Señales y Sistemas Lineales
Tema 1 · Señales (Parte II)
Grado en Ingeniería Electrónica de Telecomunicación (GIET)
Curso 2026/2027
Correlación: aplicación
La correlación cruzada permite detectar la presencia de un patrón en una señal ruidosa. Por ejemplo, un radar emite un pulso y recibe el eco reflejado por un objeto; la correlación entre ambos destapa el retardo y la amplitud del eco.
Correlación discreta: método tabular (i)
La misma tabla sirve para la correlación. Con las mismas señales de antes:
\[R_{x_1x_2}[l] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1[n]\,x_2[n+l] \qquad\quad x_1[n] = \{\underset{\uparrow}{1},\, 2,\, 3\} \qquad x_2[n] = \{\underset{\uparrow}{1},\, -1,\, 2\}\]
- cada fila es \(x_1[n]\,x_2[n+l]\)
- el patrón es de arriba a abajo y de derecha a izquierda
- después se suma por columnas
- el resultado depende del desplazamiento \(l\)
| \(l=-2\) | \(l=-1\) | \(l=0\) | \(l=1\) | \(l=2\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x_1[0]=1\) | \(1(1)\) | \(-1(-1)\) | \(2(2)\) | ||
| \(x_1[1]=2\) | \(2(1)\) | \(-2(-1)\) | \(4(2)\) | ||
| \(x_1[2]=3\) | \(3(1)\) | \(-3(-1)\) | \(6(2)\) | ||
| \(R_{x_1x_2}[l]\) | \(\mathbf{3}\) | \(\mathbf{-1}\) | \(\mathbf{5}\) | \(\mathbf{3}\) | \(\mathbf{2}\) |
Ejemplo correlación tabular
💡 Solución
Cada fila es \(x_1[n]\,x_2[n+l]\): las muestras de \(x_2\) van en orden natural y cada fila se desplaza hacia la izquierda:
| \(l=-3\) | \(l=-2\) | \(l=-1\) | \(l=0\) | \(l=1\) | \(l=2\) | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x_1[0]=1\) | \(2(2)\) | \(1(1)\) | \(0(0)\) | \(3(3)\) | ||
| \(x_1[1]=2\) | \(4(2)\) | \(2(1)\) | \(0(0)\) | \(6(3)\) | ||
| \(x_1[2]=-1\) | \(-2(2)\) | \(-1(1)\) | \(0(0)\) | \(-3(3)\) | ||
| \(R_{x_1x_2}[l]\) | \(\mathbf{-2}\) | \(\mathbf{3}\) | \(\mathbf{4}\) | \(\mathbf{-2}\) | \(\mathbf{6}\) | \(\mathbf{3}\) |
Convolución: aplicación
Aquí se ve como la convolución de una señal ruidosa con la respuesta impulsional de un filtro paso-bajo permite reducir el ruido:
Convolución discreta: método tabular(i)
El método tabular es muy útil para señales de duración finita, por ejemplo:
\[y[n] = x_1[n] * x_2[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x_1[k]\,x_2[n-k] \qquad\quad x_1[n] = \{\underset{\uparrow}{1},\, 2,\, 3\} \qquad x_2[n] = \{\underset{\uparrow}{1},\, -1,\, 2\}\]
Se construye una tabla donde:
- cada fila es \(x_1[k]\,x_2[n-k]\)
- el patrón es de arriba a abajo y de izquierda a derecha
- después se suma por columnas
- el resultado depende del índice temporal \(n\)
| \(n=0\) | \(n=1\) | \(n=2\) | \(n=3\) | \(n=4\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x_1[0]=1\) | \(1(1)\) | \(-1(-1)\) | \(2(2)\) | ||
