en castellano en http://www.uv.es/pla/Tutoria/mniq/guiamniq.htm

Objectius:

Específics:

0. Estimar els diferents tipus d'error que es produeixen en la resolució de problemes per mètodes numèrics.
1. Obtenir aproximacions successives a la solució d'un sistema d'equacions lineals Ax=b.
2. Resoldre per aproximacions successives una equació no lineal del tipus f(x)=0.
3. Trobar una funció polinòmica que passe per un conjunt de punts.
4. Obtenir una solució aproximada de la integral definida d'una funció, ∫_a b f(x)dx

Genèrics:

1. Aprendre a treballar en equip.
2. Aprendre a exposar públicament un treball.
3. Adquirir respecte pels companys que exposen un treball, atenent-los i ajudant-los en cas necessari.
4. Aprendre a realitzar raonaments deductius per a demostrar un enunciat a partir de determinades premisses.
5. Adquirir la capacitat de qüestionar la fiabilitat dels resultats obtinguts per mètodes numèrics.

Metodologia:

• Treball en classe en grups menuts debatint textos, demostrant enunciats i resolent problemes, seguit de la seua exposició pública.
• Treball en equip fora de classe, elaborant treballs per a la seua presentació al professor.
• Treball pràctic en aula d'informàtica, confeccionant programes per a la resolució de problemes, executant-los per a obtenir els seus resultats, i valorant aquests resultats, reflectint tot això en una memòria de cada pràctica.

Bibliografia:

• Aubanell, A., Benseny, A., Delshams, A. (1991), Eines bàsiques de Càlcul Numèric, Universitat Autònoma de Barcelona, Bellaterra
• Aubanell, A., Benseny, A., Delshams, A. (1993), Útiles básicos de Cálculo Numérico, Editorial Labor, Barcelona
• Conte, S.D., de Boor, C. (1985), Análisis Numérico, McGraw-Hill, México
• Martínez Salas, J. (1989), Métodos Matemáticos, Ed.el autor, Valladolid
• Arándiga, F. (2002), Càlcul Numèric, Departament de Matemàtica Aplicada, Universitat de València

Avaluació:

• La qualificació final serà la mitjana de la nota de teoria i la nota de pràctiques, sempre que ambdues siguen igual o superior a 4 (sobre un màxim de 10).
• Per a la nota de teoria puntuarà fins a 8 punts l'avaluació d'un examen final individual escrit, i fins a 2 punts la realització de treballs en equip, que solament podran considerar-se en cas d'assistència regular a classe (en cas contrari, haurien de respondre's qüestions addicionals en l'examen final puntuables fins als 2 punts restants). Es podrà utilitzar un formulari escrit a ma personalment en un màxim de 5 fulls sense problemes resolts (no s'admeten fotocòpies). A més, es prevaldrà la participació activa en classe sumant una dècima per cada exposició pública d'un treball realitzat en classe.
• Per a la nota de pràctiques, sobre la base de l'assistència obligatòria a les mateixes, es valorarà la memòria presentada de cada pràctica, que haurà de contenir els programes elaborats, els resultats obtinguts amb ells i la valoració dels mateixos.
  

Tema 0: Estimar els diferents tipus d'error que es produeixen en la resolució de problemes per mètodes numèrics:

Objectius:

1. Comprendre la diferència entre errors intrínsecs i instrumentals.
2. Comprendre els conceptes d'error absolut i error relatiu.
3. Entendre com tracten els ordinadors els nombres no sencers.
4. Estimar quantes xifres significatives es coneixen d'una determinada quantitat.

Metodologia:

• Debatre un text en grups menuts, posant posteriorment en comú el resultat del debat.
• Realització de tasques en grups menuts, exposant públicament a continuació les seues conclusions.

Activitats:

Activitat 1. Debatre en grups menuts el següent text, escollint prèviament un portaveu de cada grup per a exposar posteriorment les conclusions i si escau els dubtes suscitats:

    Els mètodes numèrics permeten obtindre solucions aproximades a determinats problemes. Per avaluar aquestes solucions, és important tindre una estimació de l'error.

    Hi ha errors intrínsecs al mètode utilitzat. Normalment aquests errors es poden fer tan petits com es vulga, a través d'aproximacions successives. Tanmateix, al disposar d'un temps finit per realitzar els càlculs, hem de conformar-se amb aproximar amb un cert marge d'error. Caldrà, doncs, un compromís entre la cota d'error admesa i el temps màxim de càlcul que ens podem permetre. 
    Naturalment, seran preferibles aquells mètodes que permetan aproximar fins a una determinada cota d'error en menys temps, els quals direm que tenen una velocitat de convergència major. En els mètodes que aproximen iterativament a través d'una sèrie de passos successius, podem mesurar aquesta velocitat per la inversa del número de passos necessaris. Tanmateix, des del punt de vista del temps de càlcul cal valorar també la complexitat dels càlculs a realitzar en cada pas.
    Als efectes anteriors, normalment treballarem amb l'error absolut, definit com el valor absolut de la diferència entre el valor exacte x i l'aproximació ,  
Definició 1:   ε  =  | x - |
    Naturalment, en desconèixer el valor exacte l'únic que podrem fer és estimar l'error, donant una cota superior per al mateix.

