Energía cinética de rotación

Para estudiar el movimiento de un cuerpo, hemos de fijar un sistema de referencia. Puesto que un cuerpo sólido, a diferencia de una partícula, tiene dimensiones, vamos a estudiar el movimiento con la ayuda de dos sistemas de referencia. Un primer sistema de referencia (inercial), en el que representemos el movimiento del centro de masas (CM) del sólido, y un segundo sistema de referencia, cuyo origen sea el centro de masas del cuerpo, que nos va a informar del movimiento de rotación del sólido. Lo que estamos haciendo al describir el movimiento con estos dos sistemas es separar el número de grados de libertad en 3+3 y darnos cuenta de que hay 3 grados de libertad de traslación y tres grados de libertad de rotación. Estos tres últimos grados de libertad no están presentes, evidentemente, en una partícula puntual. Llamemos $\vec{r}_I$ al radiovector de un cierto punto del sólido, visto desde el sistema inercial, $\vec{r}_{CM}$ a la posición del CM del sólido y $\vec{r}$ al mismo punto visto desde el sistema de referencia situado en el CM:

$$\vec{r}_I=\vec{r}_{CM}+\vec{r}\quad.$$ (7.2)

Derivando respecto al tiempo,

$$\vec{v}_I=\vec{v}_{CM}+\vec{v}\quad .$$ (7.3)

Si el sólido tiene un movimiento exclusivamente de traslación (los ángulos entre los ejes de ambos sistemas no cambian), entonces

$$\vec v=0\quad.$$ (7.4)

Si el sólido gira, $\vec v\ne 0$, pero ya que se trata de un movimiento de rotación, es más conveniente escribir $\vec v=\vec\omega\times \vec r$, donde $\vec\omega$ es un vector cuya magnitud indica la velocidad de giro y cuya dirección es la del eje respecto al cual se produce el giro. La energía cinética del sólido será

$$T=\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^N m_\alpha v_{I\alpha}^2\quad ,$$ (7.5)

donde N es el número de partículas que lo componen. Pero es más conveniente tratar el sólido como un medio continuo. En lugar de sumar sobre las partículas, hemos de integrar sobre elementos de masa $dm=\rho\ d^3r$, siendo $\rho$ la densidad del medio. Así,

$$T=\frac{1}{2}\int\!\int\!\int \rho v_{I}^2d^3r\quad ,$$ (7.6)

donde $\vec v_I$ es la velocidad que tiene, en un instante dado, el elemento de volumen d³r con masa $\rho\ d^3r$. Escribiendo $\vec v_I$ en términos de $\vec v_{CM}$ y $\vec v$,

$$\begin{array}{lll} T&=&\displaystyle\frac{1}{2}\int\!\int\!\... ... r\ ) +(\vec\omega\times\vec r\ )^2]d^3r\quad . \end{array}$$ (7.7)

Calculemos cada una de las contribuciones por separado. La primera,

$$T_1=\frac{1}{2}\int\!\int\!\int \rho\ v_{I}^2 d^3r\quad.$$ (7.8)

Pero $\vec v_{CM}$ no depende de $\vec{r}$, y la integral

$$\int\!\int\!\int \rho(\vec r\ )d^3r=M\quad ,$$ (7.9)

la masa del sólido, luego

$$T_1=\frac{1}{2}Mv_{CM}^2\quad,$$ (7.10)

es la energía cinética correspondiente al CM del sólido, la única contribución si se tratara de una partícula libre. El segundo término,

$$T_2=\frac{1}{2}\int\!\int\!\int \rho(\vec r\ ) 2\vec{v}_{CM}\cdot(\vec\omega\times\vec r\ )d^3r\quad .$$ (7.11)

Intercambiando el producto mixto,

$$T_2=\vec{v}_{CM}\times\vec\omega \int\!\int\!\int \rho(\vec r\ )\vec r d^3r\quad .$$ (7.12)

Para ver mejor su valor, escribamos la integral en forma de suma:

$$\sum_\alpha m_\alpha\vec r_\alpha\equiv M\vec R_{CM}\quad,$$ (7.13)

siendo $\vec R_{CM}$ la coordenada del centro de masas. Pero esta integral la estamos haciendo justamente en el sistema de referencia del centro de masas, es decir, $\vec R_{CM}=0$, luego

$$T_2=0\quad.$$ (7.14)

Desarrollando el producto vectorial, podemos reescribir el último término como:

$$\begin{array}{lll} (\vec\omega\times\vec r\ )^2&=&\omega^2r^... ...\omega_i\omega_j[\delta_{ij}r^2-x_ix_j] \quad , \end{array}$$ (7.15)

donde x_i son las componentes cartesianas de $\vec{r}$. Por tanto,

$$T_3=\frac{1}{2}\sum_{i,j}\omega_i\omega_j \int\!\int\!\int\rho(\vec r\ ) [\delta_{ij}r^2-x_ix_j]d^3r$$ (7.16)

