Señales

1 ¿Qué es una señal?

Una señal es una función que transporta información. Matemáticamente, es una función de una o más variables independientes que contiene información sobre el comportamiento o la naturaleza de algún fenómeno (Oppenheim et al. 1997). En la vida cotidiana estamos rodeados de señales:

La voz humana: variación de presión acústica en el tiempo.
Una imagen digital: función de dos variables espaciales (píxeles).
Un electrocardiograma (ECG): actividad eléctrica del corazón a lo largo del tiempo
El precio de cierre de una acción en bolsa: valor discreto registrado al final de cada día.

1.1 Una señal es una función

Por dispares que parezcan esos ejemplos, todos comparten la misma estructura matemática: una función que asigna a cada valor de una variable independiente un valor de la variable dependiente. En el caso de una señal que evoluciona en el tiempo,

\[ x: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \qquad t \;\longmapsto\; x(t) \]

donde cada elemento tiene un nombre que conviene fijar desde el principio:

La variable independiente \(t\) es el dominio, aquello de lo que depende la señal. En este curso será casi siempre el tiempo, pero nada impide que sea una coordenada espacial, como en una imagen.
La variable dependiente \(x\) es la salida: el valor que toma la señal, normalmente una magnitud física como una tensión o una presión.
La notación \(x(t)\) designa el valor de la señal en el instante \(t\), mientras que \(x\) a secas designa la señal completa. La distinción parece pedante ahora, pero evitará ambigüedades en cuanto empecemos a transformar señales.

Figura 1: Una señal como función: a cada instante \(t_0\) del dominio le corresponde un único valor \(x(t_0)\).

2 Repaso matemático

Antes de entrar en materia conviene recuperar cuatro herramientas que se usarán constantemente a lo largo del curso: los conjuntos numéricos, la trigonometría, los números complejos y las series geométricas. Nada de esto es nuevo, pero sí lo es el uso que les vamos a dar, y merece la pena fijar la notación ahora para no tener que interrumpir después.

2.1 Conjuntos numéricos

Cada conjunto numérico contiene al anterior,

\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \]

y en este curso cada uno tiene un papel bien definido:

\(\mathbb{N}\), los naturales (\(1, 2, 3, \dots\)): cuentan muestras y múltiplos de un periodo.
\(\mathbb{Z}\), los enteros (\(\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\)): es el índice \(n\) de las señales discretas.
\(\mathbb{Q}\), los racionales, expresables como \(p/q\) con \(p, q \in \mathbb{Z}\): aparecerán al comparar periodos y frecuencias, y de esa comparación dependerá que una señal discreta sea periódica o no.
\(\mathbb{R}\), los reales, que incluyen también los irracionales (\(\pi\), \(\sqrt{2}\), …): amplitudes, tiempos y frecuencias.
\(\mathbb{C}\), los complejos, de la forma \(a + jb\) con \(j^2 = -1\): representan a la vez la amplitud y la fase de una oscilación, que es justo lo que necesitaremos.

Figura 2: Los conjuntos numéricos, encajados unos dentro de otros, con un elemento característico de cada uno.

2.2 Trigonometría

Toda la trigonometría que necesitaremos se lee en el círculo unitario: el punto que forma un ángulo \(\theta\) con el eje horizontal tiene coordenadas \((\cos\theta,\ \sin\theta)\). Los ángulos se miden siempre en radianes, con \(\pi\ \text{rad} = 180^\circ\) y una vuelta completa igual a \(2\pi\).

Figura 3: El círculo unitario. El coseno es la proyección horizontal del radio y el seno, la vertical.

De esa construcción se leen directamente las propiedades que más usaremos:

Identidad fundamental: \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\), que no es más que el teorema de Pitágoras aplicado al radio unidad.
Periodicidad: \(\cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta\) y \(\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta\), porque dar una vuelta completa devuelve al mismo punto.
Paridad: \(\cos(-\theta) = \cos\theta\) (par) y \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\) (impar).
Desfase: \(\sin(\theta + \pi/2) = \cos\theta\); seno y coseno son la misma forma de onda separada un cuarto de vuelta.
Suma de ángulos: \[ \cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b, \qquad \sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b \]

2.3 La senoidal y sus parámetros

La oscilación que más aparecerá en todo el curso se escribe

\[ x(t) = A\cos(\omega t + \phi) \tag{1}\]

y cada una de sus tres constantes tiene un significado geométrico directo:

La amplitud \(A\) es el valor máximo que alcanza la señal.
La pulsación o frecuencia angular \(\omega = 2\pi/T = 2\pi f\), en rad/s, fija lo deprisa que oscila. De ella se despeja el periodo \(T = 2\pi/\omega = 1/f\).
La fase \(\phi\), en radianes, indica por dónde empieza la oscilación. Es cómodo leerla como un desfase temporal, reescribiendo \(x(t) = A\cos\big(\omega(t - t_0)\big)\) con \(t_0 = -\phi/\omega\): una fase positiva adelanta la señal (la desplaza hacia la izquierda) y una fase negativa la retrasa.

Figura 4: Los tres parámetros de \(x(t) = 2\cos(\pi t + \pi/2)\), con \(T = 2\) s y \(t_0 = -0{,}5\) s.

2.4 Números complejos

Un número complejo admite dos escrituras equivalentes, y la gracia está en saber cuándo conviene cada una:

Binómica: \(z = a + jb\), con \(a = \mathrm{Re}\{z\}\), \(b = \mathrm{Im}\{z\}\) y \(j^2 = -1\).
Polar: \(z = |z|\,e^{j\theta}\), con módulo \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) y fase \(\theta = \arctan(b/a)\). Para volver a binómica, \(a = |z|\cos\theta\) y \(b = |z|\sin\theta\).

El puente entre ambas es la fórmula de Euler,

\[ e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta \tag{2}\]

que leída al revés permite expresar las funciones trigonométricas como combinación de exponenciales complejas:

\[ \cos\theta = \frac{e^{j\theta} + e^{-j\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j} \]

Conviene recordar también el conjugado, \(z^* = a - jb = |z|e^{-j\theta}\), que cumple \(z \cdot z^* = |z|^2\), y una regla práctica: se suma en binómica y se multiplica y divide en polar, donde los módulos se multiplican y las fases se suman.

Figura 5: La exponencial compleja \(e^{j\theta}\) recorre el círculo unidad a medida que crece \(\theta\).

Lo que usaremos todo el curso

De toda esta sección, quédate con una idea: la exponencial compleja \(e^{j\theta}\) gira sobre el círculo unidad, y su parte real es una oscilación. Esa equivalencia entre girar y oscilar es la que sostiene las transformadas de Fourier, Laplace y \(\mathcal{Z}\) que veremos más adelante.

2.5 Series geométricas

Una serie es geométrica cuando cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante \(r\), de modo que su término general es \(a_k = a_0\,r^k\). Aparecerán al calcular la energía de señales exponenciales y, sobre todo, al convolucionar señales discretas de duración infinita.

Sus dos sumas son las siguientes. La suma finita, válida siempre que \(r \neq 1\):

\[ \sum_{k=n_1}^{n_2} r^k = \frac{r^{n_1} - r^{\,n_2+1}}{1-r} \tag{3}\]

y la suma infinita, que solo existe si \(|r| < 1\):

\[ \sum_{k=n_1}^{\infty} r^k = \frac{r^{n_1}}{1-r} \tag{4}\]

Convergencia de las series geométricas

La serie geométrica infinita converge únicamente si \(|r| < 1\). Si \(|r| \geq 1\) los términos no tienden a cero y la suma diverge. Es la condición que hay que comprobar antes de aplicar la Ec. 4, y la que decidirá más adelante si una señal tiene energía finita.

📐 Ejemplo 1.1: Serie geométrica

Dada la serie

\[1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{8},\ \frac{1}{16},\ \dots\]

a) Determina \(a_0\) y \(r\), y calcula el término \(a_{10}\).

b) Calcula la suma de los tres primeros términos.

c) Calcula su suma infinita.

💡 Solución del Ejemplo 1.1

a) El primer término es \(a_0 = 1\) y cada uno es la mitad del anterior, así que \(r = 1/2\). El término general es entonces \(a_k = (1/2)^k\), y

\[a_{10} = \left(\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{1}{1024} \approx 0{,}00098\]

b) Directamente, \(1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{7}{4}\). Comprobémoslo con la Ec. 3, con \(n_1 = 0\) y \(n_2 = 2\):

\[\sum_{k=0}^{2} \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{(1/2)^0 - (1/2)^{3}}{1 - 1/2} = \frac{1 - 1/8}{1/2} = \frac{7/8}{1/2} = \frac{7}{4}\]

c) Como \(|r| = 1/2 < 1\), la serie converge y podemos aplicar la Ec. 4 con \(n_1 = 0\):

\[\sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{(1/2)^0}{1 - 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2\]

Nótese que la suma de infinitos términos es un número perfectamente finito: los términos se empequeñecen tan deprisa que su acumulación tiene un límite.

¿Una suma infinita que vale 1?

Ese último resultado sorprende la primera vez, así que conviene verlo. Si en lugar de empezar en \(k=0\) empezamos en \(k=1\), la Ec. 4 da

\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1 \]

y la Figura 6 lo hace evidente: si partimos un cuadrado de área 1 por la mitad, y la mitad sobrante otra vez por la mitad, y así sucesivamente, los trozos suman exactamente el cuadrado entero. La suma infinita no es un artificio de cálculo; es el área que teníamos desde el principio.

Figura 6: Un cuadrado de área 1 partido en mitades sucesivas: \(\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \dots = 1\).

2.6 Señales en circuitos elementales

Buena parte de los ejemplos del curso serán circuitos, así que conviene recordar los tres elementos pasivos. Cada uno impone una relación entre dos señales: la tensión \(v(t)\) que cae entre sus terminales y la corriente \(i(t)\) que lo atraviesa. Todas las figuras siguen el convenio pasivo de signos, con la corriente entrando por el terminal positivo.

La resistencia es el único de los tres que relaciona ambas señales de forma instantánea, sin derivadas: es la ley de Ohm. El condensador almacena carga, y la corriente que lo atraviesa es proporcional a lo deprisa que cambia la tensión entre sus placas; es el primer ejemplo de un elemento con memoria, cuyo comportamiento no depende solo del valor presente de la señal sino de cómo está variando. La bobina es su imagen especular: almacena energía en forma de campo magnético, y es la tensión la que resulta proporcional a la variación de la corriente.

\[ v(t) = R\,i(t), \qquad i(t) = C\,\frac{dv(t)}{dt}, \qquad v(t) = L\,\frac{di(t)}{dt} \]

Estas tres relaciones son la razón de que las ecuaciones diferenciales aparezcan de forma natural al analizar circuitos, y de que necesitemos herramientas como la transformada de Laplace para resolverlas con comodidad.

3 Señales continuas vs. discretas

Se establece una distinción fundamental en función de la naturaleza de la variable independiente. Así, distinguimos entre señales continuas y discretas. Las señales físicas son por su propia naturaleza, continuas, por ejemplo, la voz humana o el nivel de glucosa en sangre. Sin embargo, cuando medimos, almacenamos o procesamos señales, a menudo las convertimos en discretas mediante un proceso de muestreo. Por ejemplo, un micrófono convierte la presión acústica continua de la voz en una señal eléctrica discreta típicamente a 44.1 kHz (44,100 muestras por segundo), mientras que los monitores de glucosa en sangre proporcionan una medida discreta de la concentración de glucosa cada 5 minutos.

Definición formal de señal

Una señal es una función \(x\) que asigna a cada valor de una variable independiente (generalmente el tiempo \(t\) o un índice de muestra \(n\)) un valor que representa una cantidad física. En señales continuas, la variable independiente es un número real (lo cual se denota como \(t \in \mathbb{R}\)), mientras que en señales discretas es un número entero (lo cual se denota como \(n \in \mathbb{Z}\)). Por lo tanto, podemos escribir:

\[ x(\cdot): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \quad \text{(señal continua)} \] \[ x[\cdot]: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R} \quad \text{(señal discreta)} \]

Notación discreta vs. continua

En este libro se seguirá la convención de Oppenheim y Schafer (2010) para denotar el argumento de las señales:

Paréntesis \((\cdot)\) para señales continuas: \(x(t)\)
Corchetes \([\cdot]\) para señales discretas: \(x[n]\)

Figura 8: Comparación entre una señal continua y una señal discreta

A la hora de representar señales, como puede verse en la Figura 8, solemos dibujar las señales continuas con un trazo continuo, mientras que las señales discretas se suelen representar con bastones.

