Probabilidad y Procesos Estocásticos

Código: 6193

Titulación:    1º de Ciencias y Técnicas Estadísticas (troncal)

                     5º de Matemáticas (optativa)

Créditos: 4.5 teóricos + 1.5 prácticos

Curso: 2002-2003, semestre de primavera

Profesor: Juan Ferrándiz

 

Programa de teoría

Tema 1.- Espacios de probabilidad: Sigma-álgebras de sucesos. Medidas de probabilidad. Interpretaciones de la probabilidad. Axiomática de Kolmogorov. Probabilidad condicionada y aprendizaje. Teoremas de la probabilidad total y de Bayes. Independencia de sucesos.

Tema 2.- Probabilidad y esperanza condicionadas: Variables y vectores aleatorios. Sigma-álgebra de Borel en el espacio euclídeo n-dimensional. Distribución conjunta y distribuciones marginales.  Distribuciones condicionales. Relaciones mutuas y su expresión en términos de funciones de distribución y densidades. Cálculo de probabilidades por condicionamiento. Esperanza condicionada. Cálculo de esperanzas  por condicionamiento.

Tema 3.- Introducción a los procesos estocásticos: Sucesiones de variables aleatorias. Sigma-álgebra de Borel en el espacio de las sucesiones reales. Distribuciones finito-dimensionales y teorema de Daniell-Kolomogorov. Convergencias en distribución, en probabilidad, casi segura y  en media cuadrática. Caminatas aleatorias. Leyes de los grandes números.

Tema 4.- Cadenas de Markov en tiempo discreto: Encuadre en el contexto de los procesos estocásticos. La propiedad Markoviana. Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov. Distribuciones finito-dimensionales. Clasificación de los estados. Grafos de transición. Periodicidad. 

Tema 5.- Comportamiento a largo plazo: Tiempos de retorno. Recurrencia y transitoriedad en términos de los tiempos de retorno. Tiempos de ocupación. Recurrencia y transitoriedad en términos de los tiempos de ocupación. Distribución límite en el futuro remoto. Distribución estacionaria. Distribución de los tiempos de ocupación. Condiciones de existencia y unicidad. Cadenas reducibles. Tiempos de acceso.

Tema 6.- Proceso de Poisson: Tiempos entre transiciones del sistema. Procesos de conteo. La distribución exponencial como modelo de tiempo de espera. Propiedades de falta de memoria. Función de riesgo. Mínimo, máximo y suma de variables aleatorias exponenciales independientes. Proceso de Poisson como proceso de conteo. Proceso de Poisson como proceso de incrementos estacionarios independientes. Distribución condicionada al número de eventos. Procesos de Poisson compuestos.

Tema  7.- Cadenas de Markov en tiempo continuo: Tiempos entre transiciones y probabilidades de salto. Matriz de probabilidades de transición en función del tiempo. Distribuciones en periodo transitorio. Cadena de Markov en tiempo discreto auxiliar. Tiempos de ocupación. Distribución en el futuro remoto. Irreducibilidad. Distribución estacionaria. Distribución de tiempos de ocupación. Condiciones de existencia y unicidad.

Tema 8.- Procesos de Markov Generalizados: Motivación.  Procesos de renovación. Procesos acumulativos. Procesos semi-Markovianos. Análisis a largo plazo. Tiempos de retorno. Distribución de los tiempos de ocupación.

Programa de prácticas

Práctica 1.- Probabilidad condicional: Problema de clasificación estadística. Distribuciones previa y posterior a la observación de un indicador específico. Resolución secuencial de un  árbol de decisión. Juego del siete y medio simplificado.

Práctica 2.- Simulación de procesos: Simulación de variables aleatorias. Generación de trayectorias del proceso condicionando al pasado. Estimación de las características del proceso. Medidas de la calidad de la estimación.

Práctica 3.- Probabilidades de transición a n pasos: Cálculo de las probabilidades de transición. Representación espectral de las matrices correspondientes. Interpretación del comportamiento transitorio y asintótico basada en dicha representación.

Práctica 4.- Análisis de un supuesto práctico:  Interpretación del contexto. Elaboración de un modelo de cadena de Markov  adecuado. Compromiso entre sencillez y realismo. Análisis del comportamiento transitorio y asintótico del modelo. Crítica de su adecuación al contexto real.

 Práctica 5.- Proceso de Poisson: Simulación de procesos de Poisson inspirados en situaciones reales. Estimación de la intensidad del proceso. Verificación de las características asociadas a la falta de memoria de la distribución exponencial. Comparación con simulaciones de procesos de conteo con distinta distribución del tiempo entre acontecimientos.

 

BIBLIOGRAFÍA

Hoel, P. G., Port, S. C. and Stone, C. J. (1972) Introduction to Stochastic Processes. Boston: Houghton Mifflin Co.

Karlin, S. and Taylor, H. M. (1975) A first course in Stochastic Processes. New York: Academic Press.

Kulkarni, V. G. (1995) Modeling and analysis of stochastic systems. London: Chapman and Hall.

Kulkarni, V. G. (1999) Modeling, analysis, design and control of stochastic systems. New York: Springer-Berlag.

Resnick, S. I. (1992) Adventures in Stochastic Processes.  Boston: Birkhäuser.

Stirzaker, D.(1994) Elementary probability. Cambridge: Cambridge University Press.

OBJETIVOS

Se persigue dotar al estudiante con la herramienta probabilística básica para modelar sistemas cuya evolución temporal depende del azar. Desde el principio se enmarca la discusión en problemas reales desde los que se justifica continuamente la introducción de los conceptos necesarios. Con una herramienta matemática sencilla se desarrollan los conceptos fundamentales. Se pretende que el alumno adquiera un sólido conocimiento básico de la estructura de los procesos de forma que pueda analizar casos reales simples y quede, a la vez, preparado para estudiar, en un futuro deseable, procesos estocásticos de mayor alcance, sin quedar desorientado por la sofisticación matemática.

Mediante las sesiones de prácticas, a realizar con el auxilio de aplicaciones informáticas apropiadas, el estudiante podrá aproximarse empíricamente al comportamiento aleatorio de los modelos estudiados en las sesiones de teoría. De este modo podrá desarrollar la intuición necesaria para entender en la práctica, a la hora de modelar problemas reales, el comportamiento “sorprendente” de los mecanismos aleatorios.

 

MÉTODO DE EVALUACIÓN

Examen final que consta de una parte teórica (desarrollo de un tema corto) y una parte práctica (problemas). La entrega de la memoria elaborada a partir de las clases de prácticas será requisito imprescindible para la superación de la asignatura.