Sesión 1 — Señales, muestreo y cuantización
Práctica de aula del 1 de octubre de 2026
Cómo trabajar esta sesión
Los siete problemas son los que se resuelven en el aula. Intenta cada uno a mano —con papel, calculadora y las fórmulas de referencia— antes de abrir la solución: lo que se evalúa no es el resultado, sino saber montar el planteamiento. Las soluciones están plegadas; cada una explica el razonamiento completo, no solo el número final.
Señales
- Energía: \(E = \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2\) o \(E = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2\,dt\).
- Potencia media: \(P = \displaystyle\lim_{N\to\infty} \frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2\) o \(P = \displaystyle\lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} |x(t)|^2\,dt\). Si \(E\) es finita, \(P = 0\) (señal de energía); si \(P\) es finita y no nula, \(E = \infty\) (señal de potencia).
- Convolución: \((x * y)(t) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x(\theta)\,y(t-\theta)\,d\theta\).
- Exponencial por coseno: \(\displaystyle\int e^{a\theta}\cos(b\theta)\,d\theta = \frac{e^{a\theta}}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\!\left(b\theta - \arctan\frac{b}{a}\right)\).
- Correlación: \(R_{xy}[l] = \displaystyle\sum_n x[n]\,y[n+l]\); la autocorrelación es el caso \(y = x\), es par y cumple \(R_{xx}[0] = E\), que es su máximo.
- Secuencias finitas: se listan entre llaves con una flecha bajo la muestra de \(n = 0\); la señal es nula fuera de las muestras indicadas.
Muestreo
- Nyquist: \(f_s > 2 f_{\max}\). La desigualdad es estricta.
- Frecuencia digital: \(\Omega = \dfrac{f}{f_{nyq}}\,\pi = \dfrac{2\pi f}{f_s}\) (rad/muestra). Sumar o restar \(2\pi\) a \(\Omega\) no cambia las muestras, y por eso se pliegan las frecuencias: toda frecuencia digital equivale a una del intervalo \([-\pi, \pi]\).
- Frecuencia digital aparente: \(\Omega'\), el resultado de llevar \(\Omega\) al intervalo \([-\pi, \pi]\) restándole el múltiplo de \(2\pi\) más próximo.
- Frecuencia analógica aparente: \(f' = \dfrac{\Omega'}{\pi}\,f_{nyq} = f - k f_s\), con \(|f'| \leq f_{nyq}\). Un D/A ideal reconstruye \(|f'|\). Si \(f' < 0\): un seno cambia de signo y un coseno no, y una fase \(\varphi\) cambia de signo.
- Productos a sumas: para descomponer un producto de senoides en senoides sueltas, cada una con su frecuencia:
- \(\cos A \cos B = \tfrac{1}{2}\big[\cos(A-B) + \cos(A+B)\big]\)
- \(\sin A \sin B = \tfrac{1}{2}\big[\cos(A-B) - \cos(A+B)\big]\)
- \(\sin A \cos B = \tfrac{1}{2}\big[\sin(A+B) + \sin(A-B)\big]\)
- \(\cos A \sin B = \tfrac{1}{2}\big[\sin(A+B) - \sin(A-B)\big]\)
- Potencias: \(\cos^2 A = \tfrac{1}{2}\big[1 + \cos 2A\big]\) y \(\sin^2 A = \tfrac{1}{2}\big[1 - \cos 2A\big]\)
Cuantización
- Paso o resolución: \(Q = \dfrac{V_{FS}}{2^N - 1}\), con \(V_{FS}\) el rango completo del conversor: los \(2^N\) niveles llegan exactamente a los dos extremos del rango.
- Número de bits por precisión: \(2^N - 1 \geq \dfrac{\text{rango}}{\text{precisión}}\).
- Error: \(|\varepsilon| \leq Q/2\) si se redondea; \(0 \leq \varepsilon < Q\) si se trunca.
- Relación señal-ruido: \(\mathrm{SQNR} \approx 6.02\,N + 1.76\) dB.
- Bit-rate: \(R_b = f_s \cdot N\).