📐 Ejemplo 1.2: Representación de señales

Dibuja las siguientes señales:

a) \(x_1[n] = \{1,\ -1,\ \underset{\uparrow}{2},\ 3,\ 1\}\), donde la flecha indica la muestra \(n = 0\) y la señal es nula fuera de las muestras indicadas

b) \(x_2[n] = \begin{cases} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}, & n \geq 0 \\ \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-n}, & n < 0 \end{cases}\)

c) \(x_3(t) = \begin{cases} t + 1, & -1 \leq t < 1 \\ 1, & 1 \leq t < 2 \\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases}\)

d) \(x_4(t) = |\cos(\pi t)|\)

💡 Solución del Ejemplo 1.2

a) Una señal dada como secuencia enumera sus muestras de izquierda a derecha, y la flecha fija cuál es la muestra \(n = 0\). Contando desde ella:

\[ x_1[-2] = 1, \quad x_1[-1] = -1, \quad x_1[0] = 2, \quad x_1[1] = 3, \quad x_1[2] = 1 \]

y \(x_1[n] = 0\) en el resto. Se dibuja un bastón por muestra. Sin la flecha no sabríamos dónde está el origen: la misma lista de valores desplazada es otra señal distinta.

b) Basta evaluar el tramo de \(n \geq 0\) y aprovechar que el otro tramo da el mismo valor en \(-n\):

\(n\)	\(0\)	\(\pm 1\)	\(\pm 2\)	\(\pm 3\)	\(\pm 4\)	\(\cdots\)
\(x_2[n]\)	\(1\)	\(\tfrac{1}{2}\)	\(\tfrac{1}{4}\)	\(\tfrac{1}{8}\)	\(\tfrac{1}{16}\)	\(\cdots\)

Para \(n < 0\) se tiene \(x_2[n] = (1/2)^{-n}\), que es justo el valor del otro tramo en \(-n\). Por eso \(x_2[-n] = x_2[n]\): la señal es simétrica respecto al eje vertical, y las dos ramas se resumen en \(x_2[n] = (1/2)^{|n|}\). Decrece a la mitad en cada muestra a ambos lados del origen: tiende a cero cuando \(n \to \pm\infty\), pero nunca llega a anularse, así que no tiene un último valor distinto de cero.

c) Se dibuja tramo a tramo, fijándose en los extremos:

En \([-1, 1)\) es la recta \(t + 1\), que sube de \(0\) (en \(t = -1\)) hacia \(2\). El valor \(2\) no se alcanza, porque \(t = 1\) ya pertenece al tramo siguiente: se marca con un círculo hueco.
En \([1, 2)\) vale \(1\): en \(t = 1\) hay un salto de \(2\) a \(1\) (círculo relleno en \(1\)).
A partir de \(t = 2\) vale \(0\): otro salto, de \(1\) a \(0\). Como \(t = 2\) ya no pertenece a \([1, 2)\), el círculo hueco va en \(1\) y el relleno en \(0\).

En \(t = -1\) no hay salto, porque la recta empieza en \(0\), el mismo valor que la señal a su izquierda.

d) Se parte de \(\cos(\pi t)\), de periodo \(T = 2\pi/\pi = 2\): vale \(1\) en \(t = 0\), \(0\) en \(t = \pm\tfrac{1}{2}\) y \(-1\) en \(t = \pm 1\). El valor absoluto deja igual los tramos positivos y refleja hacia arriba los negativos. El resultado es una sucesión de arcos iguales, con máximos de valor \(1\) en los enteros y ceros en \(t = \tfrac{1}{2} + k\). Cada arco dura \(1\), así que la señal es periódica con periodo \(T = 1\): la mitad que el coseno original.

4 Señales analógicas vs. digitales

Es muy común confundir los términos “discreto” y “digital”, o utilizarlos como sinónimos en el lenguaje cotidiano. Sin embargo, en el estudio riguroso de señales y sistemas, representan conceptos fundamentalmente distintos.

Mientras que la distinción entre continua o discreta se refiere a la naturaleza de la variable independiente (el “eje horizontal” o el tiempo), la clasificación de analógica o digital se refiere a los valores que puede tomar la amplitud de la señal (el “eje vertical”).

Señal analógica: Es aquella cuya amplitud puede tomar cualquier valor dentro de un rango continuo. Es decir, existen teóricamente infinitos valores posibles de amplitud entre dos puntos dados. Las magnitudes físicas en su estado natural (voltaje, presión, temperatura) son analógicas.
Señal digital: Es aquella cuya amplitud está restringida a un conjunto finito y discreto de valores predefinidos.

Para que un ordenador o microprocesador pueda trabajar con una señal, no basta con tomar muestras en instantes de tiempo separados (muestreo); también es necesario redondear o truncar la amplitud de cada muestra a un valor numérico específico que el sistema pueda almacenar mediante bits. A este proceso de “discretizar el eje vertical” se le conoce como cuantización.

La Figura 9 contrasta ambos casos. Nótese que las dos señales están definidas en todo instante: lo que las distingue no es el eje del tiempo, sino los valores de amplitud que tienen permitido tomar.

Figura 9: Amplitud analógica frente a amplitud digital. A la derecha, los niveles permitidos aparecen punteados.

¿Discreto es lo mismo que Digital?

Técnicamente, una señal en tiempo discreto \(x[n]\) no es necesariamente una señal digital. Imagina que mides la temperatura exterior cada hora exacta. Tienes un conjunto de datos separados en el tiempo (es decir, una señal discreta donde \(n\) representa la hora). Si tu termómetro fuera infinitamente preciso y registraras valores exactos con infinitos decimales (por ejemplo, 22.154879… °C), tu señal sería discreta en el tiempo, pero analógica en amplitud.

Para que una señal sea considerada estrictamente digital, debe estar discretizada en ambos ejes: el temporal (muestreo) y el de amplitud (cuantización). La confusión nace del hecho de que, en la práctica de la ingeniería moderna, casi todas las señales en tiempo discreto que procesamos ya han pasado por un convertidor analógico-digital (ADC) y, por tanto, también están cuantizadas.

5 Comparativa de señales

Para comprender perfectamente la relación entre los dos ejes fundamentales de una señal (el eje del tiempo o variable independiente, y el eje de la amplitud o valor de la señal), podemos cruzar ambas clasificaciones en una matriz. Esto da lugar a cuatro casos matemáticos y prácticos bien diferenciados, resumidos en la Tabla 1.

Tabla 1: Clasificación de los cuatro tipos de señales según la naturaleza de sus ejes.

	Amplitud Analógica	Amplitud Digital
Tiempo Continuo (\(t \in \mathbb{R}\))	La señal existe en todo instante de tiempo y su intensidad puede variar infinitamente. Ejemplo: Cualquier señal física, como el voltaje directo que genera un micrófono de bobina cuando hablas frente a él, o la temperatura ambiente a lo largo del día.	La señal existe en todo instante de tiempo, pero su valor solo puede saltar entre niveles fijos bien definidos. Ejemplo: La señal de salida de un controlador PWM utilizado frecuentemente para el control de motores.
Tiempo Discreto (\(n \in \mathbb{Z}\))	La señal solo existe en instantes de tiempo específicos (muestras), pero el valor de cada muestra puede tener precisión infinita. Este es un caso muy peculiar. Ejemplo: El cine en película analógica que rueda a 24 fotogramas por segundo, pero dentro de cada uno de ellos, la emulsión fotográfica registra el brillo de forma continua	Tanto el tiempo como la amplitud están restringidos. Es el único tipo de señal que un procesador moderno puede almacenar. Ejemplo: Un archivo de música en formato WAV o MP3, donde la voz se ha muestreado a 44.1 kHz y se ha guardado usando 16 bits (65,536 niveles posibles).

Para movernos dentro de esta Tabla 1, en ingeniería electrónica se realizan dos operaciones fundamentales sobre una señal natural:

Muestreo (Cambio en el eje horizontal): Transforma el tiempo continuo en tiempo discreto.
Cuantización (Cambio en el eje vertical): Transforma la amplitud analógica en digital al aproximar el valor real al nivel entero más cercano.

Merece la pena ver ambas por separado, porque actúan sobre ejes distintos y sus efectos no se parecen en nada.

Código

// Los applets de este capítulo leen sus colores de las variables CSS --ojs-* definidas en
// styles.css, que replican las paletas LIGHT/DARK de comun/_plot_theme.py.
//
// El modo oscuro se detecta por la clase .quarto-dark de <body>, NO por data-bs-theme: en
// este libro Quarto no llega a poner ese atributo. Es el mismo criterio que usa
// dual_gif_frame en comun/_plot_theme.py.
temaLibro = Generators.observe(notify => {
  const cuerpo = document.body;
  const leer = () => notify(cuerpo.classList.contains("quarto-dark") ? "dark" : "light");
  leer();
  const observador = new MutationObserver(leer);
  observador.observe(cuerpo, {attributes: true, attributeFilter: ["class"]});
  return () => observador.disconnect();
})

Código

paleta = {
  temaLibro;                      // dependencia explícita: re-evalúa al cambiar de tema
  // Se lee de <body>, que es donde vive la sobrescritura del modo oscuro.
  const estilos = getComputedStyle(document.body);
  const color = (nombre, alternativa) =>
    (estilos.getPropertyValue(nombre) || alternativa).trim();
  return {
    text:    color('--ojs-text',    '#1a1a1a'),
    axis:    color('--ojs-axis',    '#333333'),
    grid:    color('--ojs-grid',    '#e0e0e0'),
    base:    color('--ojs-base',    '#555555'),
    accent1: color('--ojs-accent1', '#2c7fb8'),
    accent2: color('--ojs-accent2', '#e74c3c')
  };
}

Código

// Señal de trabajo de los dos applets: suma de tres senoides inconmensurables, para que no
// se repita dentro de la ventana que se muestra.
senalConversion = t => 0.58 * Math.sin(2 * Math.PI * 0.42 * t + 4.23)
                     + 0.21 * Math.sin(2 * Math.PI * 1.27 * t + 3.26)
                     + 0.10 * Math.sin(2 * Math.PI * 3.08 * t + 5.94)

5.1 Muestreo

Muestrear es quedarse con el valor de la señal solo en instantes separados un intervalo fijo \(T_s\), y descartar todo lo que ocurre entre ellos. El resultado es la secuencia \(x[n] = x(nT_s)\).

En el applet siguiente, mueve \(T_s\) y observa el compromiso: con \(T_s\) pequeño las muestras reproducen fielmente la señal, pero hacen falta muchas; al aumentarlo, las muestras se separan y llega un punto en que dejan de describir lo que hacía la señal entre una y otra. Dónde está exactamente ese punto es la pregunta que responde el teorema de muestreo, y le dedicaremos un capítulo entero más adelante.

Código

{
  const Ts = Math.round(ts_mu * 10) / 10;
  const continua = d3.range(0, 4.0005, 0.004).map(t => ({t, v: senalConversion(t)}));
  const muestras = d3.range(0, Math.floor(4 / Ts + 1e-9) + 1)
                     .map(n => ({t: n * Ts, v: senalConversion(n * Ts)}));
  const compacto = width < 480;
  return Plot.plot({
    width,                                   // `width` de OJS: se adapta al contenedor
    height: compacto ? 220 : 260,
    marginTop: 36,
    marginBottom: compacto ? 42 : 50,
    marginLeft: compacto ? 34 : 50,
    style: {background: "transparent", color: paleta.text, maxWidth: "100%"},
    x: {label: "t (s)", labelAnchor: "center", labelArrow: "none",
        labelOffset: compacto ? 36 : 44, domain: [-0.2, 4.2],
        ticks: d3.range(0, 4.01, compacto ? 1 : 0.5)},
    y: {label: null, domain: [-1.05, 1.05], ticks: [-1, -0.5, 0, 0.5, 1]},
    marks: [
      Plot.gridY({stroke: paleta.grid, strokeOpacity: 1}),
      Plot.frame({stroke: paleta.axis}),
      Plot.ruleY([0], {stroke: paleta.base, strokeWidth: 0.8}),
      Plot.line(continua, {x: "t", y: "v", stroke: paleta.accent1,
                           strokeWidth: 2, strokeOpacity: 0.25}),
      Plot.ruleX(muestras, {x: "t", y1: 0, y2: "v", stroke: paleta.accent2, strokeWidth: 1.5}),
      Plot.dot(muestras, {x: "t", y: "v", fill: paleta.accent2, r: 3}),
      Plot.text([`x[n] = x(nTₛ) con Tₛ = ${Ts.toFixed(1)} s: ${muestras.length} muestras`],
                {frameAnchor: "top", dy: -20, fill: paleta.text})
    ]
  });
}

Muestreo. En azul claro, la señal continua; en rojo, las muestras que se conservan.

Periodo y frecuencia de muestreo

Llamamos periodo de muestreo \(T_s\) (del inglés sampling) al intervalo de tiempo transcurrido entre dos muestras consecutivas, y frecuencia de muestreo a su inversa, \(f_s = 1/T_s\), medida en hercios. Los 44,1 kHz de un archivo de audio son precisamente una \(f_s\): 44 100 muestras por segundo, es decir, \(T_s \approx 22{,}7\) µs.

5.2 Cuantización

Cuantizar es lo mismo, pero en vertical: restringir la amplitud a un conjunto finito de niveles y sustituir cada valor por el nivel más próximo. Si el cuantizador trabaja con \(B\) bits, dispone de \(L = 2^B\) niveles para repartir en todo el margen de la señal.