    Hi ha també errors instrumentals deguts a l'instrument de càlcul utilitzat. En  particular, les calculadores i ordinadors digitals treballen amb un número finit de xifres, i per tant no utilitzen números amb infinites xifres decimals, com els irracionals o els fraccionaris  "decimals periòdics". Per exemple, aproximarien 1/3 = 0' 3 ≈ 0'333333 , amb un número de xifres decimals depenent de la precisió de l'instrument.
    Per aproximar el càlcul dels números racionals i reals, els ordinadors treballen amb números decimals en punt flotant, tractant per separat les xifres significatives (mantissa) i l'ordre de magnitud (característica). Per exemple, 0'0000000000000235410347=   2'35410347.10^-14 s'expressarà com  2.35410347E-14.
    Per tal com la principal limitació està en el número de xifres significatives admeses, allò que ens importarà serà l'error relatiu del valor aproximat  respecte del valor exacte x, definit com
Definició 2:   ε_r =  | x - | / | x |

Activitat 2. Obtenir una fórmula que coneixent l'error relatiu i la mantissa ens proporcione el nombre de xifres significatives exactes que coneixem, d'acord amb la
Definició 3: Direm que =aEb (amb 1≤ a< 10) aproxima a x amb un nombre sencer de k xifres significatives si i només si

Treball 1 (per a la seua realització en equip):
a) Ampliar la classificació dels errors plantejada en l'Activitat 1 a partir de la bibliografia recomanada.
b) Posar diferents exemples d'aproximació de a x amb diferents errors absoluts i relatius i calcular el nombre de xifres significatives amb que s'aproxima en cada cas. Avaluar de què depèn aquest nombre. Considerar algun cas que l'error relatiu siga major a 0'5 i valorar-lo.

Tema 1: Obtenir aproximacions successives a la solució d'un sistema d'equacions lineals Ax=b :

Objectius:

1.  Trobar criteris de convergència per a una transformació x^(k+1) = G(x^(k)) tal que A(lim _k→∞ x^(k)) = b
1. Trobar una condició suficient per a l'existència d'una solució única d'una equació d'iteració lineal de punt fix x=Bx+c.
2. Trobar criteris de convergència per a una iteració lineal de punt fix x=Bx+c.
3. Transformar un sistema d'equacions lineals Ax=b en una iteració lineal de punt fix x=Bx+c equivalent
4. Trobar una condició suficient perquè aquesta transformació genere una iteració lineal de punt fix convergent
2. Aproximar iterativament la solució d'un sistema d'equacions lineals Ax=b utilitzant com aproximació a la matriu A la seua matriu diagonal D (mètode de Jacobi)
1. Obtenir la iteració lineal de punt fix equivalent al sistema Ax=b pel mètode de Jacobi.
2. Trobar una condició per a la matriu A que garantisca que aquesta iteració lineal de punt fix siga convergent.
3. Avaluar un sistema d'equacions lineals i adaptar-lo si escau perquè complisca la condició de convergència
3. Aproximar iterativament la solució d'un sistema d'equacions lineals Ax=b utilitzant com aproximació a la matriu A la seua matriu triangular inferior L+D (mètode de Gauss-Seidel)
1. Trobar una expressió simplificada en funció de L, D i U de la matriu B de la iteració lineal de punt fix x=Bx+c, equivalent al sistema Ax=b amb A=L+D+U, obtinguda pel mètode de Gauss-Seidel.
2. Trobar una expressió que ens permeta calcular successivament els diferents components del vector x^(k+1) .
3. Discutir la convergència de la iteració lineal de punt fix obtinguda pel mètode de Gauss-Seidel

Metodologia:

• Deduir enunciats lògicament, treballant en la mesura del possible en grups menuts per a exposar públicament a continuació la seua demostració.
• Resoldre problemes en grups menuts i exposar públicament a continuació la seua resolució.
• Treballar en aula d'informàtica elaborant programes per a la resolució iterativa de sistemes d'equacions lineals, executant-los per a la resolució d'un sistema determinat i avaluant la seua velocitat de convergència.

Activitats:

Activitat 1 . Definint la norma matricial associada a una norma vectorial per
Definició 4: ||A|| = max _x≠0 ||Ax||/||x||
amb el que es compleix
Teorema 2: ||Bx|| ≤ ||B||·||x||
demostrar per reducció a l'absurd que
Teorema 3: Si ||B||<1& x=Bx , llavors x=0.