Señales: operaciones, energía y convolución
La flecha marca el origen, así que las muestras van de \(n = -1\) a \(n = 2\):
| \(n\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x[n]\) | \(1\) | \(2\) | \(-2\) | \(3\) |
a) Operaciones. Se aplican las operaciones de dentro a fuera, en este orden:
| Paso | Operación | Resultado | Efecto |
|---|---|---|---|
| 1 | Adelanto de 2 muestras | \(x[n+2]\) | La señal se desplaza dos muestras a la izquierda |
| 2 | Reflexión | \(x[-n+2]\) | Se refleja la señal respecto al eje vertical |
| 3 | Escalado de amplitud | \(0.5\,x[-n+2]\) | Cada muestra se reduce a la mitad |
| 4 | Desplazamiento vertical | \(0.5\,x[-n+2]-1\) | Toda la señal baja una unidad |
NOTA: Recuerda que dos primeros pasos actúan sobre el argumento de la función y hay que hacerlos en ese orden: primero el desplazamiento y luego la reflexión.
| \(n\) | \(-5\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x[n]\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(-2\) | \(3\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(x[2+n]\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(-2\) | \(3\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(x[2-n]\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(3\) | \(-2\) | \(2\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) |
| \(0.5\,x[2-n]\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1.5\) | \(-1\) | \(1\) | \(0.5\) | \(0\) | \(0\) |
| \(y[n] = 0.5\,x[2-n]-1\) | \(-1\) | \(-1\) | \(-1\) | \(-1\) | \(-1\) | \(0.5\) | \(-2\) | \(0\) | \(-0.5\) | \(-1\) | \(-1\) |
b) Energía y potencia. La energía es la suma de los cuadrados:
\[ E_x = \sum_{n=-1}^{2} |x[n]|^2 = 1 + 4 + 4 + 9 = 18 \]
Como la energía es finita y no nula, \(x[n]\) es una señal de energía y su potencia media es
\[ P_x = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2 = \lim_{N\to\infty} \frac{18}{2N+1} = 0 \]
c) Autocorrelación. Se aplica el método tabular para correlación cruzada, visto en clase, en el que las señal avanza de arriba a abajo y de derecha a izquierda, y al final se suma por columnas:
| \(l=-3\) | \(l=-2\) | \(l=-1\) | \(l=0\) | \(l=1\) | \(l=2\) | \(l=3\) | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x[-1]=1\) | \(1(1)\) | \(2(2)\) | \(-2(-2)\) | \(3(3)\) | |||
| \(x[0]=2\) | \(2(1)\) | \(4(2)\) | \(-4(-2)\) | \(6(3)\) | |||
| \(x[1]=-2\) | \(-2(1)\) | \(-4(2)\) | \(4(-2)\) | \(-6(3)\) | |||
| \(x[2]=3\) | \(3(1)\) | \(6(2)\) | \(-6(-2)\) | \(9(3)\) | |||
| \(R_{xx}[l]\) | \(\mathbf{3}\) | \(\mathbf{4}\) | \(\mathbf{-8}\) | \(\mathbf{18}\) | \(\mathbf{-8}\) | \(\mathbf{4}\) | \(\mathbf{3}\) |
El resultado es
\[ R_{xx}[l] = \{3,\, 4,\, -8,\, \underset{\uparrow}{18},\, -8,\, 4,\, 3\} \]
Un par de comprobaciones que se pueden hacer para el caso de la autocorrelación:
- El valor \(R_{xx}[0]\) es el máximo de toda la secuencia
- El resultado es par, aunque \(x[n]\) no lo sea
a) Convolución. Por definición, y sustituyendo las dos señales:
\[ (x * y)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\theta)\,y(t-\theta)\,d\theta = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-3\theta} \underbrace{{\color{#2c7fb8}{u(\theta)}}}_{\neq\, 0 \;\text{si}\; {\color{#2c7fb8}{\theta \,\geq\, 0}}} \;e^{-2(t-\theta)} \underbrace{{\color{#e74c3c}{u(t-\theta-2)}}}_{\neq\, 0 \;\text{si}\; {\color{#e74c3c}{\theta \,\leq\, t-2}}}\,d\theta \]
Cada escalón anula la integral por un lado:
- \({\color{#2c7fb8}{u(\theta)}} \neq 0 \iff {\color{#2c7fb8}{\theta \geq 0}}\)
- \({\color{#e74c3c}{u(t-\theta-2)}} \neq 0 \iff {\color{#e74c3c}{\theta \leq t-2}}\)
Por tanto, la integral puede truncarse (recuerda que todo lo que depende de \(t\) se puede sacar de la integral porque la variable de integración es \(\theta\)):
\[ {\color{#9370db}{t \,\geq\, 2}} \Longleftarrow \underbrace{{\color{#2c7fb8}{0}} \,\leq\, \theta \,\leq\, {\color{#e74c3c}{t-2}}}_{\color{#41ab5d}{\text{ventana}}} \Longrightarrow (x * y)(t) = e^{-2t}\int_{{\color{#2c7fb8}{0}}}^{{\color{#e74c3c}{t-2}}} e^{-\theta}\,d\theta \]
La ventana solo existe si \({\color{#9370db}{t \geq 2}}\). Por tanto, para \(t < 2\) no hay solapamiento y la convolución vale \(0\).