Mueve \(B\) en el applet y fíjate en que el error nunca desaparece del todo: la señal cuantizada es una escalera que sigue a la original, y la diferencia entre ambas es el ruido de cuantización, inevitable por construcción. Cada bit que añadimos duplica el número de niveles y reduce ese error a la mitad.

Cuantización. Punteados, los niveles disponibles; en rojo, la señal cuantizada.

Bits y niveles de cuantización

Un cuantizador se caracteriza por su número de bits \(B\), que fija el número de niveles disponibles: \(L = 2^B\). Los 16 bits de un CD de audio son \(2^{16} = 65\,536\) niveles, que es el número que aparece en la Tabla 1.

📐 Ejemplo 1.3: Entradas y salidas de un Arduino Nano

Identifica las entradas y salidas del Arduino Nano y su tipo (analógico o digital).

💡 Solución del Ejemplo 1.3

La leyenda de colores de la figura da la clave:

Morado (GPIO), del inglés General Purpose Input/Output. Son los pines digitales estándar, de D0 a D19 (los pines A0 a A5 pueden usarse también como D14 a D19), que solo pueden estar a nivel alto (HIGH) o bajo (LOW). Como su nombre indica, pueden funcionar como entradas o salidas digitales.
Naranja (ADC), del inglés Analog to Digital Converter. Son los pines A0 a A7, diseñados para leer señales analógicas (como la de un sensor de temperatura o un potenciómetro) y convertirlas en datos digitales que el Arduino pueda procesar. Funcionan como entradas analógicas; A6 y A7 solo admiten este uso.
Línea ondulada (PWM). Junto a los pines D3, D5, D6, D9, D10 y D11 aparece un símbolo de onda, que indica que admiten modulación por ancho de pulso (Pulse Width Modulation). Permite simular tensiones intermedias, algo muy útil para controlar el brillo de un LED o la velocidad de un motor. Son salidas digitales que, mediante conmutaciones muy rápidas, imitan un comportamiento analógico.

Nota: otras placas, más caras, incorporan DAC (Digital to Analog Converter), que son salidas analógicas propiamente dichas. Por si tienes curiosidad, UART, SPI e I2C son protocolos de comunicación, que no son objeto de esta asignatura.

📐 Ejemplo 1.4: Señal PWM

Para controlar la velocidad y el sentido de giro de un motor de corriente continua (DC) puede usarse un circuito llamado puente H, que solo sabe aplicar al motor dos niveles de tensión, \(+V\) (giro a la derecha) o \(-V\) (giro a la izquierda), pero es capaz de conmutar entre ambos a gran velocidad. Así se genera una señal de modulación por ancho de pulso (PWM, Pulse Width Modulation) como la de la animación.

Clasifica la señal PWM en los dos ejes: ¿es continua o discreta en el tiempo? ¿Es analógica o digital en amplitud? ¿Qué casilla de la Tabla 1 ocupa?

💡 Solución del Ejemplo 1.4

En el eje de amplitud la señal es digital: solo puede valer \(+V\) o \(-V\), dos niveles y ningún valor intermedio. Es el caso extremo de cuantización, con \(B = 1\) bit y \(L = 2\) niveles.

En el eje del tiempo es continua: la señal está definida en todo instante. Que conmute bruscamente no la hace discreta; los saltos ocurren en instantes concretos, pero entre salto y salto la señal sigue existiendo y valiendo \(+V\) o \(-V\). Discreta sería si solo estuviera definida en instantes aislados.

Ocupa, por tanto, la casilla tiempo continuo y amplitud digital de la Tabla 1, que es justamente la combinación que más cuesta imaginar hasta que se ve un ejemplo.

Obsérvese en la animación que, en los tramos en los que la señal pasa la mayor parte del tiempo en \(+V\), el motor gira a la derecha, y al revés. La velocidad de giro es proporcional al valor promedio de la señal PWM, que a su vez sigue a la senoidal moduladora: con solo dos niveles se consigue imitar una señal analógica.

¿Por qué las conmutaciones bruscas no se observan en el giro del motor?

El motor mecánico actúa como un filtro paso bajo natural. Su inercia física ignora los saltos bruscos de tensión y “promedia” la señal, convirtiendo esos pulsos discretos en una velocidad de giro analógica suave. El mismo fenómeno ocurre con los dimmers de luz LED, que atenúan la intensidad mientras que el ojo humano percibe un cambio continuo y suave.

Importante: en la práctica, las conmutaciones se producen a una frecuencia muy elevada, del orden de kHz, es decir, miles de veces por segundo. Ese es precisamente el motivo por el cual no se manifiestan en la velocidad del motor o en el brillo de un LED. Es importante señalar que, en la animación, la frecuencia de conmutación es mucho menor para una mejor comprensión del concepto.

Curiosidad histórica: Los espías de la Segunda Guerra Mundial

Antes de que pudiéramos hablar de frecuencias de muestreo de 44.1 kHz en nuestros teléfonos o de música en formato digital, la necesidad de convertir una señal continua en discreta nació de un problema de ruido acústico y espionaje militar.

En la década de 1930, las señales de voz continuas \(x(t)\) que viajaban a través de largas líneas telefónicas sufrían un problema fundamental: el ruido analógico se acumulaba y degradaba la información de manera irreversible. En 1937, el ingeniero británico Alec Reeves propuso una solución revolucionaria conocida como Modulación por Impulsos Codificados (PCM). Reeves se dio cuenta de que si, en lugar de enviar la señal continua, tomaba muestras de la amplitud de la voz a intervalos regulares de tiempo y transmitía solo esos valores numéricos discretos \(x[n]\), la señal podía regenerarse en cada etapa de la transmisión, evitando la acumulación progresiva del ruido analógico y permitiendo una reproducción mucho más fiel de la información.

Aunque la idea de Reeves era brillante desde el punto de vista matemático, la tecnología de la época no era lo suficientemente rápida para procesar estos cálculos. La Segunda Guerra Mundial proporcionó una motivación estratégica para desarrollar sistemas basados en PCM, aunque su adopción masiva en telecomunicaciones llegaría varias décadas después.

Para evitar que las fuerzas Aliadas interceptaran y entendieran las conversaciones telefónicas transatlánticas de alto secreto entre Winston Churchill y Franklin D. Roosevelt, los laboratorios Bell desarrollaron el proyecto SIGSALY en 1943. Este sistema fue la primera transmisión de voz digital de la historia. Tomaba la señal de voz continua del locutor, la muestreaba y la convertía en una secuencia discreta, lo que permitía sumarle una clave criptográfica (ruido pseudoaleatorio) de manera matemática.

El primer equipo capaz de realizar esta conversión de \(t \in \mathbb{R}\) a \(n \in \mathbb{Z}\) pesaba cerca de 50 toneladas, consumía 30 kW de potencia y ocupaba una sala entera. Hoy en día, esa misma transición de señal continua a discreta la realiza un chip milimétrico en el interior de cualquier auricular inalámbrico.

6 Señales elementales

Existen varias señales fundamentales que aparecen constantemente en la teoría de señales y sistemas. Son señales muy sencillas, pero tienen dos papeles clave: sirven como bloques de construcción con los que expresar señales más complejas y como señales de prueba estándar con las que excitar un sistema para estudiar cómo responde.

Cada una de ellas tiene una versión en tiempo continuo y otra en tiempo discreto, y en esta sección se presentan juntas. En cada caso se describe primero la señal continua, que es la que modela directamente los fenómenos físicos, y después su equivalente discreto. El impulso se deja para el final y sigue el orden inverso: la delta de Dirac no es una función en el sentido clásico, y resulta más fácil de entender partiendo de su versión discreta.

Hay que conocerlas de memoria

Estas señales son el vocabulario del resto del curso: aparecerán en cada capítulo, en los enunciados de los problemas y en el examen. Conviene saber dibujarlas y escribirlas de memoria en sus dos versiones, continua y discreta, sin tener que deducirlas cada vez.

📐 Ejemplo 1.5: Evoluciones en la vida cotidiana

Identifica situaciones de la vida cotidiana que presenten, a lo largo del tiempo, una evolución:

a) exponencial.

b) oscilatoria.

c) oscilatoria amortiguada.

💡 Solución del Ejemplo 1.5

a) Evolución exponencial: la magnitud cambia a un ritmo proporcional a su propio valor.

Enfriamiento de una taza de café. Cuanto mayor es la diferencia de temperatura con la habitación, más rápido se enfría el café. Esa diferencia decae exponencialmente y la temperatura tiende a la del ambiente sin llegar a alcanzarla del todo.
Depreciación de un coche nuevo. El coche pierde cada año aproximadamente el mismo porcentaje de su valor, no la misma cantidad de dinero. Por eso pierde mucho valor los primeros años y cada vez menos después.
La bajada de la espuma de la cerveza. El número de burbujas que revientan en cada instante es proporcional a las que quedan, así que la altura de la espuma disminuye exponencialmente.
Infectados en una epidemia sin control. Cada infectado contagia en promedio a un número fijo de personas, de modo que cuantos más infectados hay, más rápido aumentan. Es una exponencial creciente, al menos hasta que empieza a escasear la población sin inmunidad.

b) Evolución oscilatoria: la magnitud se repite periódicamente con amplitud constante.

El péndulo de un reloj de pared. El mecanismo del reloj repone en cada ciclo la energía que se pierde por rozamiento, así que el péndulo oscila siempre con la misma amplitud y el mismo periodo.

c) Evolución oscilatoria amortiguada: la magnitud oscila, pero su amplitud se reduce progresivamente porque el sistema pierde energía y nadie se la repone.

Un columpio al que se deja de empujar. El rozamiento con el aire y en los enganches disipa energía en cada vaivén: el periodo apenas cambia, pero cada oscilación es más pequeña.
La cuerda de una guitarra al pulsarla. Vibra a una frecuencia fija, que determina la nota, mientras el sonido se va apagando.
La suspensión de un coche tras pasar un bache. El muelle hace oscilar la carrocería y el amortiguador disipa la energía, de modo que tras una o dos oscilaciones el coche vuelve al reposo.

Los tres comportamientos están relacionados. La exponencial de a) y la oscilación de b) son las dos piezas que, multiplicadas, dan la oscilación amortiguada de c): la exponencial actúa como envolvente que marca cómo decae la amplitud. Esta es precisamente la construcción de la exponencial amortiguada que se estudia más adelante en esta sección.

6.1 Escalón unitario

Escalón continuo

\[ u(t) = \begin{cases} 1, & t \geq 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases} \tag{5}\]

El escalón unitario modela una señal que se “enciende” en \(t=0\) y permanece constante a partir de ese instante. Es la abstracción matemática de accionar un interruptor: conectar una fuente de alimentación, aplicar una consigna de temperatura a un termostato o cambiar bruscamente la referencia de velocidad de un motor. Adoptamos el convenio \(u(0)=1\); algunos textos dejan ese valor sin definir, porque un punto aislado no altera el resultado de ninguna integral.

Se utiliza con dos finalidades principales:

Como señal de prueba: la respuesta al escalón de un sistema permite observar de forma directa su tiempo de establecimiento, su sobreoscilación o su error en régimen permanente, y es una prueba habitual en ingeniería de control.
Como “ventana” para señales causales: multiplicar una señal por \(u(t)\) anula su parte correspondiente a \(t<0\), lo que permite describir de forma compacta señales que empiezan en un instante determinado. Este uso aparecerá una y otra vez en lo que queda de sección.

Escalón discreto

\[ u[n] = \begin{cases} 1, & n \geq 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases} \tag{6}\]

Es la versión discreta de la Ec. 5 y tiene la misma interpretación y los mismos usos, con el mismo valor en el origen: \(u[0] = 1\). La Figura 10 muestra ambas.

Figura 10: El escalón unitario, continuo y discreto.

6.2 Rampa unitaria

Rampa continua

\[ r(t) = t \cdot u(t) \tag{7}\]

La rampa unitaria es nula para \(t<0\) y crece con pendiente unidad a partir de \(t=0\). Representa magnitudes que aumentan a ritmo constante: la posición de un objeto que se mueve a velocidad constante, el ángulo girado por un motor a velocidad fija o la tensión de un condensador cargado con corriente constante.

Enventanado

Fíjate en que la definición de la rampa ya usa el escalón \(u(t)\) para indicar que la señal solo toma valores distintos de cero para \(t \geq 0\). Multiplicar por \(u(t)\) recibe el nombre de enventanar: el escalón actúa como una ventana que deja pasar la señal a partir de un instante y la anula antes. Es el primer ejemplo de cómo las señales elementales se combinan entre sí para construir otras más complejas, y se repetirá en la exponencial, la senoidal y la amortiguada.