Es conveniente introducir la delta de Kronecker para extraer de forma unívoca $\omega_i\omega_j$. Introduciendo la cantidad I_ij denominada tensor de inercia,

$$I_{ij}=\int\!\int\!\int\rho(\vec r\ ) [\delta_{ij}r^2-x_ix_j]d^3r\quad ,$$ (7.17)

la expresión de T₃ adquiere la forma sencilla

$$T_3=\frac{1}{2}\sum_{i,j}I_{ij}\omega_i\omega_j$$ (7.18)

La energía cinética finalmente es:

$$T= \frac{1}{2}Mv_{CM}^2+\frac{1}{2}\sum_{i,j}I_{ij}\omega_i\omega_j \quad.$$ (7.19)

El primer término recibe el nombre de energía cinética de traslación y el segundo energía cinética de rotación. El tensor de inercia puede escribirse en forma matricial:

$${\cal I}=\int\!\int\!\int\rho(\vec r\ )\left( \begin{array}{... ...& -yz \cr -zx & -zy & y^2+x^2 \end{array}\right)d^3r\quad .$$ (7.20)

${\cal I}$ es un tensor simétrico por definición, es decir, tiene como máximo 6 componentes distintas. Antes de estudiar con detalle el tensor de inercia y entender un poco más su significado, vamos a hallar el momento angular, cantidad con la que ${\cal I}$ está íntimamente relacionado. Nuevamente nos referimos a los dos sistemas de referencia anteriores. Tendremos por tanto:

$$\vec L=\int\!\int\!\int \vec r_I\times d\vec p_I =\int\!\int\!\int\rho(\vec r\ )\vec r_I\times\vec v_I d^3r\quad .$$ (7.21)

Pero $\vec r_I=\vec r_{CM}+\vec r$ y $\vec v_I=\vec v_{CM}+\vec v$. Sustituyendo en la ecuación anterior, salen ahora cuatro términos del producto vectorial:

$$\begin{array}{lll} \vec L&=& \displaystyle\int\!\int\!\int\... ...es\vec r+\vec r\times(\omega\times\vec r\ )]d^3r \end{array}$$ (7.22)

Los dos términos intermedios se anulan porque contienen $\vec{r}$ solamente si el segundo sistema toma como origen el centro de masas del cuerpo. El primer término da lugar al momento angular del centro de masas,

$$\vec L_1=\vec r_{CM}\times\vec p_{CM}$$ (7.23)

y el cuarto término tiene que dar lugar a la contribución de la rotación del sólido al momento angular total, lo que llamaremos momento angular interno. Veamos cómo.

$$\vec r\times(\vec\omega\times\vec r)=r^2\vec\omega- (\vec\omega\cdot\vec r\ )\vec r\quad .$$ (7.24)

La componente i valdrá

$$[\vec r\times(\vec\omega\times\vec r\ )]_i= r^2\omega_i-\sum_j\omega_j x_jx_i\quad .$$ (7.25)

Si multiplicamos el primer término por $\delta_{ij}$, podemos sumar en i y en j, con lo que la ecuación anterior adquiere la forma

$$\sum_{i,j}\omega_j[r^2\delta_{ij}-x_ix_j]\quad ,$$

de donde se obtiene

$$L_i=\sum_j\omega_j\int\!\int\!\int\rho(\vec r\ )[r^2\delta_{ij}-x_ix_j] d^3r=\sum_jI_{ij}\omega_j\quad .$$ (7.26)

En forma matricial,

$$\left( \begin{array}{l} L_1\cr L_2\cr L_3 \end{array}\righ... ...ray}{l} \omega_1\cr \omega_2\cr \omega_3 \end{array}\right)$$ (7.27)

o, en forma abreviada,

$$\vec L={\cal I}\vec\omega$$ (7.28)

donde ${\cal I}$ es un tensor de rango dos. $\vec L$ y $\vec\omega$ no están unidos por una relación escalar, lo que significa que $\vec L$ no va a ser paralelo a $\vec\omega$ en general. Si, por ejemplo,

$$\vec\omega=\left(\begin{array}{l} 0\cr 0\cr \omega\end{array}\right)\quad ,$$

tendremos que

$$\vec L=\left(\begin{array}{l} I_{13}\omega\cr I_{23}\omega\cr I_{33}\omega \end{array}\right)\quad .$$

Como consecuencia de esto, si $\vec L$ se conserva en un sistema aislado, y nos imaginamos que un sólido está describiendo un movimiento de rotación, el eje de giro no tiene porqué permanecer constante, ya que no coincide con el eje de $\vec L$. Para finalizar, el momento angular total del sólido será

$$\vec L_I=\vec L_{CM}+\vec L\quad ,$$ (7.29)

el momento angular del centro de masas más el momento angular interno.