Integrando la exponencial:
\[ (x * y)(t) = e^{-2t}\int_{{\color{#2c7fb8}{0}}}^{{\color{#e74c3c}{t-2}}} e^{-\theta}\,d\theta = e^{-2t}\left(e^{-{\color{#2c7fb8}{0}}} - e^{-({\color{#e74c3c}{t-2}})}\right) = e^{-2t}\Big[1 - e^{-(t-2)}\Big] \]
El resultado solamente es válido para \({\color{#9370db}{t \geq 2}}\), lo cual podemos expresar usando la función escalón:
\[ (x * y)(t) = \left(e^{-2t} - e^{2}\,e^{-3t}\right) {\color{#9370db}{u(t-2)}} \]
b) Primero desplazamos \(x(t)\) dos unidades:
\[ x(t-2) = e^{-3(t-2)}\,u(t-2) = e^{6}e^{-3t}\,u(t-2) \]
Ahora multiplicamos por \(y(t)\), y como ambos factores tienen el mismo escalón, podemos fusionarlo en uno solo:
\[ z(t) = e^{6}e^{-3t}\,e^{-2t}\,u(t-2) = e^{6}e^{-5t}\,u(t-2) \]
Es una exponencial que empieza en \(t = 2\) con valor \(z(2) = e^{6}e^{-10} \approx 0.0183\) y decae con constante de tiempo \(1/5 = 0.2\) s.
c) Energía y potencia de \(z(t)\).
\[ E_z = \int_{-\infty}^{\infty} |z(t)|^2\,dt = \int_{2}^{\infty} e^{12}e^{-10t}\,dt = e^{12}\left[\frac{e^{-10t}}{-10}\right]_{2}^{\infty} = \frac{e^{12}e^{-20}}{10} = \frac{e^{-8}}{10} \approx 3.35 \times 10^{-5} \]
La energía es finita, luego \(z(t)\) es una señal de energía y su potencia media es nula:
\[ P_z = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} |z(t)|^2\,dt = \lim_{T\to\infty} \frac{E_z}{2T} = 0 \]
NOTA: Toda señal que decae a cero con integral convergente se comporta igual: energía finita, potencia cero. Las señales de potencia son las que no se apagan (periódicas, escalones, ruido).
Un sistema LTI tiene como respuesta al impulso una exponencial, y en \(t = 0\) se le conecta una entrada senoidal:
\[x(t) = \cos(2t)\,u(t) \qquad\qquad h(t) = e^{-t}\,u(t)\]
a) Calcula la convolución \(y(t) = (x * h)(t)\), usando la integral de la exponencial por el coseno de las fórmulas de referencia.
b) En el tema siguiente veremos que esta convolución es la respuesta de un circuito RC con \(R = 1\) k\(\Omega\) y \(C = 1\) mF. La señal \(y(t)\) es la tensión en el condensador cuando aplicamos una tensión de entrada \(x(t)\). Abajo tienes una respresentación de ambas señales. Razona el significado físico de la solución.