En la práctica se emplea como señal de prueba para comprobar si un sistema es capaz de seguir una referencia que varía en el tiempo (por ejemplo, un radar que sigue a un avión o un control de posición), y también para generar las señales en diente de sierra de los osciladores y convertidores. La rampa se obtiene, además, integrando el escalón: \(r(t) = \int_{-\infty}^{t} u(\tau)\,d\tau\).

Rampa discreta

\[ r[n] = n \cdot u[n] \]

La rampa discreta es nula para \(n<0\) y aumenta una unidad en cada muestra a partir de \(n=0\). En tiempo discreto la integral se sustituye por una suma acumulada, aunque aparece un desplazamiento de una muestra: \(r[n+1] = \sum_{k=-\infty}^{n} u[k]\).

Figura 11: La rampa unitaria, continua y discreta.

6.3 Exponencial real

Exponencial real continua

\[ x(t) = A\, e^{at} \cdot u(t), \qquad a \in \mathbb{R} \tag{8}\]

Su comportamiento depende del signo de \(a\):

Si \(a < 0\), la señal decae hacia cero y es una señal de energía finita. Modela fenómenos como la descarga de un condensador, la desintegración radiactiva, la diferencia de temperatura entre un cuerpo que se enfría y su entorno o la extinción del eco en una sala. El valor \(\tau = 1/|a|\) se denomina constante de tiempo: es el tiempo que tarda la señal en reducirse al 37 % (\(e^{-1}\)) de su valor inicial, como en la descarga de un condensador en un circuito RC.
Si \(a = 0\), se obtiene \(x(t) = A\,u(t)\): un escalón de amplitud \(A\).
Si \(a > 0\), la señal crece sin límite, como el número de infectados en la fase inicial de una epidemia.

Los tres casos se comparan en la Figura 12.

Figura 12: Exponencial real \(x(t) = e^{at}\,u(t)\) para los tres signos de \(a\). A la izquierda, el decaimiento con su constante de tiempo \(\tau\), el instante en el que la señal ha caído al 37 %. En el centro, \(a=0\) reduce la exponencial a un escalón. A la derecha, el crecimiento sin límite.

Exponencial real discreta

\[ x[n] = A \cdot a^n \cdot u[n], \qquad a \in \mathbb{R} \tag{9}\]

En tiempo discreto, \(a\) deja de ser el exponente y pasa a ser la base. La exponencial real discreta tiene una propiedad muy característica: cada muestra es un múltiplo constante de la anterior, \(x[n+1] = a\,x[n]\) para \(n \geq 0\). Para \(a>0\) describe, por tanto, cualquier magnitud que pierde (o gana) el mismo porcentaje de su valor en cada paso.

Las dos formas están relacionadas: si se muestrea la exponencial continua \(e^{at}\) cada \(T_s\) segundos, se obtiene \(e^{aT_s n} = \bigl(e^{aT_s}\bigr)^n\), una exponencial discreta cuya base \(e^{aT_s}\) es siempre positiva. La versión discreta admite, además, bases negativas, que no tienen equivalente continuo. Su comportamiento depende del valor de \(a\), como puede verse en la Figura 13:

Si \(a > 1\), la señal crece sin límite.
Si \(a = 1\), se obtiene \(x[n] = A\,u[n]\): la señal ni crece ni decae (es un escalón de amplitud \(A\)).
Si \(0 < a < 1\), la señal decae hacia cero. Cuanto más próximo a 1 es \(a\), más lento es el decaimiento.
Si \(-1 < a < 0\), la señal alterna de signo en cada muestra y su amplitud decae hacia cero. Como \(a^n = |a|^n\cos(\pi n)\), se trata de una oscilación amortiguada a la máxima frecuencia representable en tiempo discreto.
Si \(a = -1\), la señal alterna entre \(+A\) y \(-A\) indefinidamente, sin decaer ni crecer.
Si \(a < -1\), la señal alterna de signo y crece sin límite: oscilaciones inestables.

Figura 13: Exponencial real \(x[n] = a^n\,u[n]\) para distintos valores de \(a\). Por columnas: \(|a|<1\) (la señal se extingue), \(|a|=1\) (ni crece ni decae) y \(|a|>1\) (crece sin límite). La fila inferior (\(a<0\)) muestra la alternancia de signo.

Si esta señal es la respuesta al impulso de un sistema, el sistema es estable únicamente cuando \(|a| < 1\).

6.4 Senoidal

Senoidal continua

\[ x(t) = A\cos(\omega t + \phi)\,u(t) \tag{10}\]

Es la oscilación pura, y sus tres parámetros son los que ya se describieron en la Sección 2.3: amplitud \(A\), pulsación \(\omega = 2\pi f\) en rad/s y fase \(\phi\) en radianes. Aquí aparece enventanada con \(u(t)\), es decir, como una oscilación que arranca en \(t=0\).

Su importancia es difícil de exagerar. Por un lado, describe directamente infinidad de fenómenos físicos: la tensión de la red eléctrica, que en Europa oscila a 50 Hz, el tono puro de un diapasón o la corriente en un circuito resonante. Por otro, y esto es lo decisivo, cualquier señal periódica puede escribirse como suma de senoidales de frecuencias múltiplo de la fundamental. Esa idea es el análisis de Fourier, y ocupará dos capítulos enteros de este libro; de momento basta con retener que la senoidal no es una señal más, sino la pieza con la que se construyen todas las demás.

Senoidal discreta

\[ x[n] = A\cos(\Omega n + \Phi)\,u[n] \tag{11}\]

La versión discreta se obtiene muestreando la continua, y su aspecto es el de la Figura 14. Conviene fijarse desde ya en que \(\Omega\) se mide en radianes por muestra, no por segundo, y que la fase discreta se denota con \(\Phi\) mayúscula, a juego con \(\Omega\).

Esa diferencia de unidades tiene consecuencias que no son en absoluto intuitivas: a diferencia de lo que ocurre en continuo, una senoidal discreta no es periódica para cualquier \(\Omega\), y subir \(\Omega\) no siempre significa oscilar más deprisa. Ambas cuestiones se tratan en la 1 y en el callout sobre \(\Omega\) que sigue a la exponencial compleja.

Figura 14: La senoidal, continua y discreta, ambas enventanadas por el escalón.

6.5 Exponencial compleja

Exponencial compleja continua

La extensión de la exponencial a exponentes imaginarios recibe el nombre de exponencial compleja y se define como:

\[ x(t) = A\, e^{j\omega t} = A\bigl[\cos(\omega t) + j\sin(\omega t)\bigr] \tag{12}\]

donde \(\omega\) es la frecuencia angular en rad/s y \(T_0 = 2\pi/\omega\) el periodo. A pesar de su nombre, es en realidad muy simple, ya que describe un punto que gira sobre una circunferencia de radio \(|A|\) en el plano complejo, a \(\omega\) radianes por segundo. Su parte real y su parte imaginaria son, respectivamente, un coseno y un seno de frecuencia \(\omega\), por lo que es la forma matemáticamente más cómoda de representar una oscilación pura: un tono de audio, la portadora de una emisora de radio o la tensión alterna de la red eléctrica. Es siempre periódica para cualquier \(\omega \neq 0\).

Nota

La relevancia de la exponencial compleja va mucho más allá de la comodidad de notación. Veremos, más adelante, que la solución de cualquier ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes puede expresarse en términos de exponenciales complejas. Por ello, la exponencial compleja es la señal elemental más importante en ingeniería de señales y sistemas.

Exponencial compleja discreta

\[ x[n] = A \cdot e^{j\Omega n} = A[\cos(\Omega n) + j\sin(\Omega n)] \tag{13}\]

En tiempo discreto, el punto ya no gira de forma continua, sino a saltos: avanza un ángulo \(\Omega\) radianes en cada muestra. Para verlo, tomemos por simplicidad \(A=1\). La Figura 15 muestra cómo, en cada muestra, el vector \(x[n]\) avanza un ángulo \(\Omega = \pi/8\) sobre la circunferencia unidad. Su proyección sobre el eje real va trazando \(\cos(\Omega n)\) y su proyección sobre el eje imaginario, \(\sin(\Omega n)\). Puesto que una vuelta completa son \(2\pi\) radianes, tras 16 muestras el vector vuelve al punto de partida y la secuencia se repite.

Figura 15: Exponencial compleja \(x[n] = e^{j\Omega n}\) con \(\Omega = \pi/8\). A la izquierda, el vector recorre la circunferencia unidad avanzando \(\Omega\) radianes por muestra; a la derecha, sus proyecciones sobre los ejes real e imaginario generan \(\cos(\Omega n)\) y \(\sin(\Omega n)\).

⚠️ La frecuencia angular digital \(\Omega\)

En tiempo discreto, \(\Omega\) se denomina frecuencia angular digital y se mide en radianes por muestra, no en radianes por segundo. Es la única diferencia de fondo con la frecuencia angular continua \(\omega\), pero tiene consecuencias importantes.

La interpretación es directa: \(\Omega\) es el ángulo que avanza el vector en cada muestra, es decir, la fracción de vuelta que se recorre por muestra. Con \(\Omega = \pi/8\) hacen falta 16 muestras para completar una vuelta (\(2\pi\)); con \(\Omega = \pi\) cada muestra da media vuelta, que es la oscilación más rápida posible. Si la secuencia procede de muestrear una señal continua cada \(T_s\) segundos, ambas frecuencias se relacionan mediante \(\Omega = \omega\,T_s = 2\pi f / f_s\).

De aquí se derivan dos hechos que no tienen equivalente en tiempo continuo:

\(\Omega\) solo es distinguible en un intervalo de longitud \(2\pi\), habitualmente \(-\pi < \Omega \leq \pi\). Como \(e^{j(\Omega + 2\pi)n} = e^{j\Omega n}\) para todo \(n\) entero, aumentar la frecuencia más allá de \(\pi\) no produce una señal nueva.
La señal no siempre es periódica. En el ejemplo anterior lo es porque \(\Omega/2\pi = 1/16\) es racional, pero eso no ocurre para cualquier \(\Omega\): con \(\Omega = 1\) rad/muestra la secuencia nunca se repite exactamente. Esta condición se estudia en la

6.6 Exponencial amortiguada o amplificada

Exponencial amortiguada continua

Combinando la exponencial real (Ec. 8) y la compleja (Ec. 12) se obtiene

\[ x(t) = A\, e^{at}\, e^{j\omega t}\, u(t), \qquad a \in \mathbb{R} \tag{14}\]

Tomando la parte real se obtiene la forma con la que se trabaja en la práctica, que es la que aparece en los problemas:

\[ x(t) = A\, e^{at} \cos(\omega t + \phi)\, u(t) \tag{15}\]

Ambas escrituras describen lo mismo: la Ec. 14 es más cómoda para operar, porque las exponenciales se multiplican sumando exponentes, y la Ec. 15 es la que se dibuja y se mide.

La exponencial real \(e^{at}\) actúa como envolvente de la oscilación, y el signo de \(a\) decide el destino de la señal, como se ve en la Figura 16. Si \(a<0\) la oscilación se amortigua, como la vibración de una cuerda de guitarra que se va apagando; si \(a>0\) crece sin límite, y si \(a=0\) se recupera la oscilación pura de la Ec. 10. Es la respuesta típica de sistemas con inercia y rozamiento, como un sistema masa-muelle o un circuito RLC. Agrupando exponentes, puede escribirse como \(x(t) = A\,e^{st}\,u(t)\) con \(s = a + j\omega\), una idea que será central en la transformada de Laplace.

Figura 16: La exponencial amortiguada continua para los tres signos de \(a\), con su envolvente \(\pm e^{at}\) en discontinua.

Exponencial amortiguada discreta

Del mismo modo, combinando la exponencial real (Ec. 9) y la compleja (Ec. 13) discretas se obtiene \[x[n] = A\,a^n e^{j\Omega n}\,u[n]\] o, en forma real, \(x[n] = A\,a^n \cos(\Omega n + \Phi)\,u[n]\). Describe oscilaciones que se amortiguan (\(|a|<1\)) o se amplifican (\(|a|>1\)) muestra a muestra. Para \(|a|=1\) se recupera la oscilación pura de amplitud constante.

La Figura 17 muestra la parte real de esta señal, \(a^n\cos(\Omega n)\,u[n]\), para dos valores de \(a\). La oscilación queda encerrada entre las curvas \(\pm |a|^n\) (en discontinua), que forman su envolvente: es precisamente la exponencial real de la Ec. 9 la que decide si la oscilación se extingue o crece. Si esta señal fuera la respuesta al impulso de un sistema, el caso \(|a|<1\) correspondería a un sistema estable y el caso \(|a|>1\), a uno inestable.

Figura 17: Parte real de \(x[n] = a^n e^{j\Omega n}\,u[n]\) con \(\Omega = \pi/8\). A la izquierda, \(a = 0.9\): la oscilación se extingue. A la derecha, \(a = 1.1\): la oscilación crece sin límite. En discontinua, la envolvente \(\pm a^n\).