Activitat 2 . Recordant quina és la condició necessària i suficient perquè:
a) un sistema homogeni d'equacions lineals com x=Bx tinga solució única x=0.
b) un sistema inhomogeni d'equacions lineals com x=Bx+c tinga solució única,
demostrar que
Teorema 4: Si ||B||<1 , llavors x=Bx+c té solució única

Activitat 3 . Recordant que, per les propietats dels nombres naturals, haurem demostrat per inducció matemàtica que una propietat es compleix per a tot nombre natural k si es compleix per a k=0 i podem demostrar que, suposant que es compleix per a k, es complirà per a k+1, [p₀ & (k) (p_k→ p_k+1)]→ (k) p_k , demostrar que
Teorema 5: Si x=Bx+c & per a tot nombre natural k, x^(k+1)=Bx^(k)+c, llavors per a tot nombre natural k, x-x^(k)=B^k(x-x⁽⁰⁾) .

Activitat 4 . Recordant que podem deduir que una successió no negativa tendirà a zero si està fitada superiorment per altra successió que tendeix a zero, demostrar que
Teorema 6: Si ||B||<1 & per a tot nombre natural k, x^(k+1)=Bx^(k)+c, llavors existeix x tal que x=Bx+c & x=lim _k→∞ x^(k) .

Activitat 5 . Recordant que, si x=Bx+c & x^(k)=Bx^(k-1)+c, llavors x-x^(k)=B(x-x^(k-1)), així com la propietat triangular
Teorema -1: ||x-x^(k-1)|| ≤ ||x-x^(k)|| + ||x^(k)-x^(k-1)||
demostrar que
Teorema 7: Si x=Bx+c & x^(k)=Bx^(k-1)+c  & ||B||<1, llavors podem fitar l'error d'aproximació de x^(k) a x per
||x-x^(k)|| ≤ ||x^(k)-x^(k-1)||·||B||/(1-||B||) .

Activitat 6 . Demostrar que, sent I=(δ_ij)_i,j=1...n  la matriu identitat (els elements de la qual valen 1 si i=j i 0 si i≠j) i A, B, C matrius n per n, es compleix que
Teorema 8: Si B=I-C^-1A & c=C^-1b, llavors x=Bx+c és equivalent a Ax=b .

Activitat 7 . Demostrar que, definint
Definició 5: C és una bona aproximació a A, C≈A, si i només si ||I-C^-1A||<1
es compleix que
Teorema 9: Si C≈A & B=I-C^-1A & c=C^-1b & per a tot nombre natural k, x^(k+1)=Bx^(k)+c, llavors
A(lim _k→∞ x^(k))=b .

Activitat 8 . Recordant que la inversa de la matriu diagonal D=((δ_ijA_ii)_i,j=1...n  és
Teorema -2: D^-1=((δ_ij/A_ii)_i,j=1...n
que els productes matricials es calculen mitjançant (XY)_ij=∑ _k X_ikI_kj i que ∑ _k δ_ikX_k = X_i, demostrar que
Teorema 10: Si C=D & B=I-C^-1A & c=C^-1b , llavors, per a tot i,j=1...n, c_i=b_i/A_ii & B_ij = -A_ij/A_ii si i≠j & Bij=0 si i=j .

Activitat 9 . Obtenir l'expressió de la iteració corresponent al mètode de Jacobi,
Teorema 11: x^(k+1)_i =

Activitat 10 . A partir de les següents definicions:
Definició 6: Direm que la matriu A és estrictament diagonalment dominant per files si i només si, per a tot
i=1...n, |A_ii| > ∑ _j≠i |Aij|
Definició 7: ||x||_∞ = max _i |x_i|
i sabent que
Teorema -3: ||A||_∞ = max _i ∑ _j=1ⁿ |Aij|
demostrar que
Teorema 11: Si la matriu A és estrictament diagonalment dominant per files, llavors la iteració corresponent al mètode de Jacobi és convergent.

Activitat 11.
Problema 2: Aproximar la solució del sistema d'equacions
    {10x₁+x₂+x₃=12 , x₁+10x₂+x₃=12 , x₁+x₂+10x₃=12} pel mètode de Jacobi: iterar des de (x₁,x₂,x₃)=(0,0,0) fins que ||x^(k)-x^(k-1)||_∞<0.005 ; fitar l'error.
Què passaria si prenguérem el sistema d'equacions
    {x₁+10x₂+x₃=12 , x₁+x₂+10x₃=12 , 10x₁+x₂+x₃=12}?