Muestreo y aliasing
a) Señal reconstruida. Calculamos la frecuencia de muestreo
\[ T = 10\,\text{ms} \;\Rightarrow\; f_s = \frac{1}{T} = 100\,\text{Hz} \] y la frecuencia de Nyquist \(f_{nyq} = f_s/2 = 50\) Hz. Las tres componentes tienen frecuencias analógicas \(f = \dfrac{\omega}{2\pi}\):
\[ f_1 = \frac{200\pi}{2\pi} = 100\,\text{Hz} \qquad f_2 = \frac{1000\pi}{2\pi} = 500\,\text{Hz} \qquad f_3 = \frac{350\pi}{2\pi} = 175\,\text{Hz} \]
Las tres superan la frecuencia de Nyquist (50 Hz), así que ninguna se muestrea correctamente. Para saber en qué se convierte cada una, se calcula su frecuencia digital
\[ \Omega = \frac{f}{f_{nyq}} \pi \]
y se lleva al intervalo \([-\pi, \pi]\) restándole \(2\pi\) tantas veces como sea necesario. Aplicando ese procedimiento a las tres componentes, se obtiene la siguiente tabla:
| Componente | \(f\) (Hz) | \(\Omega = \frac{f}{f_{nyq}}\pi\) | \(\Omega'\) | \(|f'| = \frac{|\Omega'|}{\pi}\,f_{nyq}\) (Hz) |
|---|---|---|---|---|
| \(10\cos(200\pi t)\) | \(100\) | \(2\pi\) | \(0\) | \(0\) |
| \(3\sin(1000\pi t)\) | \(500\) | \(10\pi\) | \(0\) | \(0\) |
| \(15\cos(350\pi t + 0.5\pi)\) | \(175\) | \(\frac{7}{2}\pi\) | \(-\frac{1}{2}\pi\) | \(25\) |
Primera, \(f_1 = 100 = f_s\), es decir \(\Omega = 2\pi\): cada muestra avanza una vuelta completa, así que se muestrea exactamente una vez por ciclo:
\[ 10\cos(2\pi n) = 10 \]
Por tanto, esta componente se reconstruye como una continua de 10 V.
Segunda, \(f_2 = 500 = 5 f_s\), o sea \(\Omega = 10\pi\): cinco vueltas por muestra. También cae en un múltiplo de \(f_s\), pero al ser un seno se muestrea siempre en sus pasos por cero:
\[ 3\sin(10\pi n) = 0 \]
Por tanto, esta componente desaparece por completo.
Entre dos muestras consecutivas la señal da cinco vueltas completas, y el A/D solo la ve al pasar por cero: por eso la figura queda tan apretada y la reconstrucción es una recta.
Tercera, \(f_3 = 175\) Hz, con \(\Omega = \frac{7}{2}\pi \to \Omega' = -\frac{1}{2}\pi\), es decir \(f' = -25\) Hz. Al ser negativa, la fase cambia de signo:
\[ 15\cos\!\left(\tfrac{7}{2}\pi n + \tfrac{1}{2}\pi\right) = 15\cos\!\left(-\tfrac{1}{2}\pi n + \tfrac{1}{2}\pi\right) = 15\cos\!\left(\frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{2}\right) \]
En el primer paso se ha restado \(4\pi n\), que es un múltiplo entero de vuelta completa y no cambia ninguna muestra; en el segundo se ha usado la paridad del coseno \(\cos(-x) = \cos x\). Esta componente se cuela como un alias de 25 Hz.
Resultado: sumando las tres componentes y sustituyendo \(n = t/T = 100\,t\), el reconstructor ideal entrega
\[ v_r(t) = 10 + 15\cos\!\left(50\pi t - \frac{\pi}{2}\right) = 10 + 15\sin(50\pi t)\ \text{V} \]
b) Espectro. A la izquierda, las tres componentes de \(v(t)\); a la derecha, las de \(v_r(t)\):
Las frecuencias recuperadas son 0 y 25 Hz, y las dos son alias: ninguna estaba en la señal original. La continua de 10 V es el alias de la componente de 100 Hz, y la raya de 25 Hz el de la de 175 Hz. La de 500 Hz no deja alias: ha desaparecido del todo. Ninguna de las tres rayas de la izquierda sobrevive en su sitio, porque las tres estaban por encima de \(f_{nyq}\).