6.7 Impulso unitario

Impulso discreto (delta de Kronecker)

\[ \delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \neq 0 \end{cases} \tag{16}\]

El impulso unitario es la señal más simple posible: vale 1 en un único instante, \(n=0\), y es nula en todos los demás, como muestra la Figura 18. Físicamente representa un estímulo muy breve e intenso, como un golpe de martillo sobre una estructura, una palmada en una sala o un pulso de tensión muy corto aplicado a un circuito.

Figura 18: El impulso unitario discreto o delta de Kronecker.

Nota

La salida de un sistema cuando su entrada es \(\delta[n]\) se denomina respuesta al impulso. Una analogía clara podría ser el movimiento de un columpio al recibir un empujón. Veremos que esta única respuesta, por sí sola, contiene toda la información del sistema. Así se puede caracterizar, por ejemplo, un filtro digital.

Impulso continuo (delta de Dirac)

La delta de Dirac es la versión continua del impulso unitario discreto. Se define como una “función” que vale cero en todos los instantes salvo en \(t=0\), donde es infinitamente alta, de manera que su integral sobre todo el eje temporal es 1. Matemáticamente, se expresa como:

\[ \delta(t): \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)\, dt = 1, \quad \delta(t) = 0 \; \forall\, t \neq 0 \tag{17}\]

La Ec. 17 parece contradictoria: una “función” que vale cero en todas partes salvo en \(t=0\) y que, sin embargo, encierra un área igual a 1. Para entenderla, conviene pensar en un pulso rectangular de anchura \(\Delta\) y altura \(1/\Delta\), cuya área es siempre 1:

\[ p_\Delta(t) = \begin{cases} 1/\Delta, & 0 < t < \Delta \\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad \delta(t) = \lim_{\Delta \to 0} p_\Delta(t) \]

A medida que \(\Delta \to 0\), el pulso se hace cada vez más estrecho y más alto, pero conserva su área, como muestra la Figura 19.

Figura 19: Pulso rectangular \(p_\Delta(t)\) de anchura \(\Delta\) y altura \(1/\Delta\). Al reducir \(\Delta\), el pulso se estrecha y crece en altura, pero su área permanece igual a 1. En el límite \(\Delta \to 0\) se obtiene la delta de Dirac, que se representa con una flecha cuya altura indica el área.

Físicamente, la delta de Dirac es la idealización de un estímulo muy intenso y de duración despreciable: un golpe de martillo, un rayo que cae sobre una línea eléctrica o el disparo de un flash. Lo relevante no es su forma ni su altura, sino su área, que mide la intensidad total del estímulo. Por eso se dibuja como una flecha en \(t=0\) cuya altura indica el área, y \(A\,\delta(t-t_0)\) denota un impulso de área \(A\) situado en \(t_0\).

Su propiedad más importante es la de muestreo (o selección): al multiplicar una señal por un impulso desplazado e integrar, se extrae el valor de la señal en ese instante (siempre que \(x(t)\) sea continua en \(t_0\)):

\[ \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,\delta(t - t_0)\, dt = x(t_0) \tag{18}\]

Es decir, dentro de la integral la delta “ignora” todos los valores de \(x(t)\) salvo el de \(t_0\). Esta propiedad es el equivalente continuo de escribir una señal discreta como suma de impulsos, y será la base para caracterizar los sistemas LTI continuos mediante su respuesta al impulso.

El impulso cierra la cadena de señales elementales vistas en esta sección. Acumulando el área de \(\delta(t)\) desde \(-\infty\) se obtiene 0 antes del origen y 1 después, es decir, el escalón: \(u(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau)\,d\tau\). En tiempo discreto la integral se convierte en una suma acumulada, \(u[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} \delta[k]\). Acumulando de nuevo se llega a la rampa.

⚠️ Delta de Dirac vs. delta de Kronecker

La delta de Dirac \(\delta(t)\) es un funcional (distribución), no una función ordinaria. La delta de Kronecker \(\delta[n]\) sí es una secuencia ordinaria con valor 1 en \(n=0\). No deben confundirse: una es continua y la otra discreta.

📖 Para profundizar

La descripción completa de las señales elementales puede encontrarse en Oppenheim et al. (1997, cap. 1) y Lathi (2005, cap. 1). La señal impulso unitario es especialmente importante: como veremos en los capítulos dedicados a los sistemas LTI en tiempo continuo y en tiempo discreto, permite caracterizar completamente un sistema LTI.

7 Señales periódicas

7.1 Periódicas y aperiódicas

En función de su periodicidad, decimos que una señal es:

periódica si su forma se repite indefinidamente a intervalos regulares;
aperiódica en caso contrario.

La distinción parece trivial, y en tiempo continuo casi lo es. En tiempo discreto, en cambio, reserva una sorpresa: hay sinusoides que no son periódicas, como muestra la Figura 20. El resto de la sección explica por qué.

Figura 20: Una sinusoide discreta periódica y otra que no lo es. En verde, las marcas de periodo de la primera.

7.2 Definición y propiedades

\(x(t)\) es periódica de periodo \(T_0 > 0\) si:

\[ x(t + T_0) = x(t) \quad \forall\, t \tag{19}\]

El periodo fundamental \(T_0\) es el menor valor positivo que satisface esta condición. En tiempo discreto, \(x[n]\) es periódica de periodo \(N_0 > 0\) si:

\[ x[n + N_0] = x[n] \quad \forall\, n \tag{20}\]

con la diferencia esencial de que \(N_0\) debe ser un número entero: no tiene sentido desplazar una secuencia media muestra. Esta restricción tiene una consecuencia sorprendente.

⚠️ Periodicidad de sinusoides discretas

Una sinusoide discreta \(x[n] = \cos(\Omega n)\) es periódica si y solo si \(\Omega/(2\pi)\) es un número racional:

\[ \frac{\Omega}{2\pi} = \frac{M}{N}, \quad M, N \in \mathbb{N} \]

En ese caso el periodo fundamental es \(N_0 = N\) (con la fracción ya simplificada).

\(\cos(0.1\pi n)\) → \(\Omega/(2\pi) = 1/20\) → periódica con \(N_0 = 20\).
\(\cos(\sqrt{2}\, n)\) → no racional → no periódica.

Esto contrasta con el caso continuo, donde \(\cos(\omega t)\) es siempre periódica.

En la práctica, todo se reduce a una receta de dos pasos: dividir y simplificar. Se divide \(\Omega\) entre \(2\pi\) y se simplifica la fracción resultante; si queda una fracción de enteros, el denominador es \(N_0\) y el numerador, el número \(M\) de ciclos que caben en ese periodo. Si no puede escribirse como fracción de enteros, la señal no es periódica. Simplificar no es opcional: sin hacerlo se obtiene un periodo, pero no el fundamental.

Cómo simplificar una senoidal digital

Cuando \(\Omega\) queda fuera del intervalo \([-\pi, \pi]\) conviene reducirla antes de dibujar nada, aprovechando que \(\Omega\) y \(\Omega - 2\pi k\) generan exactamente las mismas muestras:

Partir de \(x[n] = A\cos(\Omega n + \Phi)\).
Obtener \(\Omega' \in [-\pi, \pi]\) sumando o restando múltiplos de \(2\pi\), tantas veces como haga falta.
Si \(\Omega' < 0\), usar la paridad del coseno, \(\cos(-\theta) = \cos\theta\), para dejarla positiva.
Sacar \(\Omega'\) como factor común y llegar a la forma \(x[n] = A\cos\big(\Omega'(n - n_0)\big)\), que se dibuja de un vistazo: es un coseno de \(\Omega'\) desplazado \(n_0\) muestras.

El motivo de fondo es que la oscilación más rápida que admite una secuencia es la de \(\Omega = \pi\), que alterna de signo en cada muestra. Por encima de \(\pi\) la señal no oscila más deprisa: se pliega y reaparece como una de frecuencia menor. Nada de esto ocurre en tiempo continuo, donde \(\cos(\omega t) \neq \cos\big((\omega - 2\pi k)t\big)\).

7.3 Frecuencia fundamental y armónicos

A partir del periodo fundamental se definen la frecuencia fundamental \(f_0 = 1/T_0\) (en hercios) y la frecuencia angular fundamental:

\[ \omega_0 = \frac{2\pi}{T_0} \;\text{(rad/s)}, \qquad \Omega_0 = \frac{2\pi}{N_0} \;\text{(rad/muestra)} \]

Se llaman armónicos a las señales cuya frecuencia es un múltiplo entero de la fundamental, \(k\omega_0\) con \(k = 2, 3, \dots\) Todas ellas comparten el periodo \(T_0\), ya que si una señal se repite cada \(T_0/k\) también se repite cada \(T_0\).

Los armónicos son las exponenciales complejas \(e^{jk\omega_0 t}\) de la Ec. 12, y son la razón por la que dos instrumentos que tocan la misma nota suenan distinto: su frecuencia fundamental coincide, pero el peso de cada armónico es diferente. Sumando armónicos con los pesos adecuados puede construirse prácticamente cualquier señal periódica, que es la idea central de las series de Fourier.

La Figura 21 ilustra lo esencial: por muchos armónicos que se sumen, y con los pesos que sea, la suma vuelve a repetirse cada \(T_0\). El periodo lo fija la fundamental; los armónicos solo cambian la forma de onda dentro de ese periodo.

Figura 21: La fundamental y sus dos primeros armónicos, y su suma. La suma cambia de forma, pero conserva el periodo \(T_0\) de la fundamental.

7.4 Suma de señales periódicas

La suma de dos señales periódicas de periodos \(T_1\) y \(T_2\) no siempre es periódica. Lo es si y solo si el cociente \(T_1/T_2\) es racional, es decir, si existen enteros \(M\) y \(N\) tales que:

\[ \frac{T_1}{T_2} = \frac{M}{N} \qquad\Longrightarrow\qquad T_0 = N\,T_1 = M\,T_2 \]

y en ese caso el periodo de la suma es el mínimo común múltiplo de \(T_1\) y \(T_2\). Por ejemplo, \(\cos(2\pi t)\) (periodo 1) más \(\cos(3\pi t)\) (periodo \(2/3\)) da un cociente \(3/2\), racional, y la suma es periódica con \(T_0 = 2\). En cambio, \(\cos(2\pi t) + \cos(2t)\) tiene un cociente irracional y la suma nunca se repite. La Figura 22 muestra ambos casos.

Figura 22: Suma de dos senoidales continuas. Arriba, cociente de periodos racional: la suma se repite, y las marcas señalan cada \(T_0 = 2\). Abajo, cociente irracional: nunca vuelve a repetirse.

En tiempo discreto la suma siempre es periódica

Todo lo anterior es específico del tiempo continuo. En discreto, si los dos sumandos son periódicos, la suma lo es siempre: los periodos \(N_1\) y \(N_2\) son enteros por definición, de modo que el cociente \(N_1/N_2\) es necesariamente racional y nunca se da el caso irracional. El periodo de la suma es \(N_0 = \operatorname{mcm}(N_1, N_2)\).

La dificultad se traslada, entonces, a decidir si cada sumando es periódico, que es donde aparece la condición de \(\Omega/(2\pi)\) racional. Y basta con que uno no lo sea para que la suma tampoco lo sea.