| \(x_1[1]=2\) | \(2(1)\) | \(-2(-1)\) | \(4(2)\) | ||
| \(x_1[2]=3\) | \(3(1)\) | \(-3(-1)\) | \(6(2)\) | ||
| \(y[n]\) | \(\mathbf{1}\) | \(\mathbf{1}\) | \(\mathbf{3}\) | \(\mathbf{1}\) | \(\mathbf{6}\) |
Ejemplo convolución tabular
💡 Solución
Cada fila es \(x_1[k]\,x_2[n-k]\), con las muestras de \(x_2\) en orden natural:
| \(n=-1\) | \(n=0\) | \(n=1\) | \(n=2\) | \(n=3\) | \(n=4\) | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x_1[0]=1\) | \(2(2)\) | \(1(1)\) | \(0(0)\) | \(3(3)\) | ||
| \(x_1[1]=2\) | \(4(2)\) | \(2(1)\) | \(0(0)\) | \(6(3)\) | ||
| \(x_1[2]=-1\) | \(-2(2)\) | \(-1(1)\) | \(0(0)\) | \(-3(3)\) | ||
| \(y[n]\) | \(\mathbf{2}\) | \(\mathbf{5}\) | \(\mathbf{0}\) | \(\mathbf{2}\) | \(\mathbf{6}\) | \(\mathbf{-3}\) |
Convolución discreta: método analítico (i)
El método analítico debe usarse para señales de duración infinita, por ejemplo, si queremos calcular la convolución de:
\[f[n] = \left(\tfrac{1}{3}\right)^n {\color{#2c7fb8}{u[n-1]}} \qquad\qquad g[n] = 2\,{\color{#e74c3c}{u[n-2]}}\]
\[y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} f[k]\,g[n-k] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left(\tfrac{1}{3}\right)^{k} \underbrace{{\color{#2c7fb8}{u[k-1]}}}_{\neq\, 0 \;\text{si}\; {\color{#2c7fb8}{k \,\geq\, 1}}} \cdot\; 2\, \underbrace{{\color{#e74c3c}{u[n-k-2]}}}_{\neq\, 0 \;\text{si}\; {\color{#e74c3c}{k \,\leq\, n-2}}}\]
Convolución discreta: método analítico (ii)
1) Cada escalón anula el sumatorio por un lado:
a) \({\color{#2c7fb8}{u[k-1]}} \neq 0 \iff {\color{#2c7fb8}{k \geq 1}}\)
b) \({\color{#e74c3c}{u[n-k-2]}} \neq 0 \iff {\color{#e74c3c}{k \leq n-2}}\)
2) Por tanto, el sumatorio puede truncarse:
\[ {\color{#9370db}{n \,\geq\, 3}} \Longleftarrow \underbrace{{\color{#2c7fb8}{1}} \,\leq\, k \,\leq\, {\color{#e74c3c}{n-2}}}_{\color{#41ab5d}{\text{ventana}}} \Longrightarrow y[n] = 2\sum_{k={\color{#2c7fb8}{1}}}^{{\color{#e74c3c}{n-2}}} \left(\tfrac{1}{3}\right)^{k}\]
3) Aplicando el sumatorio de una serie geométrica:
\[y[n] = 2\sum_{k={\color{#2c7fb8}{1}}}^{{\color{#e74c3c}{n-2}}} \left(\tfrac{1}{3}\right)^{k} = 2\;\frac{\left(\tfrac{1}{3}\right)^{{\color{#2c7fb8}{1}}} - \left(\tfrac{1}{3}\right)^{{\color{#e74c3c}{n-2}}+1}}{1 - \tfrac{1}{3}}\]
4) Resultado (solamente válido para \(n \geq 3\)):
\[y[n] = \left(1 - \left(\tfrac{1}{3}\right)^{n-2}\right) {\color{#9370db}{u[n-3]}}\]
\[y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left(\tfrac{1}{3}\right)^{k} \underbrace{{\color{#2c7fb8}{u[k-1]}}}_{\neq\, 0 \;\text{si}\; {\color{#2c7fb8}{k \,\geq\, 1}}} \cdot\; 2\, \underbrace{{\color{#e74c3c}{u[n-k-2]}}}_{\neq\, 0 \;\text{si}\; {\color{#e74c3c}{k \,\leq\, n-2}}}\]
