- Càlcul de determinants i del polinomi
característic:
Definició 6:
Per a tota matriu A de dimensió nxn, diem que el número λ
(real o complexe) és un
valor
propi, associat a un
vector
propi, y, de dimensió n, si i solament si Ay=λy .
Teorema 30: Si y
és un vector propi de A, i α és un número,
aleshores αy és també un vector propi de A, amb el mateix
valor propi associat.
Teorema 31: Si λ
és un valor propi de A, aleshores A-λI és una matriu
singular (no invertible).
Definició 7:
Designarem per Π al conjunt de totes les
permutacions p=Pu, on P siga una
matriu de permutació de dimensió nxn i u=(1...n).
Designarem per σ
p a la
paritat de la permutació p,
de manera que σ
p=1 si la corresponent matriu
de permutació P és el producte d'un número par de
matrius de permutació simples, i σ
p=-1
si la corresponent matriu de permutació P és el producte
d'un número impar de matrius de permutació simples.
Definició 8:
Per a cada matriu A de dimensió nxn definim
el seu
determinant com
det(A)=
ΣpcΠ σ
p
A
1 p1 A
2
p2 ∙∙∙ A
n pn
Teorema -4: Una matriu
A de dimensió nxn és regular si i solament si det(A)≠0
.
Teorema 32: λ
és un valor propi de A si i solament si det(A-λI)=0 .