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Contenidos

  1. Muestreo
  2. Reconstrucción
  3. Cuantización
  4. Bitrate

Prerrequisitos

  • Tema 1: señales
  • Periodicidad de las senoidales discretas (tema 1)
  • Convolución (tema 1)

Visión global

Esta es la cadena completa de un sistema de procesado digital:

Muestreo

Recordatorio: muestreo

  • Muestreo (continuo -> discreto): tomar valores solo en instantes determinados

Periodo y frecuencia de muestreo

Llamamos periodo de muestreo (\(T_s\), del inglés, sampling) al intervalo de tiempo transcurrido entre dos muestras consecutivas; y a su inversa, la frecuencia de muestreo (\(f_s = 1/T_s\)), medida en Hz.

Definición formal del muestreo

  • Muestrear una señal continua \(x(t)\) con periodo \(T_s\) es quedarse con sus valores en los instantes \(t = nT_s\):

\[x[n] = x(t)\big|_{t = nT_s} = x(nT_s), \qquad n \in \mathbb{Z}\]

  • Llamamos frecuencia de muestreo a la inversa del periodo \(f_s = 1/T_s\) (Hz)

Muestreo ideal

Este es un modelo ideal ya que toma el valor exacto en un instante sin duración. Un conversor real usa un circuito de muestreo y retención (sample and hold), que congela el valor mientras se convierte. Puedes ver el diseño completo de un circuito de muestreo y rentención aquí.

Muestreo de una senoidal

  • Ya sabemos que una señal senoidal continua de frecuencia \(f\) (Hz) se puede expresar como

\[ x(t) = A \cos(2\pi f t) \]

  • Al muestrear dicha señal a una frecuencia de muestreo \(f_s = 1/T_s\) (Hz), obtenemos la señal discreta

\[x[n] = x(t)\big|_{t=n T_s} = A \cos(2\pi f (n T_s) ) = A \cos(2\pi \frac{f}{f_s} n) = A \cos(\pi \frac{f}{f_{nyq}} n)\]

  • En el último paso se ha introducido la frecuencia de Nyquist, definida como

\[ f_{nyq} = \frac{f_s}{2} \]

Frecuencia digital de una senoidal muestreada

Para calcular la frecuencia digital de una senoidal muestreada usaremos la relación \(\Omega = \pi \cdot (f / f_{nyq})\)

El fenómeno del aliasing (i)

  • Por tanto, la frecuencia digital de una senoidal muestreada es

\[ \Omega = \pi \frac{f}{f_{nyq}} \]

  • Recuerda que la frecuencia angular discreta solamente es distinguible en el intervalo \([-\pi, \pi]\)

  • Cualquier frecuencia fuera de ese rango se “pliega” y da lugar a otra equivalente dentro del mismo, que denotamos como \(\Omega' = \Omega - 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}, \quad \Omega' \in [-\pi, \pi]\)

Frecuencia digital equivalente

Recuerda que la frecuencia equivalente \(\Omega'\) se obtiene restando múltiplos de \(2\pi\) a la frecuencia digital \(\Omega\), tantas veces como sea necesario, hasta que quede dentro del rango \([-\pi, \pi]\).

  • Por tanto, si \(f > f_{nyq}\), la frecuencia digital de la senoidal muestreada sale del rango, y se “pliega” a otra frecuencia digital dentro del mismo, dando lugar a un alias de la frecuencia original.

El fenómeno del aliasing (ii)

  • La señal reconstruida tendrá una frecuencia aparente (alias) \(f'\) asociada a la frecuencia digital equivalente \(\Omega'\):

\[ f' = \frac{|\Omega'|}{\pi} f_{nyq} \]

  • En tal caso, no hay manera de distinguir si una frecuencia alias es real o no

Aliasing

El aliasing es un fenómeno que ocurre cuando se muestrea una señal a una frecuencia insuficiente (\(f > f_{nyq}\)), de manera que las frecuencias altas se “pliegan” y se confunden con frecuencias bajas, haciendo imposible distinguirlas.

Signo de la frecuencia alias

La frecuencia digital equivalente \(\Omega'\) puede ser positiva o negativa, pero la frecuencia aparente \(f'\) siempre la expresamos como positiva. Por eso se toma el valor absoluto de \(\Omega'\) al calcular \(f'\).