Correlación discreta: método analítico (i)
El método analítico sirve igual para la correlación. Por ejemplo, vamos a calcular la correlación usando las mismas señales que en el ejemplo de convolución:
\[f[n] = \left(\tfrac{1}{3}\right)^n {\color{#2c7fb8}{u[n-1]}} \qquad\qquad g[n] = 2\,{\color{#e74c3c}{u[n-2]}}\]
\[R_{fg}[l] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f[n]\,g[n+l] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left(\tfrac{1}{3}\right)^{n} \underbrace{{\color{#2c7fb8}{u[n-1]}}}_{\neq\, 0 \;\text{si}\; {\color{#2c7fb8}{n \,\geq\, 1}}} \cdot\; 2\, \underbrace{{\color{#e74c3c}{u[n+l-2]}}}_{\neq\, 0 \;\text{si}\; {\color{#e74c3c}{n \,\geq\, 2-l}}}\]
Ejemplo autocorrelación con deltas
💡 Solución
\[R_{xx}[l] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \bigl(\delta[n] + 0{,}5\,\delta[n-5]\bigr) \bigl(\delta[n+l] + 0{,}5\,\delta[n+l-5]\bigr)\]
Salen cuatro productos, y cada uno solo sobrevive para un desplazamiento específico, porque dos deltas solo coinciden si sus argumentos son iguales:
| producto | coinciden en | aporta |
|---|---|---|
| \(\delta[n]\,\delta[n+l]\) | \(l=0\) | \(1\) |
| \(0{,}5\,\delta[n]\,\delta[n+l-5]\) | \(l=5\) | \(0{,}5\) |
| \(0{,}5\,\delta[n-5]\,\delta[n+l]\) | \(l=-5\) | \(0{,}5\) |
| \(0{,}25\,\delta[n-5]\,\delta[n+l-5]\) | \(l=0\) | \(0{,}25\) |
Autocorrelación: aplicación
Un ECG real (MIT-BIH 208, \(f_s = 360\) Hz): latido irregular y ruidoso; \(R_{xx}[l]\) lo destapa.
Métodos analíticos en continuo (i)
La metodología es la misma que en el caso discreto pero usando integrales en lugar de sumatorios, por ejemplo, para calcular la convolución de:
\[f(t) = e^{-t}\,{\color{#2c7fb8}{u(t-1)}} \qquad\qquad g(t) = 2\,{\color{#e74c3c}{u(t-2)}}\]
\[y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\theta)\,g(t-\theta)\,d\theta = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\theta} \underbrace{{\color{#2c7fb8}{u(\theta-1)}}}_{\neq\, 0 \;\text{si}\; {\color{#2c7fb8}{\theta \,\geq\, 1}}} \cdot\; 2\, \underbrace{{\color{#e74c3c}{u(t-\theta-2)}}}_{\neq\, 0 \;\text{si}\; {\color{#e74c3c}{\theta \,\leq\, t-2}}}\,d\theta\]
Métodos analíticos en continuo (ii)
Cada escalón anula la integral por un lado:
- \({\color{#2c7fb8}{u(\theta-1)}} \neq 0 \iff {\color{#2c7fb8}{\theta \geq 1}}\)
- \({\color{#e74c3c}{u(t-\theta-2)}} \neq 0 \iff {\color{#e74c3c}{\theta \leq t-2}}\)
Por tanto, la integral puede truncarse:
\[ {\color{#9370db}{t \,\geq\, 3}} \Longleftarrow \underbrace{{\color{#2c7fb8}{1}} \,\leq\, \theta \,\leq\, {\color{#e74c3c}{t-2}}}_{\color{#41ab5d}{\text{ventana}}} \Longrightarrow y(t) = 2\int_{{\color{#2c7fb8}{1}}}^{{\color{#e74c3c}{t-2}}} e^{-\theta}\,d\theta\]
