28 de enero de 2019
Supongamos que nos piden que elaboremos las previsiones de ventas trimestrales de un determinado producto para el año que viene.
¿Cómo elaboramos estas previsiones/pronósticos?
Las ventas históricas forman una serie temporal.
Serie temporal, histórica o cronológica: es un conjunto de datos (valores numéricos) obtenidos en periodos iguales de tiempo.
Una serie de tiempo es una sucesión de valores ordenados en el tiempo y generados por una variable cuya referencia es la unidad temporal.
El comportamiento de una serie temporal tiene diversos componentes:
Una serie de tiempo es una distribución estadística bidimensional en la cual una variable es el tiempo: (Y, t).
Podemos representar la nuev de puntos (tema 2) y determinar la recta de regresión (lineal, cuadrática, exponencial, etc..) que mejor ajuste (tema 3).
Ventaja: disponemos de la medida de la bondad del ajuste.
Supongamos un ajuste lineal: \[T_t=a+bt\]Según la encuesta industrial de empresas (INE), la evolución de la inversión en activos materiales realizada por el conjunto de la industria ha sido la siguiente:
| Año | Inversión |
|---|---|
| 2000 | 20505 |
| 2001 | 22871 |
| 2002 | 22769 |
| 2003 | 22040 |
| 2004 | 25334 |
| 2005 | 24710 |
| 2006 | 27822 |
| 2007 | 28120 |
El vector de medias es:
\[m = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {24271.38} \\ {2003.5} \end{array}} \right)\]
y la matriz de varianzas-covarianzas es:
\[V = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6515401.48&5448.56 \\ 5448.56&5.25 \end{array}} \right)\]
La ecuación de tendencia anual es: \[T_t = –2055003.86 + 1037.82t\]
Para simplificar los cálculos podemos realizar el siguiente cambio:
Elegimos un año fijo (origen = \(t_0\))
Transformamos la variable Año en otra variable t, de forma que…
\[t = Año – t_0\]
\[t = Año – t_0\]
| Año | Inversión | t |
|---|---|---|
| 2000 | 20505 | 0 |
| 2001 | 22871 | 1 |
| 2002 | 22769 | 2 |
| 2003 | 22040 | 3 |
| 2004 | 25334 | 4 |
| 2005 | 24710 | 5 |
| 2006 | 27822 | 6 |
| 2007 | 28120 | 7 |
Si ahora hacemos los cálculos…
El vector de medias es:
\[m = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {24271.38} \\ {3.5} \end{array}} \right)\]
y la matriz de varianzas-covarianzas es:
\[V = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6515401.48&5448.56 \\ 5448.56&5.25 \end{array}} \right)\]
La ecuación de tendencia anual es: \[T_t = 20639 + 1037.82t\] Hay que indicar: (1) De qué ecuación de tendencia se trata y (2) el origen de la ecuación de tendencia.
* Equació de tendència anual de la inversió en actius materials.
* Origen: part central de 2000 (\(t=0\))
Obtenida la ecuación de la tendencia (anual):
¿Cómo podemos cambiar el origen de la ecuación de tendencia?
\[T_t=a+bt\]
Trasladar el origen h añoss para hacer \(t'=0\)
\[t'=t-h \hspace{3mm} \to \hspace{3mm} t=t'+h\]
\[T_t = 20639 + 1037.82t\] * Ecuación de tendencia anual de la inversión en activos materiales.
* Origen: parte central del año 2000 (t = 0)
Vamos a obtener la ecuación de tendencia anual de la inversión con origen el año 2006. El primer paso es pasar el origen al año 2006.
| Año | Inversión | t=Año-2000 | t'=t-6 |
|---|---|---|---|
| 2000 | 20505 | 0 | -6 |
| 2001 | 22871 | 1 | -5 |
| 2002 | 22769 | 2 | -4 |
| 2003 | 22040 | 3 | -3 |
| 2004 | 25334 | 4 | -2 |
| 2005 | 24710 | 5 | -1 |
| 2006 | 27822 | 6 | 0 |
| 2007 | 28120 | 7 | 1 |
\[t'=t-6 \hspace{3mm} \to \hspace{3mm} t=t'+6\]
sustituyendo \[T_{t'} = 20639 + 1037.82 (t' + 6)\] obtenemos… \[T_{t'} = 26865.93 + 1037.82t'\]
* Ecuación de la tendencia anual de la inversión en activos materiales.
* Origen: part central de 2006 (\(t'= 0\))
La ecuación de tendencia anual la podemos transformar en otra de periodo inferior al año. Hablmos de la ecuación de tendencia k-esimal.
Siempre seguimos el mismo procedimientos!!!
Procedimiento para pasar de una ecuación de tendencia anual a una ecuación de tendencia k-esimal…
\[T_{t'}^{(k)} = \frac{a}{k} + \frac{b}{{{k^2}}}t' \]
donde ahora \(t'\) son k-ésimos.