Activitat 12 . Sent L_ij=A_ij si i>j, L_ij=0 si i≤j, U_ij=A_ij si i<j, U_ij=0 si i≥j, de manera que

obtenir una expressió simplificada de B en funció de L, D i U,
Teorema 12: Si C=L+D & B=I-C^-1A, llavors B=

Activitat 13 . Recordant que c=C^-1b, obtenir l'expressió matricial de la iteració corresponent al mètode de Gauss-Seidel,
Teorema 13: x^(k+1) =

Activitat 14 . Per a evitar el càlcul, no trivial, de (L+D)^-1, aplicar D^-1(L+D) a ambdós termes de l'expressió anterior i reescriure l'expressió resultant en la forma
Teorema 14: x^(k+1) = D^-1(                                                                              )

Activitat 15 . Obtenir una expressió que ens permeta calcular successivament els diferents components
Teorema 15: x^(k+1)_i =

Desenvolupar aquesta expressió per al cas n=3.

Activitat 16 . Discutir les condicions de convergència del mètode de Gauss-Seidel.

Activitat 17.
Problema 3: Aproximar la solució del sistema d'equacions
    {10x₁+x₂+x₃=12 , x₁+10x₂+x₃=12 , x₁+x₂+10x₃=12} pel mètode de Gauss-Seidel: iterar des de (x₁,x₂,x₃)=(0,0,0) fins que ||x^(k)-x^(k-1)||_∞<0.005 ; comparar la seua velocitat de convergència amb la del mètode de Jacobi.


Treball 2 (per a la seua realització en equip):
Aproximar la solució del sistema d'equacions {3x+y=4, x+2y=3} pel mètode de Jacobi a partir de x⁽⁰⁾=(1,3) i de x⁽⁰⁾=(10,0) fins que es complisca ||x^(k)-x^(k-1)||_∞<0.05 , representant gràficament en el plànol els successius punts trobats.
Aproximar aquesta solució pel mètode de Gauss-Seidel a partir de x⁽⁰⁾=(1,3), representant gràficamente en el plànol els successius punts trobats.
Aplicar el mètode de Jacobi a partir de x⁽⁰⁾=(1,3) amb el sistema escrit d'aquesta forma: {x+2y=3, 3x+y=4}, representant gràficamente en el plànol els successius punts trobats.
Comparar les diferents iteracions, valorant la seua convergència.

Tema 2: Resoldre per aproximacions successives una equació no lineal del tipus f(x)=0 :

Objectius:

1. Desenvolupar un algorisme que ens permeta anar fitant en intervals cada vegada més menuts una solució de l'equació f(x)=0 tenint en compte el signe de f(x) en els extrems d'un interval.
2. Desenvolupar un algorisme que ens permeta anar aproximant-nos cada vegada més a una solució de l'equació f(x)=0 tenint en compte el valor de f(x) en els extrems d'un interval.
3. Desenvolupar un algorisme que ens permeta anar fitant en intervals tan menuts com vulguem una solució de l'equació f(x)=0 tenint en compte el valor de f(x) en els extrems d'intervals successius.
4. Desenvolupar un algorisme que ens permeta anar aproximant-nos cada vegada més a una solució de l'equació f(x)=0 tenint en compte el valor de f(x) en un punt i la seua derivada.
5. Entendre les dificultats que es troben amb els diferents algorismes per a aproximar-se o fitar una solució de l'equació f(x)=0.
   
6. Estudiar la velocitat de convergència d'una successió que tendisca a una solució de l'equació f(x)=0.
7. Desenvolupar un algorisme que permeta convergir el més ràpidamente possible cap a una solució de l'equació f(x)=0.

Metodologia:

• Reflexionar col·lectivament, en grups menuts i en el conjunt de la classe, sobre diferents procediments per a aproximar-se a una solució de l'equació f(x)=0.
• Deduir l'ordre de convergència de diferents mètodes de recerca d'una solució de l'equació f(x)=0, en classe (en grups menuts exposant a continuació les conclusions obtingudes) i a través un treball en equip.
• Treballar en aula d'informàtica elaborant programes per a aproximar una solució de l'equació f(x)=0, executar-los i valorar els resultats obtinguts.

Activitats:

Activitat 1: tenint en compte el Teorema de Bolzano,
Teorema -4: Per a tot interval [a,b] de nombres reals, i tota funció contínua f : [a,b]→R, si f(a)·f(b)<0, llavors existeix un nombre xc[a,b] tal que f(x)=0,

si es compleix la premissa del teorema i prenent inicialment u=a & v=b, calculant w=(u+v)/2 i examinant el signe de f(w), estudiar quin nou interval hauríem de prendre per a seguir fitant la solució (mètode de la Bisecció).

Pot experimentar-se gràficament amb un "applet" en http://centres5.pntic.mec.és/marque12/matem/bolzano.htm
Pot trobar-se un model d'algorisme en http://www.uv.és/pla/Tutoria/mniq/algorit1.gif
Si reiterem el procés fins que la longitud de l'interval siga menor que una tolerància ε, de què dependrà, en general, el nombre de vegades que hàgem de reiterar-lo?