El procedimiento es el mismo que en el ejercicio anterior pero primero hay que descomponer la señal ya que contiene un producto de senoidales. Usando la identidad trigonométrica con \(a = 150\pi t\) y \(b = 400\pi t\):
\[ \cos(150\pi t)\sin(400\pi t) = \frac{\sin(550\pi t) - \sin(-250\pi t)}{2} = \frac{\sin(550\pi t) + \sin(250\pi t)}{2} \]
Teniendo en cuenta la (im)paridad del seno, \(\sin(-x) = -\sin x\), tenemos que la señal original se puede reescribir como:
\[ v(t) = 2 + 0.5\sin(550\pi t) + 0.5\sin(250\pi t) \]
a) Frecuencia de muestreo mínima. Las componentes de \(v(t)\) son una continua y dos senoides, con frecuencias analógicas \(f = \dfrac{\omega}{2\pi}\):
\[ f_0 = 0\,\text{Hz} \qquad f_1 = \frac{250\pi}{2\pi} = 125\,\text{Hz} \qquad f_2 = \frac{550\pi}{2\pi} = 275\,\text{Hz} \]
La más alta es la de 275 Hz, así que
\[ f_s > 2 f_{\max} = 2 \cdot 275 = 550\,\text{Hz} \]
Habría que muestrear \(v(t)\) a más de 550 Hz para que no haya aliasing.
b) Señal reconstruida. Calculamos la frecuencia de muestreo
\[ T = 2\,\text{ms} \;\Rightarrow\; f_s = \frac{1}{T} = 500\,\text{Hz} \] y la frecuencia de Nyquist \(f_{nyq} = f_s/2 = 250\) Hz.
Solo la componente de 275 Hz supera la frecuencia de Nyquist (250 Hz), así que es la única que se muestrea mal. Para saber en qué se convierte cada una, se calcula su frecuencia digital
\[ \Omega = \frac{f}{f_{nyq}} \pi \]
y se lleva al intervalo \([-\pi, \pi]\) restándole \(2\pi\) tantas veces como sea necesario. Aplicando ese procedimiento a las tres componentes, se obtiene la siguiente tabla:
| Componente | \(f\) (Hz) | \(\Omega = \frac{f}{f_{nyq}}\pi\) (rad/muestra) | \(\Omega'\) (rad/muestra) | \(|f'| = \frac{|\Omega'|}{\pi}\,f_{nyq}\) (Hz) |
|---|---|---|---|---|
| \(2\) (continua) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(0.5\sin(250\pi t)\) | \(125\) | \(\frac{1}{2}\pi\) | \(\frac{1}{2}\pi\) | \(125\) |
| \(0.5\sin(550\pi t)\) | \(275\) | \(\frac{11}{10}\pi\) | \(-\frac{9}{10}\pi\) | \(225\) |
Primera, \(f_0 = 0\) Hz, es decir \(\Omega = 0\): una continua vale lo mismo en todas las muestras, se muestree como se muestree:
\[ 2\cos(0 \cdot n) = 2 \]
Por tanto, esta componente se reconstruye como una continua de 2 V.
Segunda, \(f_1 = 125\) Hz, o sea \(\Omega = \frac{1}{2}\pi\): un cuarto de vuelta por muestra, ya dentro de \([-\pi, \pi]\), así que no hay nada que plegar y \(\Omega' = \Omega\):
\[ 0.5\sin\!\left(\tfrac{1}{2}\pi n\right) \]
Por tanto, esta componente se reconstruye intacta, a 125 Hz.
Tercera, \(f_2 = 275\) Hz, con \(\Omega = \frac{11}{10}\pi \to \Omega' = -\frac{9}{10}\pi\), es decir \(f' = -225\) Hz. Al ser negativa y tratarse de un seno, cambia de signo:
\[ 0.5\sin\!\left(\tfrac{11}{10}\pi n\right) = 0.5\sin\!\left(-\tfrac{9}{10}\pi n\right) = -0.5\sin\!\left(\tfrac{9}{10}\pi n\right) \]
En el primer paso se ha restado \(2\pi n\), que es una vuelta completa y no cambia ninguna muestra; en el segundo se ha usado la imparidad del seno, \(\sin(-x) = -\sin x\). Esta componente se cuela como un alias de 225 Hz.
Resultado: sumando las tres componentes y sustituyendo \(n = t/T = 500\,t\), el reconstructor ideal entrega
\[ v_r(t) = 2 + 0.5\sin(250\pi t) - 0.5\sin(450\pi t)\ \text{V} \]
c) Espectro. A la izquierda, las tres componentes de \(v(t)\); a la derecha, las de \(v_r(t)\):
Las frecuencias recuperadas son 0, 125 y 225 Hz. Las dos primeras no son alias: estaban en la señal original, por debajo de \(f_{nyq}\), y sobreviven en su sitio. La raya de 225 Hz sí es un alias, el de la componente de 275 Hz, que era la única por encima de \(f_{nyq}\) y aparece además con el signo cambiado.