n(n+1)/2 multiplicacions.

Teorema 2: L'avaluació de l'expressió p(x)=a0+x(a1+x(a2+...+x(an-1+xan)...)) requereix n sumes i n multiplicacions.

Teorema 3: Si bn=an & bk=ak+zbk+1 per a k=n-1...0, aleshores b0=p(z) (Regla de Horner).

Teorema 4: Amb els z, bk & ak del teorema 3 s'acompleix que an=bn & ak=bk-bk+1z per a k=0...n-1 .

Teorema 5: Si q(x)=b1+b2x+...+bnxn-1 , aleshores b0+q(x)(x-z)=p(x) .

Teorema 6: q(x) és el quocient de dividir p(x) per x-z i b0 és la resta.

Teorema 7: Si p(z)=0, aleshores p(x)=q(x)(x-z) .

Teorema 8: p'(z)=q(z) .

Teorema 9: Si cn=bn i ck=bk+zck+1 per a k=n-1...1, aleshores c1=p'(z) .

Teorema 10: La sucessió xm per a resoldre l'equació p(x)=0 pel Mètode de Newton s'obté aplicant successivament xm+1=xm-b0/c1 amb z=xm .

Teorema 11: Si p(z)=0, la resolució de l'equació q(x)=0 permetria obtenir les demés arrels de l'equació p(x)=0 .


  1. Mètode de Muller:
Teorema -1: Si tenim 3 punts (xi,fi), (xi-1,fi-1), (xi-2,fi-2) amb abcises diferents, per ells passa una única paràbola r(x)=fi+f[xi,xi-1](x-xi)+f[xi,xi-1,xi-2](x-xi)(x-xi-1) amb els coeficients calculats pel mètode de les diferències dividides, f[xi,xi-1]=(fi-fi-1)/(xi-xi-1) , f[xi,xi-1,xi-2]=(f[xi,xi-1]-f[xi-1,xi-2])/(xi-xi-2) .

Teorema 12: Les arrels de l'equació a2x 2+a1x+a0=0 són x=2a0/(-a1±(a12-4a0a2)½) .

Teorema 13: Les arrels de l'equació r(x)=0 amb la paràbola del teorema -1 venen donades per l'expressió del teorema 12 amb a2=f[xi,xi-1,xi-2] , a1=f[xi,xi-1]-(xi+xi-1)a2 , a0=fi-xi(f[xi,xi-1]-xi-1a2) .

Algoritme 1: Algoritme de Muller per a l'obtenció d'arrels de l'equació p(x)=0:
  1. Escollir ε0, ε1, ε2 . Definir la funció f(x)=p(x)
  2. Prendre i=2. Escollir xi, xi-1, xi-2 . Calcular fi=f(xi) , fi-1=f(xi-1) , fi-2=f(xi-2) .
  3. Calcular hi=xi-xi-1 , λi=hi/(xi-1-xi-2) .
  4. Calcular gi=(1+2λi)(fi-fi-1)-λi2(fi-1-fi-2) .
  5. Calcular ci=-2fi(1+λi)
  6. Calcular di=gi2-4fi(1+λii(fi-fi-1i(fi-1-fi-2))
  7. Si f(x) és un polinomi de grau 2, calcular λi+1=ci/(gi±di½) i prendre xi+1=xi+hiλi+1 com les seues dos arrels, que ho seran del l'equació p(x)=0, i que poden ser reals o complexes (xi+1=xi+hicigi/(gi2-diihici(-di)½/(gi2-di) si di<0) : fi.
  8. Si di≥0, aleshores calcular λi+1=ci/(gi±di½) escollint el signe de manera que tinga el menor valor absolut. Anar a 11 .
  9. Si di<0 però |cidi/(gi2-di)|<ε0 , aleshores calcular λi+1=cigi/(gi2-di) . Anar a 11 .
  10. Si di<0 i |cidi/(gi2-di)|≥ε0 , aleshores l'algoritme no donaria més arrels reals: fi.
  11. Calcular xi+1=xi+hiλi+1 , hi+1=hiλi+1 .
  12. Calcular fi+1=f(xi+1) .
  13. Si |xi+1-xi|≥ε1xi+1 & |fi+1|≥ε2, aleshores prendre i=i+1 i tornar al pas 4 .
  14. Prenem xi+1 com una arrel aproximada de l'equació p(x)=0 .
  15. Si el número d'arrels obtingudes és menor al grau del polinomi, definir la funció f(x)=f(x)/(x-xi+1) i tornar al pas 2 .

  1. Sistemes d'equacions no lineals:
Teorema 14: Si ξ, η, x0, y0 són números reals, s'acompleix ξ=F(ξ,η) & η=G(ξ,η), F, G són funcions contínues i amb primeres derivades contínues en un entorn circular de (ξ,η) que inclou a (x0,y0) i existeix K<1 tal que, dins d'aquest entorn, |F'x|+|F'y|≤K & |G'x|+|G'y|≤K, aleshores la successió definida pel sistema iteratiu de punt fixe  xi+1=F(xi,yi) & yi+1=G(xi,yi) és convergent.

Teorema -2: Donada la corva {z=f(x,y), z=g(x,y)}, amb funcions f, g contínues i amb primeres derivades contínues en un entorn circular de (x0,y0), la recta tangent a la corva en el punt corresponent seria {z=f(x0,y0)+f'x(x0,y0)(x-x0)+f'y(x0,y0)(y-y0) , z=g(x0,y0)+g'x(x0,y0)(x-x0)+g'y(x0,y0)(y-y0)} .

Teorema 15: La successió corresponent al Mètode de Newton per a l'aproximació a una arrel del sistema d'equacions {f(x,y)=0 , g(x,y)=0} és
       xi+1 = xi - [f(xi,yi)g'y(xi,yi)-g(xi,yi)f'y(xi,yi)]/J(f,g)(xi,yi)
       yi+1 = yi - [g(xi,yi)f'x(xi,yi)-f(xi,yi)g'x(xi,yi)]/J(f,g)(xi,yi)
on J(f,g)(xi,yi) és el Jacobià de les funcions f, g calculat en el punt (xi,yi) .

Teorema 16: Si les funcions f, g i totes les seues derivades fins al segon ordre són contínues i acotades en un entorn circular de l'arrel (ξ,η), tal que f(ξ,η)=0 & g(ξ,η)=0, el qual inclou el punt inicial (x0,y0), i el Jacobià  J(f,g) no s'anul·la en aquest entorn, aleshores la successió descrita en el teorema 15 convergeix a l'arrel (ξ,η) .