Aliasing: en el dominio del tiempo

  • Ejemplo: muestreo de componentes de 1 Hz y 4 Hz a la misma frecuencia de muestreo \(f_s = 5\) Hz:
  • En este caso, la frecuencia de Nyquist es \(f_{nyq} = f_s/2 = 2.5\) Hz
    • La señal de 1 Hz se ve como lo que es, porque \(f < f_{nyq}\)
    • La señal de 4 Hz se ve como una de 1 Hz, porque \(f > f_{nyq}\) y su frecuencia digital \(\Omega = 8 \pi/5\) se pliega a \(\Omega' = 8 \pi/5 - 2\pi = -2\pi/5\), lo cual corresponde a un alias de \(f' = | \Omega' |/(2\pi) f_s = 1\) Hz

Aliasing: en el dominio de la frecuencia

  • Podemos representar el aliasing en el dominio de la frecuencia, con una raya por cada componente:
  • La frecuencia de Nyquist actúa como un espejo: lo que cae más allá de \(f_{nyq}\) se refleja sobre ella y aparece dentro de la banda, en \(f' = f_s - f_0\).
  • Una vez muestreada, la raya de \(f'\) es indistinguible de la de una señal que tuviera de verdad esa frecuencia.

Interactivo: una señal y su alias

Reconstrucción

Reconstructores

  • Reconstruir consiste en recuperar la señal continua mediante interpolación a partir de sus muestras
  • Retenedor de orden cero: zero-order hold (ZOH), mantiene cada muestra hasta la siguiente
  • Retenedor de orden uno: first-order hold (FOH), une muestras consecutivas con rectas
  • Ideal: recupera la señal exacta (bajo ciertas condiciones)

Interpolar es convolucionar

  • Los tres reconstructores colocan un pulso \(p(t)\) en cada muestra, escalado por su valor, y suman:

\[x_r(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\; p(t - nT_s)\]

  • Solo cambia la forma del pulso: rectángulo (ZOH), triángulo (lineal) o sinc (ideal).
  • Fíjate que la fórmula de interpolación es muy similar a una convolución discreta

La función sinc

  • El pulso del reconstructor ideal es la sinc, la senoidal dividida por su argumento:

\[\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}, \qquad \mathrm{sinc}(0) = \lim_{x \to 0}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = 1\]

  • Vale 1 en el origen y 0 en todos los demás enteros
  • Tiene simetría par y una envolvente que decae como \(1/(\pi |x|)\)

Teorema de Nyquist-Shannon

Teorema del muestreo

Si una señal \(x(t)\) es limitada en banda (esto es, no contiene componentes de frecuencia por encima de \(B\) Hz) y se muestrea a una frecuencia \(f_s\) tal que \(f_s > 2B\), entonces el reconstructor ideal

\[ x_r(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\; \mathrm{sinc}\!\left(\frac{t - nT_s}{T_s}\right)\]

es capaz de recuperar exactamente \(x(t)\) a partir de sus muestras \(x[n]\).

Filtro antialiasing

La forma de asegurar que una señal esté limitada en banda es poner un filtro antialiasing: un filtro paso bajo que elimina toda componente frecuencial por encima de \(f_s/2\).

No causalidad

El reconstructor ideal no pude usarse en aplicaciones de tiempo real porque es no causal, es decir, necesita conocer la señal en el pasado y en el futuro para calcular su valor en el presente.

Frecuencia de muestreo mínima

📐 Ejemplo 2.1: Frecuencia de muestreo mínima

Sea \(x(t) = 3\cos(200\pi t) + \sin(500\pi t)\).

  1. ¿Cuál es la mínima frecuencia de muestreo que permite reconstruirla?

  2. Si se muestrea a \(f_s = 300\) Hz, ¿qué frecuencias se obtendrían al reconstruir la señal?

💡 Solución a)
  • Componentes: \(\omega_1 = 200\pi \Rightarrow f_1 = 100\) Hz y \(\omega_2 = 500\pi \Rightarrow f_2 = 250\) Hz.
  • La frecuencia máxima es \(f_{max} = 250\) Hz, así que hay que muestrear a \(f_s > 2 f_{max} = 500\) Hz.
💡 Solución b)
  • Con \(f_s = 300\) Hz, \(f_{nyq} = 150\) Hz.
  • \(f_1 = 100\) Hz \(< f_{nyq}\): se recupera tal cual.
  • \(f_2 = 250\) Hz \(> f_{nyq}\): se pliega a \(f' = f_s - f_2 = 50\) Hz.
  • Se obtendrían 100 Hz y 50 Hz..