📐 Ejemplo 1.6: Periodo y representación

Determina si las siguientes señales son periódicas y, en caso de serlo, calcula su periodo y dibújalas:

\(x_1(t) = 2\cos\left(\pi t - \dfrac{\pi}{2}\right)\)
\(x_2[n] = \cos\left(\dfrac{\pi n}{4} + \dfrac{\pi}{4}\right)\)
\(x_3[n] = \cos\left(\dfrac{8\pi n}{5}\right)\)
\(x_4[n] = \sin(2n)\)

💡 Solución del Ejemplo 1.6

a) Toda sinusoide continua es periódica, y la fase no altera el periodo. Con \(\omega = \pi\) rad/s,

\[ T_0 = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \text{ s}. \]

Para dibujarla conviene sacar factor común a \(\omega\) y ver la fase como un desplazamiento:

\[ x_1(t) = 2\cos\left(\pi t - \frac{\pi}{2}\right) = 2\cos\Big(\pi\,(t - 0.5)\Big), \]

es decir, \(2\cos(\pi t)\) retrasada 0.5 s. Basta con marcar cuatro puntos por periodo, desplazados medio segundo respecto al coseno sin fase: máximo \(x_1 = 2\) en \(t = 0.5\), cero en \(t = 1\), mínimo \(x_1 = -2\) en \(t = 1.5\), de nuevo cero en \(t = 2\) y otra vez el máximo en \(t = 2.5\), y repetir ese trazo cada 2 s hacia ambos lados. (Equivale a \(2\sin(\pi t)\).)

b) Con \(\Omega = \pi/4\) rad/muestra,

\[ \frac{\Omega}{2\pi} = \frac{\pi/4}{2\pi} = \frac{1}{8}, \]

racional y ya simplificado: es periódica con \(N_0 = 8\) muestras (y \(M = 1\) ciclo por periodo). La fase, como en el caso continuo, no cambia el periodo. Para dibujarla se saca factor común:

\[ x_2[n] = \cos\left(\frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\,(n + 1)\right), \]

que es \(\cos(\pi n/4)\) adelantada una muestra. Las muestras de un periodo, de \(n = 0\) a \(n = 7\), son

\[ \tfrac{\sqrt{2}}{2},\; 0,\; -\tfrac{\sqrt{2}}{2},\; -1,\; -\tfrac{\sqrt{2}}{2},\; 0,\; \tfrac{\sqrt{2}}{2},\; 1, \]

y el máximo cae en \(n = -1\) (y en \(n = 7, 15, \dots\)). Aquí la fase equivale a un número entero de muestras porque es múltiplo de \(\Omega\); con cualquier otra fase, por ejemplo \(\pi/3\), la señal sigue siendo periódica con \(N_0 = 8\), pero sus muestras ya no coinciden con las de \(\cos(\pi n/4)\) desplazada.

c) Ahora \(\Omega = 8\pi/5 > \pi\). Se procede igual, pero hay que simplificar la fracción:

\[ \frac{\Omega}{2\pi} = \frac{8\pi/5}{2\pi} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \quad\Longrightarrow\quad N_0 = 5,\; M = 4. \]

Si no se simplifica se obtendría \(N = 10\), que también es un periodo de la señal, pero no el fundamental. La señal completa \(M = 4\) ciclos de la sinusoide continua cada 5 muestras, lo que parece imposible de dibujar; la clave está en que, como se vio en la Sección 6, \(\Omega\) y \(\Omega - 2\pi\) generan las mismas muestras:

\[ \cos\left(\frac{8\pi n}{5}\right) = \cos\left(\frac{8\pi n}{5} - 2\pi n\right) = \cos\left(-\frac{2\pi n}{5}\right) = \cos\left(\frac{2\pi n}{5}\right). \]

Así que se dibuja como un coseno de 5 muestras por ciclo: de \(n = 0\) a \(n = 4\) vale \(1,\; 0.31,\; -0.81,\; -0.81,\; 0.31\) y se repite.

d) Con \(\Omega = 2\) rad/muestra, \(\Omega/(2\pi) = 1/\pi\) es irracional: la señal no es periódica. Se pueden calcular y dibujar sus muestras (\(0,\; 0.91,\; -0.76,\; -0.28,\; 0.99, \dots\)), pero ningún tramo se repite exactamente, por largo que se tome.

En verde, un periodo de cada señal periódica. En a), en gris, el coseno sin fase: \(x_1(t)\) es el mismo trazo retrasado 0.5 s. En las discretas, en gris, la sinusoide continua que pasa por las muestras: en c) es la de \(\Omega = 2\pi/5\), no la de \(8\pi/5\).

📐 Ejemplo 1.7: Periodicidad

Determina si las siguientes señales son periódicas y, en caso de serlo, calcula su periodo:

\(x_1(t) = \cos(2t) + \sin(3t)\)
\(x_2(t) = \cos(3t) + \sin(\pi t)\)
\(x_3[n] = \cos\left(\dfrac{3\pi n}{8}\right)\)
\(x_4[n] = \cos\left(\dfrac{n}{4}\right)\)
\(x_5[n] = \cos\left(\dfrac{\pi n}{3}\right) + \sin\left(\dfrac{\pi n}{4}\right)\)
\(x_6[n] = \cos\left(\dfrac{\pi n}{5}\right) + \sin\left(\dfrac{n}{2}\right)\)

💡 Solución del Ejemplo 1.7

a) Cada término es periódico: \(\cos(2t)\) con \(T_1 = 2\pi/2 = \pi\) y \(\sin(3t)\) con \(T_2 = 2\pi/3\). El cociente de periodos es racional,

\[ \frac{T_1}{T_2} = \frac{\pi}{2\pi/3} = \frac{3}{2}, \]

así que la suma es periódica, con \(T_0 = 2\,T_1 = 3\,T_2 = 2\pi\) s.

b) De nuevo ambos términos son periódicos: \(\cos(3t)\) con \(T_1 = 2\pi/3\) y \(\sin(\pi t)\) con \(T_2 = 2\pi/\pi = 2\). Pero ahora el cociente

\[ \frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi/3}{2} = \frac{\pi}{3} \]

es irracional, así que no existe ningún instante en que ambos términos completen a la vez un número entero de ciclos: la suma no es periódica, aunque cada sumando lo sea.

c) Es una sinusoide discreta con \(\Omega = 3\pi/8\) rad/muestra. El cociente

\[ \frac{\Omega}{2\pi} = \frac{3\pi/8}{2\pi} = \frac{3}{16} \]

es racional y ya está simplificado, así que la señal es periódica con \(N_0 = 16\) muestras. En esas 16 muestras la sinusoide completa \(M = 3\) ciclos.

d) Es una sinusoide discreta con \(\Omega = 1/4\) rad/muestra. Como \(\Omega/(2\pi) = 1/(8\pi)\) es irracional, la señal no es periódica: sus muestras nunca se repiten exactamente. La sinusoide continua \(\cos(t/4)\), de la que se podría pensar que proceden, sí es periódica (con periodo \(8\pi\)), pero ese periodo no es un número entero de muestras.

e) Se estudia cada término por separado. Para \(\cos(\pi n/3)\), \(\Omega_1/(2\pi) = 1/6\), así que \(N_1 = 6\); para \(\sin(\pi n/4)\), \(\Omega_2/(2\pi) = 1/8\), así que \(N_2 = 8\). Ambos son periódicos y, al ser sus periodos enteros, el cociente \(N_1/N_2 = 6/8 = 3/4\) es siempre racional: la suma es periódica y su periodo es el mínimo común múltiplo,

\[ N_0 = \operatorname{mcm}(6, 8) = 24 \text{ muestras}, \]

en las que el primer término completa \(24/6 = 4\) periodos y el segundo \(24/8 = 3\). En tiempo discreto, por tanto, la suma de dos señales periódicas siempre es periódica; la dificultad está en averiguar si cada sumando lo es.

f) El primer término es periódico: \(\Omega_1/(2\pi) = 1/10\), con \(N_1 = 10\). El segundo no: \(\Omega_2/(2\pi) = 1/(4\pi)\) es irracional, así que \(\sin(n/2)\) nunca repite sus muestras. Aunque \(\cos(\pi n/5)\) vuelva a sus valores cada 10 muestras, no hay ningún desplazamiento entero que devuelva a la vez el segundo término a los suyos: la suma no es periódica. Basta con que un sumando no sea periódico para que la suma tampoco lo sea.

8 Clasificación de señales

Más allá de la distinción entre continuas y discretas, las señales se clasifican según diversas propiedades. Conocer estas clasificaciones es fundamental para seleccionar las herramientas matemáticas adecuadas para su análisis (Oppenheim et al. 1997).

8.1 Señales deterministas vs. aleatorias

📝 Definición — señal determinista y aleatoria

Determinista: puede expresarse mediante una fórmula matemática exacta. Su valor futuro es completamente predecible.
Aleatoria (estocástica): no puede predecirse con exactitud; se describe mediante propiedades estadísticas (media, varianza, etc.).

Figura 23: Una señal determinista y otra aleatoria. La de la izquierda se predice con una fórmula; la de la derecha, solo estadísticamente.

8.2 Señales pares e impares

Esta clasificación se basa en la simetría de la señal respecto al eje vertical. Una señal es:

par: si es simétrica, \(x(t) = x(-t)\)
impar: si es antisimétrica, \(x(t) = -x(-t)\)

La importancia de esta clasificación radica en que las señales pares e impares tienen propiedades matemáticas muy útiles, especialmente en el análisis de Fourier. La Figura 24 muestra un ejemplo de cada tipo.

Figura 24: Una señal par, simétrica respecto al eje vertical, y una impar, simétrica respecto al origen.

Además, cualquier señal puede descomponerse en su componente par y su componente impar. Fíjate que podemos reescribir cualquier señal \(x(t)\) de la siguiente forma: \[ x(t) = \underbrace{\frac{x(t) + x(-t)}{2}}_{x_p(t) \text{ (par)}} + \underbrace{\frac{x(t) - x(-t)}{2}}_{x_i(t) \text{ (impar)}} \tag{21}\]

Esta descomposición es siempre posible y es única (tanto en el caso continuo como en el discreto). En discreto la expresión es la misma, sustituyendo \(x(-t)\) por \(x[-n]\).

Cómo se aplica

No hace falta razonar la simetría de cada señal: basta con aplicar las dos fórmulas directamente. Se escribe \(x(-t)\) (o \(x[-n]\)), se suma y se resta, y se divide entre dos. En señales discretas es aún más mecánico, porque se tabula muestra a muestra.

📐 Ejemplo 1.8: Descomposición de una señal continua

Dibuja la señal \(x(t) = (1 + t)^2\) y calcula su descomposición como suma de una señal par y una impar.

💡 Solución del Ejemplo 1.8

Desarrollando el cuadrado, \(x(t) = 1 + 2t + t^2\), y la señal reflejada es \(x(-t) = (1 - t)^2 = 1 - 2t + t^2\). Aplicando la Ec. 21:

\[ x_p(t) = \frac{(1 + 2t + t^2) + (1 - 2t + t^2)}{2} = 1 + t^2 \qquad x_i(t) = \frac{(1 + 2t + t^2) - (1 - 2t + t^2)}{2} = 2t \]

En un polinomio la descomposición se lee directamente: las potencias pares de \(t\) (incluida la constante) forman la parte par, y las impares, la parte impar.

📐 Ejemplo 1.9: Descomposición de una señal discreta

Dibuja la señal \(x[n] = u[n] - u[n-3]\), es decir, \(x[n] = \{\underset{\uparrow}{1},\, 1,\, 1\}\), y calcula su descomposición como suma de una señal par y una impar.

💡 Solución del Ejemplo 1.9

La señal vale 1 en \(n = 0, 1, 2\) y 0 en el resto. Su reflejada \(x[-n]\) vale 1 en \(n = -2, -1, 0\). Basta tabular ambas en las muestras donde alguna es distinta de cero y aplicar las fórmulas:

\(n\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(x[n]\)	\(0\)	\(0\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)
\(x[-n]\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)
\(x_p[n] = \frac{x[n] + x[-n]}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(1\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)
\(x_i[n] = \frac{x[n] - x[-n]}{2}\)	\(-\frac{1}{2}\)	\(-\frac{1}{2}\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)

Fuera de \(-2 \leq n \leq 2\) ambas componentes son nulas. La parte par es simétrica y la impar cambia de signo al reflejarla; en \(n = 0\) la parte impar vale 0 y toda la muestra \(x[0]\) va a la parte par.

8.3 Señales causales y anticausales

El término causalidad se refiere a la relación entre el tiempo y la existencia de la señal. Una señal es:

Causal: \(x[n] = 0\) para todo \(n < 0\)
Anticausal (o no causal): \(x[n] = 0\) para todo \(n > 0\)
Bilateral: tiene valores no nulos tanto para \(n < 0\) como para \(n > 0\)

En la práctica, las señales que medimos son siempre causales: empezamos a grabar en un instante determinado y los datos solo existen desde ese momento. Sin embargo, en el análisis teórico es útil trabajar con señales no causales.

El concepto de causalidad será importante, por ejemplo, cuando estudiemos filtros digitales. Un filtro digital no causal requeriría conocer el futuro de la señal de entrada para implementarse, por tanto, no es realizable físicamente. En cambio, un filtro causal solo depende del presente y del pasado, y sí puede implementarse.

Figura 25: Los tres casos según la causalidad. La línea de puntos marca el origen.

8.4 Señales de duración finita e infinita

Como su propio nombre indica, decimos que una señal es de duración:

finita si distinta de cero solamente en un intervalo limitado de tiempo
infinita si tiene valores no nulos durante un intervalo ilimitado de tiempo

Tender a cero no hace finita a una señal

Es el error más frecuente en esta clasificación. Una exponencial decreciente como \(e^{-0.5t}u(t)\) se hace arbitrariamente pequeña, pero no llega a valer cero en ningún intervalo: es de duración infinita. Lo que cuenta no es si la señal se vuelve despreciable, sino si existe un intervalo limitado fuera del cual sea exactamente nula. Que decaiga sí tiene consecuencias, pero sobre su energía, no sobre su duración, como se verá en la Sección 10.2.

Figura 26: Duración finita frente a infinita. La de la derecha tiende a cero, pero nunca llega a valer cero.