Integrando la exponencial:
\[y(t) = 2\int_{{\color{#2c7fb8}{1}}}^{{\color{#e74c3c}{t-2}}} e^{-\theta}\,d\theta = 2\left(e^{-{\color{#2c7fb8}{1}}} - e^{-({\color{#e74c3c}{t-2}})}\right)\]
Resultado (solamente válido para \(t \geq 3\)):
\[y(t) = 2\left(e^{-1} - e^{-(t-2)}\right) {\color{#9370db}{u(t-3)}}\]
\[y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\theta} \underbrace{{\color{#2c7fb8}{u(\theta-1)}}}_{\neq\, 0 \;\text{si}\; {\color{#2c7fb8}{\theta \,\geq\, 1}}} \cdot\; 2\, \underbrace{{\color{#e74c3c}{u(t-\theta-2)}}}_{\neq\, 0 \;\text{si}\; {\color{#e74c3c}{\theta \,\leq\, t-2}}}\,d\theta\]
Ejemplo autocorrelación continua
💡 Solución
\[R_{xx}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t} \underbrace{{\color{#2c7fb8}{u(t)}}}_{\neq\, 0 \;\text{si}\; {\color{#2c7fb8}{t \,\geq\, 0}}} \;e^{-(t+\tau)} \underbrace{{\color{#e74c3c}{u(t+\tau)}}}_{\neq\, 0 \;\text{si}\; {\color{#e74c3c}{t \,\geq\, -\tau}}} dt = e^{-\tau}\!\!\int_{\max({\color{#2c7fb8}{0}},\,{\color{#e74c3c}{-\tau}})}^{\infty}\!\! e^{-2t}\,dt\]
De nuevo dos cotas inferiores: la ventana nunca se vacía y manda la mayor.
Si \({\color{#9370db}{\tau \,\geq\, 0}}\) manda \({\color{#2c7fb8}{0}}\):
\[R_{xx}(\tau) = e^{-\tau}\int_{{\color{#2c7fb8}{0}}}^{\infty} e^{-2t}\,dt = \frac{e^{-\tau}}{2}\]
Si \({\color{#9370db}{\tau \,\leq\, 0}}\) manda \({\color{#e74c3c}{-\tau}}\):
\[R_{xx}(\tau) = e^{-\tau}\int_{{\color{#e74c3c}{-\tau}}}^{\infty} e^{-2t}\,dt = e^{-\tau}\,\frac{e^{2\tau}}{2} = \frac{e^{\tau}}{2}\]
Las dos ramas son la misma con un valor absoluto: \(\;R_{xx}(\tau) = \tfrac{1}{2}\,e^{-|\tau|}\)
Ejemplo autocorrelación con un pulso (i)
💡 Solución
\[R_{xx}(\tau) \triangleq \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t+\tau)\,dt = \int_{-\infty}^{\infty} \underbrace{x(t)}_{\neq\, 0 \;\text{si}\; {\color{#2c7fb8}{0 \,\leq\, t \,\leq\, 1}}} \underbrace{x(t+\tau)}_{\neq\, 0 \;\text{si}\; {\color{#e74c3c}{-\tau \,\leq\, t \,\leq\, 1-\tau}}} dt\]
Ahora cada señal aporta una cota inferior y una superior, así que la ventana empieza en la mayor de las inferiores y acaba en la menor de las superiores:
\[R_{xx}(\tau) = \int_{\max({\color{#2c7fb8}{0}},\,{\color{#e74c3c}{-\tau}})}^{\min({\color{#2c7fb8}{1}},\,{\color{#e74c3c}{1-\tau}})} dt = \min({\color{#2c7fb8}{1}},\,{\color{#e74c3c}{1-\tau}}) - \max({\color{#2c7fb8}{0}},\,{\color{#e74c3c}{-\tau}})\]
Diferenciamos dos casos según el signo de \(\tau\) (ver siguiente diapositiva):
- Si \(\tau \geq 0\): \(R_{xx}(\tau) = 1 - \tau\)
- Si \(\tau \leq 0\): \(R_{xx}(\tau) = 1 + \tau\)
NOTA: Recuerda que la autocorrelación es siempre par.
Para terminar
