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title: "Modelos para la media"
author: "Guillermo Ayala Gallego"  
date:  "`r Sys.Date()`"  
address: "Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Valencia"  
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# Datos y problema

## ¿Qué información tenemos?

-  Tenemos información (numérica, categórica) sobre una serie
de muestras u observaciones.
- Para la $i$-ésima observación tenemos $p$ variables que recogemos en el vector
$\mathbf x_i \in \mathbb R^p$ donde
$$
\mathbf x_i =  
\begin{bmatrix}
x_{i1}\\
\vdots\\
x_{ip}
\end{bmatrix}.
$$
-  $\mathbf x_i^T = (x_{i1},\ldots,x_{ip})$.
-  Estas variables pueden ser númericas o categóricas.
-  Pueden valores fijados por nosotros (dosis de medicación por ejemplo)
o bien observados y por lo tanto realizaciones de variables aleatorias.

## Variable respuesta  

- En lo que sigue   consideramos que hay una variable **importante**.     
- La variable importante (para el experimentador) se le llama **variable respuesta**.
- En denominaciones más clásicas, **variable dependiente**.  
- El resto de variables del estudio (las que recogemos en $\mathbf x_i$) son las
variables predictoras o independientes.  
- Nuestra información está formada por $(\mathbf x_i, y_i)$ con $i=1,\ldots,n$.  

## ¿Qué problema queremos resolver?
	
- Una respuesta fácil es decir que queremos conocer el valor de
  la variable respuesta utilizando las variables predictoras.
  - La respuesta anterior es **falsamente** simple.
  - ¿Solamente queremos conocer el valor de la respuesta?
  - Quizás estamos pensando en un futuro en donde conozcamos las variables
  predictoras  y nos interese saber cuál será la respuesta correspondiente.
  - ¿El valor exacto de la respuesta?
  - ¿La media de la respuesta?
  - ¿Un valor numérico que aproxime cada una de estas cantidades o bien un
	intervalo que las contenga?

## Media condicionada
	
- Los valores observados $y_i$ consideraremos que son realizaciones
  de una variable aleatoria $Y$.
  - Realmente en lo que sigue modelizaremos el comportamiento aleatorio
  de la variable $Y_i$ condicionada a los valores observados $\mathbf x_i$.
  - Es decir, nuestro interés estará en **la distribución   condicionada**.
  -  Los valores $Y_i$ serán independientes entre sí.
  - El interés se centrará (fundamentalmente) en la dependencia de la
  media de $Y_i$ respecto de las covariables.
  - Nuestro interés
  fundamental (pero no único) estará en conocer las  medias condicionadas 
	  $\mu_i = E[Y_i|\mathbf x_i]$. 

## Datos de Galton
	
- Históricamente podemos considerar el origen de este tipo de modelos.
- El problema que se plantea Galton es estudiar la posible relación que 
  puede tener la estatura de un hijo o hija en edad adulta con las estaturas
  de sus padres.

## Datos de Galton$\ldots$  

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![](../figures/GaltonFamiliesScatterplot.png)  

![](../figures/Galton_notebook_page_1.jpg)  

:::

## Modelos sobre la media

-  Nos planteamos conocer la media de la respuesta aleatoria.
- Pretendemos conocer la media de la respuesta aleatoria
**condicionada**  a los valores de las variables predictoras.
- Denotamos
$$
\mu_i = E[Y_i | \mathbf x_i].
$$

# Dependencia lineal  

## ¿Qué tipos de dependencia vamos a considerar?  

-  En la mayor parte de los casos dependencias de tipo lineal.
- Suponemos dos predictores $\mathbf x = (x_1,x_2)^T$ tales que $x_1$ es 
numérico y el segundo es una variable categórica binaria codificada
con 1 y 0.
- ¿Cómo modelizamos la dependencia de la media condicionada respecto de
$x_1$?
- Una dependencia lineal vendría dada como
$$
  \mu_i = \beta_0 + \beta_1 x_{i1}. 
$$

## $\ldots$   

![](../figures/fig311218a.png)


## ¿Y la dependencia de las $\mu_i$ respecto de la variable binaria?

- Obviamente simplemente tenemos dos valores.
- Un modo simple es 
$$
\mu_i = \beta_0 + \beta_2 x_{i2}. 
$$
- Cuando $x_{i2}=0$ 
  $$\mu_i =\beta_0.$$
- Cuando $x_{i2}=1$ 
  $$\mu_i =\beta_0 + \beta_2.$$



