Código: 6193
Titulación: 1º
de Ciencias y Técnicas Estadísticas (troncal)
5º
de Matemáticas (optativa)
Créditos: 4.5 teóricos + 1.5 prácticos
Curso: 2002-2003, semestre de primavera
Profesor: Juan Ferrándiz
Tema 1.- Espacios de probabilidad:
Sigma-álgebras de sucesos. Medidas de probabilidad. Interpretaciones de la
probabilidad. Axiomática de Kolmogorov. Probabilidad condicionada y
aprendizaje. Teoremas de la probabilidad total y de Bayes. Independencia de
sucesos.
Tema 2.- Probabilidad y esperanza
condicionadas: Variables y vectores aleatorios. Sigma-álgebra de Borel en
el espacio euclídeo n-dimensional. Distribución conjunta y distribuciones
marginales. Distribuciones
condicionales. Relaciones mutuas y su expresión en términos de funciones de
distribución y densidades. Cálculo de probabilidades por condicionamiento.
Esperanza condicionada. Cálculo de esperanzas
por condicionamiento.
Tema 3.- Introducción a los procesos
estocásticos: Sucesiones
de variables aleatorias. Sigma-álgebra de Borel en el espacio de las sucesiones
reales. Distribuciones finito-dimensionales y teorema de Daniell-Kolomogorov.
Convergencias en distribución, en probabilidad, casi segura y en media cuadrática. Caminatas aleatorias.
Leyes de los grandes números.
Tema 5.- Comportamiento a largo plazo: Tiempos de retorno. Recurrencia
y transitoriedad en términos de los tiempos de retorno. Tiempos de ocupación.
Recurrencia y transitoriedad en términos de los tiempos de ocupación.
Distribución límite en el futuro remoto. Distribución estacionaria.
Distribución de los tiempos de ocupación. Condiciones de existencia y unicidad.
Cadenas reducibles. Tiempos de acceso.
Tema 6.- Proceso de Poisson: Tiempos entre transiciones del
sistema. Procesos de conteo. La distribución exponencial como modelo de tiempo
de espera. Propiedades de falta de memoria. Función de riesgo. Mínimo, máximo y
suma de variables aleatorias exponenciales independientes. Proceso de Poisson
como proceso de conteo. Proceso de Poisson como proceso de incrementos
estacionarios independientes. Distribución condicionada al número de eventos.
Procesos de Poisson compuestos.
Tema 7.-
Cadenas de Markov en tiempo continuo: Tiempos entre transiciones y
probabilidades de salto. Matriz de probabilidades de transición en función del
tiempo. Distribuciones en periodo transitorio. Cadena de Markov en tiempo
discreto auxiliar. Tiempos de ocupación. Distribución en el futuro remoto.
Irreducibilidad. Distribución estacionaria. Distribución de tiempos de
ocupación. Condiciones de existencia y unicidad.
Tema 8.- Procesos de Markov
Generalizados: Motivación. Procesos de renovación. Procesos
acumulativos. Procesos semi-Markovianos. Análisis a largo plazo. Tiempos de
retorno. Distribución de los tiempos de ocupación.
Práctica 1.- Probabilidad condicional: Problema de clasificación
estadística. Distribuciones previa y posterior a la observación de un indicador
específico. Resolución secuencial de un
árbol de decisión. Juego del siete y medio simplificado.
Práctica 2.- Simulación de procesos: Simulación de variables
aleatorias. Generación de trayectorias del proceso condicionando al pasado.
Estimación de las características del proceso. Medidas de la calidad de la
estimación.
Práctica 3.- Probabilidades de transición a n
pasos: Cálculo
de las probabilidades de transición. Representación espectral de las matrices
correspondientes. Interpretación del comportamiento transitorio y asintótico
basada en dicha representación.
Práctica 4.- Análisis de un supuesto
práctico: Interpretación del contexto. Elaboración de
un modelo de cadena de Markov adecuado.
Compromiso entre sencillez y realismo. Análisis del comportamiento transitorio
y asintótico del modelo. Crítica de su adecuación al contexto real.
Práctica
5.- Proceso de Poisson: Simulación de procesos de Poisson inspirados
en situaciones reales. Estimación de la intensidad del proceso. Verificación de
las características asociadas a la falta de memoria de la distribución
exponencial. Comparación con simulaciones de procesos de conteo con distinta
distribución del tiempo entre acontecimientos.
Hoel, P. G., Port, S. C. and Stone, C. J. (1972) Introduction to Stochastic Processes. Boston: Houghton Mifflin Co.
Karlin, S. and Taylor, H. M. (1975) A
first course in Stochastic Processes. New York: Academic Press.
Kulkarni, V. G. (1995) Modeling
and analysis of stochastic systems. London: Chapman and Hall.
Kulkarni, V. G. (1999) Modeling,
analysis, design and control of stochastic systems. New York:
Springer-Berlag.
Resnick, S. I. (1992) Adventures
in Stochastic Processes. Boston:
Birkhäuser.
Stirzaker, D.(1994) Elementary probability. Cambridge: Cambridge
University Press.
Se persigue dotar al estudiante
con la herramienta probabilística básica para modelar sistemas cuya evolución
temporal depende del azar. Desde el principio se enmarca la discusión en
problemas reales desde los que se justifica continuamente la introducción de
los conceptos necesarios. Con una herramienta matemática sencilla se
desarrollan los conceptos fundamentales. Se pretende que el alumno adquiera un
sólido conocimiento básico de la estructura de los procesos de forma que pueda
analizar casos reales simples y quede, a la vez, preparado para estudiar, en un
futuro deseable, procesos estocásticos de mayor alcance, sin quedar
desorientado por la sofisticación matemática.
Mediante las sesiones de
prácticas, a realizar con el auxilio de aplicaciones informáticas apropiadas,
el estudiante podrá aproximarse empíricamente al comportamiento aleatorio de
los modelos estudiados en las sesiones de teoría. De este modo podrá
desarrollar la intuición necesaria para entender en la práctica, a la hora de
modelar problemas reales, el comportamiento “sorprendente” de los mecanismos
aleatorios.
Examen final que consta de una parte teórica (desarrollo de un tema
corto) y una parte práctica (problemas). La entrega de la memoria elaborada a
partir de las clases de prácticas será requisito imprescindible para la
superación de la asignatura.