Interactivo: comparación de reconstructores

Cuantización

Recordatorio: cuantización

  • Cuantización (analógico -> digital): restringir la amplitud a un conjunto finito de valores

Bits y niveles de cuantización

Los cuantizadores se definen por su número de bits \(B\), que determina el número de niveles de cuantización: \(L = 2^B\).

Característica del cuantizador

  • Entrada: un valor analógico \(x\) dentro del fondo de escala, \([0,\ V_{FS}]\)

    • El fondo de escala \(V_{FS}\) es el rango de entrada admisible
    • Si la entrada es bipolar, entonces \(V_{FS} = V_{max} - V_{min}\)
  • Salida: uno de los códigos digitales posibles (niveles)

    • El número de bits \(B\) determina el número de niveles, \(L = 2^B\)

    • En este ejemplo, \(B = 3\) y \(L = 8\) niveles, del 000 al 111

  • La resolución (\(\Delta\)) es el menor cambio de la entrada que se puede distinguir y se calcula como el fondo de escala dividido entre el número de escalones:

\[\Delta = \frac{V_{FS}}{2^B - 1}\]

  • Los niveles de cuantización son múltiplos de \(\Delta\), empiezan en cero y terminan en el fondo de escala:

\[x_q = \{0 , \, \Delta , \, 2\Delta ,\, \dots , \, V_{FS}\}\]

  • La línea de puntos sería la cuantización ideal
    • La diferencia entre la característica y la ideal es el error de cuantización

Error de cuantización (i)

Para asignar un valor de cuantización a una entrada hay varias opciones.

1) Redondeo: se toma el nivel más cercano:

  • El error queda repartido a ambos lados:

\[-\frac{\Delta}{2} < e \leq \frac{\Delta}{2}\]

  • El error máximo es \(e_{max} = \Delta/2\)

  • No tiene sesgo: su media es cero

2) Truncamiento: se toma el nivel inferior:

  • El error queda siempre por debajo del cero:

\[-\Delta < e \leq 0\]

  • El error máximo es \(e_{max} = \Delta\)

  • Está sesgado: su media es negativa

Error de cuantización (ii)

Ruido de cuantización

  • Se puede comprobar que el error de cuantización con redondeo se comporta como un ruido uniforme:
  • Se puede demostrar que su potencia es

\[P_q = \frac{1}{\Delta}\int_{-\Delta/2}^{\Delta/2} e^2\,de = \frac{\Delta^2}{12} = \frac{V_{FS}^2}{12(2^B - 1)^2}\]

donde se ha usado la relación \(\Delta = V_{FS}/(2^B - 1)\).

Relación señal a ruido de cuantización (SQNR)

Supongamos que tenemos una señal senoidal que ocupa todo el fondo de escala (o sea, amplitud \(V_{FS}/2\)), y que el error de cuantización es ruido blanco uniforme. Sabemos entonces que las respectivas potencias son:

\[ P_s = \frac{V_{FS}^2}{8}, \qquad P_q = \frac{V_{FS}^2}{12(2^B - 1)^2}\]

Si calculamos su cociente y lo expresamos en decibelios, obtenemos la regla de diseño para la relación señal a ruido de cuantización (SQNR), que relaciona el número de bits con la calidad de la conversión:

\[\mathrm{SQNR} = 10\log_{10}\frac{P_s}{P_q} = 10\log_{10} \frac{\dfrac{V_{FS}^2}{8}}{\dfrac{V_{FS}^2}{12(2^B - 1)^2}} = 10\log_{10}\frac{3}{2}(2^B - 1)^2 \approx 6{,}02B + 1{,}76 \ \text{dB}\]

Tasa binaria (bitrate)

  • Bitrate (tasa binaria, \(R\)): bits por segundo que genera la conversión. Cada muestra necesita \(B\) bits y hay \(f_s\) muestras por segundo en cada canal:

\[R = f_s \cdot B \cdot N_{\text{canales}} \ \text{(bit/s)}\]

Aplicación \(f_s\) \(B\) Canales \(R\)
Telefonía 8 kHz 8 1 64 kbit/s
CD de audio 44,1 kHz 16 2 1411,2 kbit/s
Audio de alta resolución 96 kHz 24 2 4608 kbit/s

📐 Ejemplo 2.2: Tamaño de un minuto de CD

¿Cuánto ocupa un minuto de audio de CD sin comprimir, en megabytes?