Origen de la ecuación… k es par: entre los dos k-ésimos centrales del año \(t=0\)
k es impar: el k-ésimo central del año \(t=0\)
\[T_t = 26865.93 + 1037.82t\]
Vamos a obtener la ecuación de tendencia trimestrall con origen el trimestral central del 2006.
\[T_{t'}^{(4)} = \frac{26865.93}{4} + \frac{1037.82}{{{4^2}}}t' \]
\[T_{t'}^{(4)} = 6716.48 + 64.86t'\]
y ahora la tendencia cuatrimestral con origen el cuatrimestre central del 2006.
\[T_{t'}^{(3)} = \frac{26865.93}{3} + \frac{1037.82}{{{3^2}}}t' \]
\[T_{t'}^{(3)} = 8955.31 + 115.31t'\]
Una vez hemos obtenido la ecuación de tendencia k-esimal, podemos trasladar su origen.
¿Cuántos trimestres hay entre el trimestre central y el primer trimestre?
¿Cuántos trimestres hay entre el primer trimestre y el cuarto?
Hemos de ir con cuidado a la hora de contar!!!
Después ya podemos determinar la tendencia en el nuevo origen y obtener la ecuación de tendencia.
\[T_{t'}^{(3)}=8955.31+115.31t'\]
Determinar la ecuación de tendencia cuatrimestral con origen el segundo cuatrimestre del 2002.
Hemos de preguntarnos: ¿Cuántos cuatrimestres hay entre el cuatrimestre central del 2006 y el segundo del 2002?
A continuación podemos sustituir en la ecuación de tendencia cuatrimestral para calcular la tendencia en el nuevo origen y así obtener la ecuación de tendencia.
Entre el cuatrimestre central de 2006 y el segundo de 2002 hay… \[t'= -12 \hspace{2mm}cuatrimestres\]
El valor de la tendencia en el nuevo origen (segundo cuatrimestre de 2002, \(t'=0\)) es:
\[T_{-12}=8955.31+115.31(-12)=7571.55\]
Por tanto, la ecuación de tendencia cuatrimestral es:
\[T_t=7571.55+115.31t'\]
Ahora, a partir de la ecuación de tendencia trimestral de la inversión en activos materiales con origen el trimestre cental de 2006 (\(t'=0\))
\[T_{t'}^{(4)} = 6716.48 + 64.86t'\]
determinar la ecuación de tendencia trimestral con origen el tercer trimestre del 2008.
Paso 1: ¿Cuántos trimestres hay entre el trimestre central de 2006 y el tercer trimestre de 2008?
\[t'=8.5\hspace{3mm}trimestres\]
Paso 2. Valor de la tendencia en 8.5 trimestres
\[T_{8.5}^{(4)} = 6716.48 + 64.86 \cdot 8.5\]
\[T_{8.5}^{(4)} = 7267.82\] Paso 3. Ecuación de la tendencia trimestral \[T_{t'}^{(4)} = 7267.82 + 64.86 t'\]
Componente estacional: hace referencia a las oscilaciones periódicas que se producen en periodos inferiores al año, simplemente por estar en cada uno de ellos.
¿Hasta que punto los valores que se observan de una determinada variables responden a una situación normal, por estar en una determinada estación, o son debidos a una situación extraordinaria?
En un modelo multiplicativo
\(Y_t=(T_t\cdot C_t) \cdot E_t \cdot I_t \to\) índice de variación estacional (IVE)
Procedimiento de cálculo de los IVE: pàg. 216-217 del libro.
Desestacionalización: cuando queremos tener una serie en que no esté presente el componente debido a la variación estacional.
Serie desestacionalizada \(\to \frac{Y_t}{IVE}\)
Objetivo: entender el comportamiento de la variable en el c/p. Observamos la serie sin los ajustes distorsionantes de las variaciones estacionales.
Aplicación de las series temporales: generar pronósticos.
Esquema multiplicativo: \[Y_t=(T_t \cdot C_t)\cdot E_t \cdot I_t \to Y_t=T_t \cdot E_t\]
Predicción/pronóstico para un año:
\[\hat Y_t=T_t\]
Predicción/pronóstico para un k-ésimo:
\[\hat Y_{t'}=T_{t'} \cdot IVE\]
Supongamos… \[T_t=917447+60758t\]
Dar un pronóstico para el PIB del año 2009
\[\hat Y_{2009}=T_4\]
Valor de la tendencia del PIB en 2009 (t=4)
\[T_4=917441+60758 \cdot 4=1160473\]
Por tanto: \[\hat Y_{2009}=1,160,473 \hspace{2mm}(millones\hspace{2mm} €)\]
Ahora, supongamos la siguiente ecuación de tendencia:
\[T_{t'}^{(4)} = 223664.2 + 3797.38 t'\]
Realizar un pronóstico corregido por estacionalidad del PIB para el segundo trimestre del año 2009 (IVE=1.03)