Activitat 2.
Problema 4: Si a=0, b=8, ε=0.25, quants passos seran necessaris com a màxim per a arribar a una solució aproximada amb aqueixa cota d'error? Obtenir una expressió general que ens done el nombre de passos en funció de a, b i ε.

Activitat 3 . Suposant a< b & f(a)·f(b)<0 i prenent inicialment u=a & v=b, obtenir l'equació de la recta que passa pels punts (u,f(u)) & (v,f(v)) i calcular el punt (w,0) que talla a l'eix d'abcises,

w =

Examinant el signe de f(w), estudiar quin nou interval hauríem de prendre per a seguir fitant la solució (mètode de Regula- Falsi).
Pot experimentar-se gràficamente amb un "applet" en http://www.apropos-logic.com/nc/RegulaFalsiAlgorithm.html
Pot trobar-se un model d'algorisme en http://www.uv.és/pla/Tutoria/mniq/algorit2.gif

Activitat 4.
Problema 5: Aplicar el mètode de Regula-Falsi en la figura adjunta fins que la longitud de l'interval siga menor a la del segment indicat (ε):

Activitat 8. Definint l'ordre de convergència d'una successió per la
Definició 8: Donats pcR⁺, αcR i la successió de nombres reals (x_n)_ncN tal que α=lim _n→∞ x_n, direm que aquesta successió té ordre de convergència p si i només si existeix un nombre real L≠0 tal que

i utilitzant l'expressió del desenvolupament en sèrie de Taylor fins al segon ordre del
Teorema -5: Per a tot interval [a,b] de nombres reals, tota funció real contínua i derivable fins a segon ordre en aquest interval, fcC²([a,b],R), i tot parell de nombres α,xc[a,b], existeix ξc[α,x] tal que
demostrar que per a la successió obtinguda pel mètode de Regula-Falsi es compleix
Teorema 16: Per a tot fcC²([x₀,y₀],R), x₀,y₀cR tals que f(x₀)·f(y₀)≠0 , si per a tot ncN,
    x_n+1 = x_n - f(x_n)(y_n-x_n)/(f(y_n)-f(x_n))
    y_n+1 = y_n
& α = lim _n→∞ x_n 
& per a tot xc[x₀,i₀], f "(x)≠0,
llavors existeix ηc[α,y₀] tal que
lim _n→∞ |x_n+1-α|/|x_n-α| = 1/(1+2f '(α)/(f "(η)(y₀-α)))

Activitat 9.
Problema 8: Examinar la figura adjunta per a determinar quin és, en les condicions del Teorema 16, el signe de
f '(α)/(f "(η)(y₀-α))


Activitat 10. Demostrar el
Teorema 17: Per a tota fcC²([x₀,y₀],R) amb x₀,y₀cR tals que f(x₀)·f(y₀)≠0  & per a tot xc[x₀,y₀], f "(x)≠0 , el mètode de Regula-Falsi té ordre de convergència 1.

Activitat 11. Aplicant el desenvolupament en sèrie de Taylor de f(x) fins al segon ordre, així com el desenvolupament en primer ordre de f '(x),
Teorema -6: Per a tot interval [a,b] de nombres reals, tota funció real contínua i derivable fins a segon ordre en aquest interval, fcC²([a,b],R), i tot parell de nombres α,xc[a,b], existeix ξc[α,x] tal que
f '(x) = f '(α) + f "(ξ)(x-α)
demostrar el
Teorema 17: Per a tot subconjunt A de R i tota fcC²(A,R), α,x₀cA, si per a tot ncN,
    x_n+1 = x_n - f(x_n)/f '(x_n) c A.
& α = lim _n→∞ x_n 
& f(α)=0 & f '(α)≠0 (arrel simple)
& f "(α)≠0.
llavors el mètode de Newton té ordre de convergència 2.
Què podria passar si f "(α)=0?

Activitat 12 . Demostrar el
Teorema 18: Per a tot subconjunt A de R i tota fcC²(A,R), α,x₀cA, si per a tot ncN,
    x_n+1 = x_n - f(x_n)/f '(x_n) c A
& α = lim _n→∞ x_n 
& f(α)=0 & f '(α)=0 (arrel múltiple)
llavors el mètode de Newton té ordre de convergència 1.