📐 Ejemplo 1.10: Duración de una señal

Representa las siguientes señales y determina si son de duración finita o infinita:

\(x_1[n] = u[n] - u[n-1]\)
\(x_2(t) = e^{-t}\cos(4\pi t) \; u(t)\)

💡 Solución del Ejemplo 1.10

a) El escalón \(u[n]\) vale 1 para \(n \geq 0\) y el escalón retardado \(u[n-1]\) vale 1 para \(n \geq 1\). Al restarlos, ambos se cancelan en todas las muestras salvo en \(n = 0\), donde solo contribuye \(u[n]\):

\[ x_1[n] = u[n] - u[n-1] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \neq 0 \end{cases} = \delta[n] \]

Es el impulso unitario, distinto de cero en una única muestra: duración finita.

b) El factor \(u(t)\) anula la señal para \(t < 0\). Para \(t \geq 0\) es un coseno cuya amplitud decae según la envolvente \(e^{-t}\): se hace cada vez más pequeña, pero nunca se anula en todo un intervalo (solo cruza por cero en instantes aislados, \(t = 1/8 + k/4\)). Como toma valores no nulos en el intervalo ilimitado \([0, \infty)\), es de duración infinita.

9 Operaciones básicas con señales

Las señales se pueden manipular matemáticamente mediante operaciones sobre la variable independiente (el tiempo) y sobre la amplitud. Dominar estas operaciones es imprescindible para el estudio de los sistemas (Oppenheim et al. 1997; Lathi 2005).

Para ilustrarlas se usará a lo largo de toda la sección la misma señal de partida, definida por la siguiente función a trozos \[ x(t) = \begin{cases} 2t, & 0 \leq t < 1 \\ 2, & 1 \leq t < 2 \\ -1, & 2 \leq t < 3 \\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases} \] cuya representación gráfica se muestra en la Figura 27.

Figura 27: Señal \(x(t)\) que se usará en toda la sección: una rampa de 0 a 2 en \([0,1)\), un tramo constante de valor 2 en \([1,2)\) y un tramo de valor \(-1\) en \([2,3)\).

9.1 Desplazamiento temporal

Dado un desplazamiento \(t_0\) (o \(n_0\) en discreto):

\[ y(t) = x(t - t_0), \qquad y[n] = x[n - n_0] \tag{22}\]

Si \(t_0 > 0\) → retardo: la señal se mueve a la derecha.
Si \(t_0 < 0\) → adelanto: la señal se mueve a la izquierda.

El signo resulta contraintuitivo al principio, pero se entiende comprobando dónde se sitúa ahora el valor que \(x\) tomaba en el origen: \(t - t_0 = 0\) ocurre en \(t = t_0\). La Figura 28 compara ambos sentidos.

Figura 28: Desplazamiento temporal. Respecto a la señal original (izquierda), un retardo la mueve hacia la derecha (centro) y un adelanto, hacia la izquierda (derecha). La forma no cambia.

9.2 Inversión temporal

\[ y(t) = x(-t) \tag{23}\]

La señal se refleja respecto al eje vertical, como si se reprodujera hacia atrás: lo que ocurría en \(t\) pasa a ocurrir en \(-t\). En la Figura 29 se aprecia que el tramo negativo, que estaba al final, aparece ahora al principio.

Figura 29: Inversión temporal: la señal se refleja respecto al eje vertical. El tramo negativo, que ocupaba \([2,3)\), pasa a ocupar \((-3,-2]\).

9.3 Escalado temporal

\[ y(t) = x(at), \quad a > 0 \tag{24}\]

Si \(a > 1\) → compresión en el tiempo: la señal se acelera.
Si \(0 < a < 1\) → expansión en el tiempo: la señal se ralentiza.

En la Figura 30 se observa que la duración total cambia —de 3 s pasa a 1,5 s o a 6 s— pero los valores que toma la señal son exactamente los mismos.

Figura 30: Escalado temporal. Comprimir acelera la señal y acorta su duración a la mitad; expandir la ralentiza y la duplica. La amplitud no se altera.

⚠️ Escala en señales discretas

En señales discretas la escala entera \(x[Mn]\) (diezmado) o \(x[n/L]\) (sobremuestreo) no es tan simple como en continuo: al diezmar se pierden muestras y al interpolar hay que insertar ceros. Estas operaciones se estudian en detalle en el capítulo de muestreo.

9.4 Desplazamiento en amplitud

\[ y(t) = x(t) + c \]

Suma una constante a todos los valores de la señal, desplazándola verticalmente:

Si \(c > 0\) → desplazamiento positivo: la señal se desplaza hacia arriba.
Si \(c < 0\) → desplazamiento negativo: la señal se desplaza hacia abajo.

En electrónica se conoce como añadir un nivel de continua (offset o componente DC) y es una operación habitual. Por ejemplo, para que una señal de audio, que oscila en torno a cero, quepa dentro del rango de entrada de un convertidor analógico-digital que solo admite tensiones positivas, tenemos que añadir un offset. Obsérvese en la Figura 31 que la señal deja de ser nula fuera de su tramo original: el desplazamiento afecta a todo el eje temporal.

Figura 31: Desplazamiento en amplitud. Sumar una constante sube la señal entera; restarla la baja. A diferencia de las operaciones temporales, el resultado ya no es nulo fuera de \([0,3)\).

9.5 Inversión en amplitud

\[ y(t) = -x(t), \qquad y[n] = -x[n] \]

Es el caso particular \(A = -1\) del escalado: la señal se refleja respecto al eje horizontal, sin alterar el eje de tiempos. No debe confundirse con la inversión temporal de la Ec. 23, que refleja respecto al eje vertical. Comparando la Figura 32 con la Figura 29 se aprecia la diferencia: aquí el tramo negativo se vuelve positivo, pero sigue ocupando \([2,3)\).

Figura 32: Inversión en amplitud: reflejo respecto al eje horizontal. La rampa pasa a ser descendente y el tramo que valía \(-1\) pasa a valer \(+1\), sin moverse en el tiempo.

9.6 Escalado en amplitud

\[ y(t) = A \cdot x(t), \qquad y[n] = A \cdot x[n] \]

Multiplica todos los valores por una constante \(A > 0\). Con \(A > 1\) se amplifica la señal y con \(A < 1\) se atenúa; es lo que hace el mando de volumen de un amplificador. La Figura 33 muestra ambos casos: cambia la altura, pero no la duración ni la forma. El caso \(A < 0\) no se trata aquí: equivale a escalar por \(|A|\) y además invertir en amplitud, la operación de la subsección anterior.

En la práctica, esta ganancia rara vez se expresa como un número: se da en decibelios, mediante \(A_{\text{dB}} = 20\log_{10} A\). Así, duplicar la amplitud son unos 6 dB y reducirla a la mitad, unos \(-6\) dB. La escala se define en la Ec. 32 y se comenta en la Sección 10.

Figura 33: Escalado en amplitud. La señal se estira o se encoge verticalmente; el eje de tiempos no se toca.

9.7 No conmutatividad de las operaciones

Cuando se combinan un escalado y un desplazamiento, el orden importa: aplicarlos al revés da una señal distinta. Conviene fijar de una vez un procedimiento y no salirse de él.

Regla: primero desplazar, después escalar

Para obtener \(y(t) = x(at + b)\) a partir de \(x(t)\):

Desplazar: \(v(t) = x(t + b)\).
Escalar: \(y(t) = v(at) = x(at + b)\).

En este orden el desplazamiento es \(b\), tal como aparece en la expresión, sin dividir por nada.

El motivo de insistir en el orden se ve en la Figura 34, que construye \(y(t) = x(2t-2)\) de las dos maneras. Arriba, desplazando primero: se obtiene la señal buscada. Abajo, escalando primero y desplazando después las mismas 2 unidades: sale \(x(2t-4)\), que no es lo pedido.

Quien prefiera escalar primero puede hacerlo, pero entonces el desplazamiento ya no es \(b\) sino \(b/a\), porque la escala también comprime el desplazamiento. Ambos caminos llegan al mismo sitio; el error habitual es mezclarlos y desplazar \(b\) después de haber escalado. En este libro se usará siempre el primero.

Una comprobación rápida, independiente del camino elegido, consiste en localizar el instante en el que la señal transformada toma el valor que \(x\) tomaba en el origen: \(at + b = 0 \Rightarrow t = -b/a\).

Figura 34: Construcción de \(y(t) = x(2t-2)\) por los dos caminos. Arriba, desplazando \(b=2\) y escalando después: correcto. Abajo, escalando primero y desplazando luego esas mismas 2 unidades: se obtiene \(x(2t-4)\), y en discontinua se ve dónde debería haber quedado.

📐 Ejemplo 1.11: Transformaciones de una señal

A partir de la señal \(x(t)\) de la Figura 35 (una rampa que sube de 0 a 1 en \([-1, 0]\) y se mantiene en 1 hasta \(t=2\)), dibuja:

a) \(y_1(t) = x(t-2)\)

b) \(y_2(t) = x(3-t)\)

c) \(y_3(t) = x(2t+2)\)

d) \(y_4(t) = -2\,x(1 - t/2) + 1\)

💡 Solución del Ejemplo 1.11

a) Un desplazamiento puro: \(x(t-2)\) es \(x(t)\) retrasada 2 s, así que el tramo ocupado pasa de \([-1, 2]\) a \([1, 4]\).

b) Conviene escribir el argumento como \(3 - t = -(t - 3)\), que se lee como una inversión seguida de un desplazamiento. Aplicando la regla, primero se desplaza \(b = 3\) y después se escala por \(a = -1\): \(v(t) = x(t+3)\) ocupa \([-4, -1]\), y al invertir queda \([1, 4]\). La rampa, que subía por la izquierda, ahora baja por la derecha.

c) Con \(a = 2\) y \(b = 2\): primero \(v(t) = x(t+2)\), que adelanta la señal a \([-3, 0]\), y después \(v(2t)\), que la comprime a la mitad: \([-1.5, 0]\). Nótese que el desplazamiento se aplicó antes de comprimir, por eso vale 2 y no 1.

d) Es la única que combina las cuatro operaciones. En el tiempo, \(1 - t/2 = -\tfrac{1}{2}(t-2)\): se desplaza \(b = 1\) y se escala por \(a = -1/2\), lo que expande al doble e invierte, llevando el tramo a \([-2, 4]\). En amplitud, el factor \(-2\) invierte y duplica, y el \(+1\) final sube todo una unidad. El tramo que valía 1 pasa a valer \(-2 \cdot 1 + 1 = -1\), y el que valía 0 pasa a valer 1.

Figura 35: A la izquierda, la señal de partida; a continuación, las cuatro transformaciones pedidas.

10 Energía y potencia

10.1 Introducción

La energía y la potencia son magnitudes fundamentales para clasificar señales y determinar sus propiedades en el contexto del procesado de señal (Oppenheim et al. 1997).

10.2 Energía

La energía es una medida absoluta del tamaño de una señal: acumula su cuadrado a lo largo de todo el eje temporal, sin dividir por nada.

📝 Definición — energía

La energía total de una señal se define como:

\[ E_x = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2 \tag{25}\]

\[ E_x = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2\, dt \tag{26}\]

Para señales complejas se usa el módulo al cuadrado \(|x[n]|^2 = x[n] \cdot x^*[n]\).

10.3 Potencia

La potencia media, en cambio, mide el tamaño de la señal por unidad de tiempo. Es la magnitud adecuada para señales que no se acaban nunca, como las periódicas, cuya energía es infinita pero que claramente no son todas igual de grandes.

📝 Definición — potencia media

La potencia media es la energía por unidad de tiempo, promediada sobre un intervalo que crece indefinidamente:

\[ P_x = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2 \tag{27}\]

\[ P_x = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2\, dt \tag{28}\]

Para una señal periódica de periodo \(T_0\) basta integrar sobre un periodo:

\[ P_x = \frac{1}{T_0} \int_{0}^{T_0} |x(t)|^2\, dt \tag{29}\]

10.4 Clasificación energética

Tipo	Condición	Ejemplo discreto	Ejemplo continuo
Señal de energía	\(0 < E_x < \infty\), \(P_x = 0\)	\(a^n u[n]\), \(\\|a\\|<1\)	\(e^{-at}u(t)\), \(a>0\)
Señal de potencia	\(0 < P_x < \infty\), \(E_x = \infty\)	\(\cos(\Omega n)\)	\(\cos(\omega t)\)
Ni energía ni potencia	\(E_x = \infty\), \(P_x = \infty\)	\(r[n]=n\cdot u[n]\)	\(r(t)=t\cdot u(t)\)

⚠️ Una señal no puede ser de energía y de potencia a la vez

Si la energía es finita, la potencia es necesariamente cero, ya que se divide una cantidad finita por un intervalo que tiende a infinito. Y si la potencia es no nula, la energía es infinita.

10.5 Ejemplo: cálculo de energía

Calculemos la energía de la señal \(x[n] = a^n u[n]\) con \(|a| < 1\):

\[ E_x = \sum_{n=0}^{\infty} |a^n|^2 = \sum_{n=0}^{\infty} |a|^{2n} = \frac{1}{1 - |a|^2} \tag{30}\]

ya que es una serie geométrica convergente cuando \(|a| < 1\).

La Figura 36 lo muestra para \(a = 0.8\): la energía acumulada crece deprisa al principio, cuando las muestras aún son grandes, y enseguida se estanca en el valor teórico. Ese estancamiento es lo que significa «energía finita».