## ¿Y las dos variables predictoras conjuntamente consideradas?  

- El modelo más sencillo sería:
$$
\mu_i = \beta_0 + \beta_1 x_{i1} +   \beta_2 x_{i2}.
$$
-  Cuando $x_{i2} = 0$ entonces
$$\mu_i =\beta_0  + \beta_1 x_{i1}. $$
-  Cuando $x_{i2} = 1$ entonces
$$\mu_i =\beta_0 + \beta_2  + \beta_1 x_{i1}.$$

##  
![](../figures/fig311218b.png)


## ¿Como podemos expresar la dependencia de ambas covariables? 

- Otra vez recurrimos a la opción de expresarlo de un modo lineal.
$$
\mu_i = \beta_0 + \beta_1 x_{i1} +   \beta_2 x_{i2} + \beta_3 x_{i1}x_{i2}
$$
- Cuando $x_{i2} = 0$ tenemos 
$$
\mu_i = \beta_0 + \beta_1 x_{i1}. 
$$
Cuando $x_{i2} = 1$ tenemos 
$$
\mu_i = (\beta_0 + \beta_2) + (\beta_1 + \beta_3) x_{i1}. 
$$

##   

![](../figures/fig311218f.png)


## Predictor categórico y variables dummy

- Cuando consideramos una variable predictora categórica con más de dos 
categorías entonces es habitual codificarla utilizando variables
tontas.
- Si la variable predictora categórica tiene $I$ categorías entonces 
se elige una categoría de referencia (por ejemplo, la primera).
-  Las variables binarias asociadas a la variable original $x$
serían: $v_1 =1$ si $x=2$ y cero en otro caso; $v_2 =1$ si $x=3$ y cero
en otro caso; $\ldots$; $v_{I-1} =1$ si $x=I$ y cero en otro caso.
- Obviamente cuando todas las variables
$v$ son nulas estamos en la primera categoría.

##  $\ldots$

- Si solamente tenemos la 
variable categórica como predictora entonces la media sería función lineal
de $x$ del siguiente modo:
$$
\mu_i = \beta_0 + \beta_1 v_1 + \ldots + \beta_{I-1} v_{I-1}.
$$

##  $\ldots$
   
- Por ejemplo, supongamos una numérica $x$ y una categórica $v$ con
$I$ categorías. Construimos las variables tontas siendo $I$ la de referencia.
Podemos considerar modelos como
$$
\mu_i = \beta_0 + \beta_1 x_{i},
$$
que lo expresamos como
$$
y \sim x
$$
- Un modelo que contiene solamente a $v$ sería el dado previamente
$$
\mu_i = \beta_0 + \beta_1 v_{i1} + \ldots + \beta_{I-1} v_{i,I-1}.
$$
y lo expresamos como
$$
y \sim v
$$

##  $\ldots$  

   
- Un modelo que contempla ambas variables puede ser 
$$
  \mu_i = \beta_0 + \beta_1 x_{i} +
   \beta_2 v_{i1} + \ldots + \beta_{I} v_{i,I-1}
$$
Este modelo lo podemos abreviar como
$$
y \sim x + v
$$
- Un modelo más completo que contempla la posible interacción sería
\begin{multline*}
  \mu_i =  \beta_0 + \beta_1 x_{i} + 
  \beta_2 v_{i1} + \ldots + \beta_{I} v_{i,I-1} + \\
  \beta_{I+1}  x_{i}v_{i1} + \ldots + \beta_{2I-1}  x_{i}v_{i,(I-1)} 
\end{multline*}
Esto lo indicaremos como
$$
y \sim x * v
$$
$$
y \sim x + v + x:v
$$


# Matriz modelo y espacio modelo  

## Matriz modelo  
	
   -  Tenemos el vector de medias 
   $$
   \mathbf \mu = 
   \begin{bmatrix}
\mu_1 \\
\vdots \\
\mu_n
   \end{bmatrix}
   $$
   - 
	 $$
 \mathbf X = 
 \begin{bmatrix}
x_{11} & \ldots & x_{1p} \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
		x_{n1} & \ldots & x_{np} 
		\end{bmatrix}
   $$
		- $\mathbf X$ es la **matriz modelo**.


## Matriz modelo$\ldots$
	
  - Asumimos
		$$
  \mu_i = \sum_{j=1}^p \beta_j x_{ij},
$$
		- En modo matricial, 
			$$
			\mathbf \mu = \mathbf X \mathbf \beta,
			$$
			siendo el vector de coeficientes
			$$
			\mathbf \beta = 
			\begin{bmatrix}
  \beta_1 \\
  \vdots \\
  \beta_p
  \end{bmatrix}.
  $$