Activitat 13 . Utilitzant l'expressió del desenvolupament en sèrie de Taylor fins a l'ordre m+1,
Teorema -7: Per a tot interval [a,b] de nombres reals, tota funció real contínua i derivable fins a ordre m+1 en aquest interval, fcC^m+1([a,b],R), i tot parell de nombres α,xc[a,b], existeix ξc[α,x] tal que

f(x) = ∑_i=0 ^m f ⁽ⁱ⁾(α)(x-α)ⁱ/i! + f ^(m+1)(ξ)(x-α)^m+1/(m+1)!
i recordant que
Teorema -8: Per a tot mcN, (m+1)! = (m+1) m!
demostrar el
Teorema 19: Per a tot subconjunt A de R i tota fcC^m+1(A,R), α,x₀cA, si per a tot ncN,
    x_n+1 = x_n - m·f(x_n)/f '(x_n) c A (mètode de Newton modificat)
& α = lim _n→∞ x_n 
& per a tot i=0,1,...m-1, f ⁽ⁱ⁾(α)=0 & f ^(m)(α)≠0 (arrel de multiplicitat m)
& f ^(m+1)(α)≠0.
llavors la successió (x_n)_ncN té ordre de convergència 2.
Què podria passar si f ^(m+1)(α)=0?

Activitat 14. Problema 9: Aplicar el mètode de Newton (modificat si escau) a l'equació f(x) = x3 = 0, representada en la figura adjunta. Quin podria ser el seu ordre de convergència?

Treball 3 (per a la seua realització en equip):
Obtenir algebraicament les solucions de l'equació x²-5x+6=0 .
Aplicar el mètode de Newton para aproximar-se a una solució α a partir del valor inicial x₀=1 fins a arribar a una distància menor a 0'1 d'aquesta solució.
Calcular
lim_xn→α (x_n+1-α)/(x_n-α)² per a comprovar que la successió generada pel mètode de Newton a partir de x₀=1 té ordre de convergència 2 .

Tema 3: Trobar una funció polinòmica que passe per un conjunt de punts:

Objectius:

1. Demostrar l'existència i unicitat del polinomi interpolador de grau menor o igual que m que passa per m+1 punts d'abcises distintes.
2. Trobar una fórmula que ens done directament l'expressió del polinomi interpolador.
3. Trobar un mètode per a obtenir successivament punts interpolats a mesura que introduïm nous punts per a interpolar.
4. Trobar un mètode que ens done successius termes del polinomi interpolador.
   
5. Trobar un mètode per a interpolar coneixent les ordenades d'un conjunt de punts i algunes derivades en els mateixos.
6. Entendre els problemes de fiabilitat de la interpolació, especialment si es realitza fora de l'interval en el qual es tenen dades (extrapolació) o s'utilitzen polinomis d'un grau elevat.
   

Metodologia:

• Deduir enunciats lògicament, treballant en la mesura d'allò possible en grups menuts per a exposar a continuació públicament la seua demostració.
• Aplicar algorismes per a resoldre problemes en grups menuts, exposant a continuació públicament la seua resolució.
• Treballar en aula d'informàtica elaborant programes per a interpolació i regressió lineal, executar-los i valorar els resultats obtinguts.

Activitats:

Activitat 1 . Tenint en compte la condició necessària i suficient perquè un sistema d'equacions lineals siga determinat, el valor del determinant de Vandermonde,
Teorema -9: |x_kⁱ| = ∏ _k>i (x_k-x_i)
i la
Definició 9: Direm que p(x) = ∑ _i=0 ^m a_i xⁱ és un polinomi interpolador de grau menor o igual que m en els punts
{(x_k,f_k) / k=0,1...m} si i només si, per a tot k=0,1...m, p(x_k)=f_k ,
demostrar el
Teorema 20: Si per a tot i≠k, x_i≠x_k, llavors existeix un únic polinomi interpolador de grau menor o igual que m en els punts {(x_k,f_k) / k=0,1...m} .

Activitat 2 . Tenint en compte que
∑ _i=0 ^m Ξ_i = Ξ_k + ∑ _i≠k Ξ_i  per a tot k=0,1...m, i que
∏ _j≠i Ξ_kj = Ξ_kk·∏ _{j≠i & j≠k} Ξ_kj  per a tot i≠k.
demostrar el

Teorema 21: Si per a tot i≠k, xi≠xk, llavors p(x) = ∑ i=0 m fi

∏ j≠i (x-xj) ∏ j≠i (xi-xj)

és el polinomi interpolador de {(x_k,f_k) / k=0,1...m} (mètode de Lagrange).

Activitat 3.
Problema 10: Donats els punts

x k.	1.	2.	4.	5.
f k	0.	2.	12.	21.

obtenir pel mètode de Lagrange la seua interpolació per a x=3.
(suggeriment: a l'aplicar la fórmula, escriure primer cada denominador per a evitar errors)

Activitat 4 . Demostrar el
Teorema 22: Si per a tot i,j=0,1...m, si i≠k, llavors x_i≠x_k,
& si i+j≤m , llavors p_i,j és el polinomi interpolador de grau menor o igual que j en {(x_k,f_k) / k=i,i+1...i+j},
llavors per a tot j=1...m, i=0,1...m-j,

pi,j(x) =

(xi+j-x)pi,j-1 + (x-xi)pi+1,j-1. xi+j - xi

(suggeriment: comprovar que p_i,j(x_i)=f_i & p_i,j(x_i+j)=f_i+j & per a tot k=i+1...i+j-1, p_i,j(x_k)=f_k ).