Figura 36: La señal y su energía acumulada. La suma converge al valor teórico en unas pocas decenas de muestras.

10.6 Ejemplo: potencia de una sinusoide

Para \(x[n] = A\cos(\Omega n + \Phi)\), la potencia media es:

\[ P_x = \frac{A^2}{2} \tag{31}\]

💡 Demostración rápida

Usando la identidad \(\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\):

\[ P_x = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N} A^2 \cos^2(\Omega n + \Phi) = \frac{A^2}{2} \]

ya que el término \(\cos(2\Omega n + 2\Phi)\) tiene media cero.

El resultado no depende ni de la frecuencia ni de la fase: solo de la amplitud. La Figura 37 lo comprueba numéricamente, promediando sobre ventanas cada vez más anchas.

Figura 37: La potencia estimada oscila al principio, cuando la ventana abarca un número no entero de periodos, y converge a \(A^2/2\) al ensancharla.

📐 Ejemplo 1.12: Energía y potencia

Calcula la energía y la potencia media de las siguientes señales, y clasifícalas:

a) \(x_1[n] = 3\big(u[n] - u[n-5]\big)\)

b) \(x_2(t) = 4\cos\left(100\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right)\)

c) \(x_3[n] = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n u[n]\)

💡 Solución del Ejemplo 1.12

a) Es un pulso de cinco muestras (\(n = 0,\dots,4\)) de amplitud 3, así que el sumatorio de la Ec. 25 tiene solo cinco términos no nulos:

\[E_{x_1} = \sum_{n=0}^{4} |3|^2 = 5 \cdot 9 = 45\]

La potencia reparte esa cantidad finita en un intervalo que crece sin límite, así que se anula:

\[P_{x_1} = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N} |x_1[n]|^2 = \lim_{N\to\infty} \frac{45}{2N+1} = 0\]

Energía finita y potencia nula: es una señal de energía.

b) Es periódica, con \(T_0 = 2\pi/(100\pi) = 1/50\) s \(= 20\) ms, así que basta promediar sobre un periodo usando la Ec. 29:

\[P_{x_2} = \frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0} \left|4\cos\left(100\pi t + \tfrac{\pi}{3}\right)\right|^2 dt = \frac{16}{T_0}\int_{0}^{T_0} \cos^2\left(100\pi t + \tfrac{\pi}{3}\right) dt\]

Se linealiza el cuadrado con \(\cos^2\alpha = \dfrac{1 + \cos 2\alpha}{2}\):

\[P_{x_2} = \frac{8}{T_0}\underbrace{\int_{0}^{T_0} dt}_{\displaystyle = \,T_0} + \frac{8}{T_0}\underbrace{\int_{0}^{T_0} \cos\left(200\pi t + \tfrac{2\pi}{3}\right) dt}_{\displaystyle = \,0}\]

La segunda integral se anula porque en \(T_0\) el coseno del doble de frecuencia recorre dos periodos completos. Queda \(P_{x_2} = 8\), que coincide con \(A^2/2 = 16/2\) de la Ec. 31. La energía es infinita, porque la señal se repite eternamente sin decaer: es una señal de potencia.

c) Es de duración infinita, pero tiende a cero. Su cuadrado es

\[|x_3[n]|^2 = \left|\left(\tfrac{1}{2}\right)^n\right|^2 = \left(\tfrac{1}{4}\right)^{n}\]

y la energía sale de la suma geométrica de la Ec. 4, que converge porque \(1/4 < 1\):

\[E_{x_3} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\tfrac{1}{4}\right)^{n} = \frac{1}{1 - \tfrac{1}{4}} = \frac{4}{3}\]

Al ser la energía finita, la potencia vuelve a ser nula. Es una señal de energía: que la duración sea infinita no impide que la energía lo sea, basta con que la señal decaiga lo bastante deprisa. Compárese con el caso b), periódico, donde no decae en absoluto.

10.7 Decibelios (dB)

En ingeniería de señales, es habitual expresar energía y potencia en decibelios:

\[ \text{Potencia en dB} = 10 \log_{10}\left(\frac{P}{P_{\text{ref}}}\right) \]

\[ \text{Amplitud en dB} = 20 \log_{10}\left(\frac{A}{A_{\text{ref}}}\right) \tag{32}\]

🔍 Curiosidad: ¿Por qué decibelios?

La escala en decibelios fue introducida por ingenieros de Bell Telephone Laboratories en la década de 1920. El nombre honra a Alexander Graham Bell. Se usa una escala logarítmica porque:

El oído humano percibe la intensidad sonora de forma logarítmica.
Permite trabajar con rangos dinámicos enormes (de \(10^{-12}\) a \(10^0\) W/m² en acústica).
Convierte multiplicaciones en sumas, simplificando cálculos de cadenas de amplificadores y atenuadores.

Tabla 2: Tabla de conversión de relaciones lineales a decibelios

Relación lineal	dB (potencia)	dB (amplitud)
0.001	-30	-60
0.01	-20	-40
0.1	-10	-20
0.5	-3	-6
1	0	0
2	3	6
10	10	20
100	20	40
1000	30	60

11 Correlación y convolución

Las operaciones anteriores transforman una única señal. La correlación y la convolución son distintas: combinan dos señales para producir una tercera. Aquí se presentan como operaciones entre señales, \(x_1\) y \(x_2\); más adelante, en los capítulos de sistemas LTI, la convolución reaparecerá con un papel protagonista, cuando una de las dos señales sea la respuesta al impulso de un sistema.

11.1 Correlación cruzada

📝 Definición — correlación cruzada

La correlación cruzada mide el parecido entre dos señales en función de un desplazamiento relativo \(l\) (o \(\tau\) en continuo):

\[ R_{x_1x_2}[l] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1[n]\,x_2[n+l], \qquad R_{x_1x_2}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x_1(t)\,x_2(t+\tau)\, dt \tag{33}\]

donde \(l\) se denomina retardo (lag).

La idea es sencilla: se desliza una señal sobre la otra y, para cada desplazamiento, se multiplican punto a punto y se suma. El resultado es grande cuando ambas señales «encajan» y pequeño cuando no guardan relación. El valor de \(l\) donde la correlación alcanza su máximo indica cuánto hay que desplazar una señal para que se parezca lo más posible a la otra, y esa es su utilidad principal: medir retardos. En Python se calcula con np.correlate.

Figura 38: La correlación cruzada alcanza su máximo en el desplazamiento que mejor alinea ambas señales, que coincide con el retardo real entre ellas.

11.2 Autocorrelación

📝 Definición — autocorrelación

La autocorrelación es la correlación cruzada de una señal consigo misma:

\[ R_{xx}[l] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,x[n+l], \qquad R_{xx}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,x(t+\tau)\, dt \tag{34}\]

Comparar una señal consigo misma puede parecer inútil, pero no lo es: revela estructura interna. Si la señal esconde una componente periódica, la autocorrelación presenta picos en los múltiplos de ese periodo, incluso cuando el ruido hace que la periodicidad sea invisible a simple vista, como muestra la Figura 39.

Figura 39: Arriba, un tren de pulsos periódico enterrado en ruido: a simple vista no se aprecia ninguna regularidad. Abajo, su autocorrelación, con picos separados exactamente un periodo.

11.3 Propiedades de la autocorrelación

Propiedad	Expresión
Simetría par	\(R_{xx}[l] = R_{xx}[-l]\)
Máximo en el origen	\(R_{xx}[0] \geq \|R_{xx}[l]\| \quad \forall l\)
Valor en el origen	\(R_{xx}[0] = E_x\) (la energía de la señal)

La última propiedad es especialmente interesante: en el desplazamiento nulo, la señal coincide consigo misma y la suma de productos se convierte en la suma de cuadrados, que es justamente la energía de la Ec. 25, vista en la sección anterior. Correlación y energía son, por tanto, dos caras de la misma moneda.

11.4 Convolución: definición y propiedades

📝 Definición — convolución

La convolución de dos señales combina una con una versión reflejada y desplazada de la otra:

\[ (x_1 * x_2)[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x_1[k]\,x_2[n-k], \qquad (x_1 * x_2)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x_1(\tau)\,x_2(t-\tau)\, d\tau \tag{35}\]

La diferencia con la correlación es únicamente ese reflejo, pero cambia por completo su interpretación y sus propiedades.

Propiedad	Expresión
Conmutativa	\(x_1 * x_2 = x_2 * x_1\)
Asociativa	\((x_1 * x_2) * x_3 = x_1 * (x_2 * x_3)\)
Distributiva	\(x_1 * (x_2 + x_3) = x_1 * x_2 + x_1 * x_3\)
Elemento neutro	\(x * \delta = x\)
Desplazamiento	\(x_1(t-t_1) * x_2(t-t_2) = (x_1 * x_2)(t - t_1 - t_2)\)

En tiempo discreto, si \(x_1\) tiene \(L_1\) muestras no nulas y \(x_2\) tiene \(L_2\), el resultado tiene exactamente

\[ L_y = L_1 + L_2 - 1 \]

muestras: la convolución ensancha las señales. En Python se calcula con np.convolve.

⚠️ Correlación ≠ convolución

Las dos operaciones deslizan una señal sobre otra, pero solo la convolución refleja:

\[ (x_1 * x_2)(t) = \int x_1(\tau)\,x_2(t-\tau)\,d\tau \quad\text{(convolución: refleja)} \] \[ R_{x_1x_2}(\tau) = \int x_1(t)\,x_2(t+\tau)\,dt \quad\text{(correlación: no refleja)} \]

Si \(x_2\) es una señal par, ambas coinciden. En Python: np.convolve frente a np.correlate.

11.5 Evaluación gráfica de la convolución

El cálculo de \((x_1 * x_2)(t)\) para un instante \(t\) concreto sigue siempre cuatro pasos:

Reflejar \(x_2\): obtener \(x_2(-\tau)\).
Desplazar por \(t\): obtener \(x_2(t - \tau)\).
Multiplicar punto a punto por \(x_1(\tau)\).
Integrar (o sumar, en discreto) el producto: ese área es el valor \(y(t)\).

Repitiendo el proceso para todos los valores de \(t\) se obtiene la señal completa. La Figura 40 lo muestra en movimiento: al deslizar el pulso reflejado, el área sombreada del producto va dibujando la salida punto a punto.

Figura 40: Convolución de dos pulsos rectangulares de anchuras 2 y 1. Arriba, \(x_1(\tau)\) fija y \(x_2(t-\tau)\) deslizándose; el sombreado es su producto. Abajo, el área de ese producto va trazando \(y(t)\), que resulta ser un trapecio.

El resultado ilustra dos hechos generales: la convolución de dos pulsos rectangulares es un trapecio (un triángulo si ambos tienen la misma anchura), y su anchura es la suma de las anchuras de las señales de partida, que es la versión continua de la regla \(L_y = L_1 + L_2 - 1\).

11.6 Convolución con la delta de Dirac

La delta de Dirac de la Ec. 17 es el elemento neutro de la convolución:

\[ x(t) * \delta(t) = x(t), \qquad x(t) * \delta(t - t_0) = x(t - t_0) \tag{36}\]

y en tiempo discreto, con la delta de Kronecker de la Ec. 16, \(x[n] * \delta[n - n_0] = x[n - n_0]\). Convolucionar con una delta desplazada equivale, por tanto, a desplazar la señal, que es la operación de la Ec. 22. Esto no es casualidad: es la propiedad de muestreo de la Ec. 18 vista desde otro ángulo, y es la razón por la que cualquier señal puede escribirse como una suma (o integral) de deltas desplazadas y escaladas.

Figura 41: Convolucionar una señal con una delta situada en \(n_0\) reproduce la señal original desplazada hasta esa posición.

📖 Para profundizar — clasificación, operaciones y energía

La clasificación de señales se detalla en Oppenheim et al. (1997, cap. 1, Secciones 1.1–1.3) y Haykin y Van Veen (2014, cap. 1); las operaciones, en Oppenheim et al. (1997, sec. 1.3–1.5). La correlación se trata en Oppenheim y Schafer (2010, sec. 2.10) y Proakis y Manolakis (2007, sec. 2.6). Los conceptos de energía y potencia aparecen en Oppenheim et al. (1997, sec. 1.1.2) y Oppenheim y Schafer (2010, sec. 2.1), y la escala de decibelios en Proakis y Manolakis (2007, Apéndice A).

Haykin, Simon, y Barry Van Veen. 2014. Signals and Systems. 2nd ed. John Wiley & Sons.

Lathi, B. P. 2005. Linear Systems and Signals. 2nd ed. Oxford University Press.

Oppenheim, Alan V., y Ronald W. Schafer. 2010. Discrete-Time Signal Processing. 3rd ed. Prentice Hall.

Oppenheim, Alan V., Alan S. Willsky, y S. Hamid Nawab. 1997. Signals and Systems. 2nd ed. Prentice Hall.

Proakis, John G., y Dimitris G. Manolakis. 2007. Digital Signal Processing: Principles, Algorithms, and Applications. 4th ed. Prentice Hall.