Activitat 5 . Tenint en compte que, amb els p_i,j definits en el Teorema 22,
Teorema 23: per a tot i=0,1...m & per a tot xcR, p_i,0(x) = f _i
i
Teorema 24: p_0,m és el polinomi interpolador de grau menor o igual que m en {(x_k,f_k) / k=0,1...m} ,
utililizar l'algorisme
(mètode de Neville)
per a resoldre el
Problema 11: Donats els punts

x k	1.	2.	4.
f k	0.	2.	12.

obtenir pel mètode de Neville la seua interpolació per a x=3 .
Afegir a continuació el punt (x₃, f₃) = (5, 21) i obtenir la nova interpolació per a x=3 .
Comparar el resultat obtingut amb el del problema 10.

Activitat 6 . D'acord amb la

Definició 10: Amb {(x_k,f_k) / k=0,1...m} tal que per a tot i,j=0,1...m, si i≠k, llavors x_i≠x_k, definirem les diferències dividides f[x_i,x_i+1,...x_j] mitjançant

f[xi] =	fi	per a tot i=0,1...m
f[xi,xi+1,xj] =	f[xi+1,...xj] - f[xi,...xj-1] xj - xi	per a tot i=0,1...m-1 , j=i+1,...m

i calculant-les amb l'algorisme

f[x0] f[x1] f[x2] f[x3]

> f[x0,x1]  > f[x1,x2]  > f[x2,x3]

> f[x0,x1,x2]  > f[x1,x2,x3]

> f[x0,x1,x2,x3]

Problema 12: comprovar a partir dels punts

k.	0.	1.	2.	3.
x k	1.	2.	4.	5.
f k	0.	2.	12.	21.

i comparant amb els resultats obtinguts pel mètode de Neville que, per a m=0,1,2,3,
p_m(x) = ∑_j=0 ^m  f[x₀,...x_j] ∏_i=0 ^j-1 (x-x_i)
és el polinomi interpolador de grau menor o igual que m en {(x_k,f_k) / k=0,1...m}  (mètode de Newton)

Activitat 7 . Recordant que, d'acord amb la fórmula de Taylor
Teorema -10: p_m(x) = ∑_j=0 ^m  [ f ^(j)(x₀) / j! ] (x-x₀)^j  és el polinomi de grau menor o igual que m que compleix les condicions p_m^(j)(x₀)=f^(j)(x₀) per a  j=0,1...m
així com que
Teorema -11: lim_x→xi (f(x)-f(x_i))/(x-x_i) = f '(x_i)
prendrem
Definició 11: f[x_i,x_i+1,...x_j] = f ^(j-i)(x_i)/(j-i)!  si x_i=x_i+1=...=x_j  i coneixem la derivada d'ordre j-i en el punt x_i de la funció f a interpolar (naturalment, serà també f_i=f_i+1=...=f_j),
amb el que podrem generalitzar el mètode de Newton repetint r vegades el punt (x_i,f_i) si coneixem les derivades fins a l'ordre r-1 en x_i (interpolació d'Hermite).
Problema 13: Aplicar el mètode de Newton generalitzat a partir de les dades p(0)=1 , p'(0)=2 , p(1)=3. Comprovar que el resultat obtingut és el polinomi de grau igual o inferior a 2 que compleix aquestes condicions.

Activitat 8 . Assumint que l'error de la interpolació polinòmica de grau menor o igual que m ve donada per
Teorema -12: f(x)-p_m(x) = [f ^(m+1)(ξ(x))/(m+1)!] ∏_i=0 ^m (x-x_i)  tal que ξ(x)c[a,b] tal que per a tot i=0,1...m, x_ic[a,b]
Problema 14: Fitar el valor de f(3) suposant que

x k	1.	2.	4.	5.
f(x k)	0.	2.	12.	21.

i que la quarta derivada de la funció f(x) en l'interval [1,5] està entre 1 i 2 .

Tema 4. Obtenir una solució aproximada de la integral definida d'una funció, ∫_a^b f(x)dx :
Objectius:

1. Obtenir uns pesos W_k independents de la funció f(x) tals que sumant el seu producte pels corresponents valors de la funció en determinats nodes x_k, ∑ _i=0 ^m W_k f(x_k), proporcione la integral exacta per a polinomis fins a un cert grau, i una bona aproximació per a altres funcions.
2. Aprendre a fitar l'error d'aquesta aproximació expressant-lo com el producte d'un factor C independent de la funció f(x) per la derivada d'un cert ordre r de la funció en algun punt ξ de l'interval d'integració [a,b] , Cf^(r)(ξ).
3. Estudiar el cas de nodes equidistants, x_k=a+kh (Fórmula de Newton-Cotes).
4. Aprendre a millorar l'aproximació augmentant el nombre de nodes.
   
5. Aprendre a millorar l'aproximació utilitzant valors de la derivada de la funció.
6. Aprendre a millorar l'aproximació escollint de forma adequada els nodes (integració gaussiana).
7. Aprendre a valorar comparativament diferents mètodes tenint en compte tant el seu màxim error d'aproximació com el seu cost de computació.

Metodologia:

• Utilitzar el mètode de coeficients indeterminats per a obtenir tant els pesos W_k com el factor C de l'error, a partir de la integral exacta de potències simples i resolent en grups menuts els corresponents sistemes d'equacions per a exposar públicament a continuació els resultats obtinguts.
• Aplicar les fórmules obtingudes per a aproximar la integral de determinades funcions treballant en grups menuts i exposant públicament a continuació els resultats obtinguts.
• Treballar en aula d'informàtica elaborant programes per a l'aproximació d'integrals per diferents mètodes, valorant i comparant els resultats obtinguts.

Activitats:

Activitat 1. Tenint en compte la
Definició 14: Sent f:[a,b]→R una funció integrable, anomenarem integral numèrica polinòmica de f en els nodes x_k tals que a≤x₀<...<x_m≤b a la integral en l'interval [a,b] del polinomi interpolador de grau menor o igual que m en els punts {(x_k,f(x_k)}_k=0,1...m
i utilitzant l'expressió del polinomi interpolador proporcionada pel mètode de Lagrange, justificar l'existència d'uns pesos W_k independents de la funció f(x) amb els quals ∑ _i=0 ^m W_k f(x_k) siga la seua integral numèrica polinòmica.

Activitat 2. Tenint en compte que una integral numèrica polinòmica en m+1 nodes és igual a la integral exacta per a polinomis de grau menor o igual que m, trobar un sistema d'equacions per a l'obtenció dels pesos Wk i demostrar que si per a tot i≠k, x_*i≠x_k, aquest sistema d'equacions té solució única.

Activitat 3.
Deduir la fórmula de la integral  numèrica polinòmica prenent com nodes els extrems de l'interval (Fórmula del Trapezi),
T=

Activitat 4.
Problema 15: Aplicar la Fórmula del Trapezi per a obtenir una aproximació a la integral de (1+x³)^½ entre 0 i 10 (veure Figura en http://www.uv.es/pla/Tutoria/mniq/p15.gif).

Activitat 5. Tenint en compte l'expressió de l'error de la interpolació polinòmica de grau menor o igual que m donada pel Teorema -12 , així com que
Teorema -13: Per a tota funció integrable f:[a,b]→R, |∫_a b f(x)dx| ≤ ∫_a b |f(x)|dx .
Teorema -14: Per a tot parell de funcions integrables f:[a,b]→R, g:[a,b]→R⁺, existeix ξc[a,b] tal que

Activitat 24. Calcular els pesos W'₀ i W'₁ i el valor de c per als quals W'₀ f(-c) + W'₁ f(c) dóna el valor exacte de
∫_-1 ¹ f(t)dt per a polinomis fins al segon grau. Comprovar que {-c, c} són les arrels del polinomi de Legendre de 2º grau, P₂(t)=(3t²-1)/2 , que compleix les condicions d'ortogonalitat
∫_-1 ¹ P₂(t)P₁(t)dt = 0.
∫_-1 ¹ P₂(t)P₀(t)dt = 0.
amb P₀(t)=1 i P₁(t)=t polinomis de Legendre que compleixen al seu torn
∫_-1 ¹ P₁(t)P₀(t)dt = 0.

Activitat 25. Obtenir l'expressió de l'error de la integral numèrica polinòmica de  ∫_-1 ¹ f(t)dt en les arrels del polinomi de Legendre de 2º grau. Indicar per a quins polinomis serà exacte aquest mètode.

Activitat 26. Obtenir una fórmula general per a la integració de  ∫_a^b f(x)dx realitzant el canvi x=(a+b)/2 + (b-a)t/2 i utilitzant la integral numèrica polinòmica de ∫_-1 ¹ f(t)dt en les arrels del polinomi de Legendre de 2º grau,
L2 =
amb un error
ε_L2 =

Activitat 27.
Problema 22: Aproximar, utilitzant la fórmula derivada de la integració numèrica polinòmica en les arrels del polinomi de Legendre de 2º grau,
a) ∫_-1 ¹ e ^x2 dx
b) ∫₀ ¹⁰ (1+x³)^½dx
Fitar els corresponents errors.

Activitat 28. Demostrar el
Teorema 31: Per a tota fcC⁴([a,b],R),

dóna una aproximació a  ∫_a ^b f(x)dx amb un error