Probabilitat i Processos Estocásticos

Codi: 6193

Titulació: 1é de Ciències i Tècniques Estadístiques (troncal)

4é de Matemàtiques (optativa)

Crèdits: 4.5 teòrics + 1.5 pràctics

Curs: 2002-2003, semestre de primavera

Professor: Juan Ferrándiz

Programa de teoria

Tema 1.- Espais de probabilitat: Sigma-àlgebres de successos. Mesures de probabilitat. Interpretacions de la probabilitat. Axiomàtica de Kolmogorov. Probabilitat condicionada i aprenentatge. Teoremes de la probabilitat total i de Bayes. Independència de successos.

Tema 2.- Probabilitat i esperança condicionades: Variables i vectors aleatoris. Sigma-àlgebra de Borel en l'espai euclidià n-dimensional. Distribució conjunta i distribucions marginals. Distribucions condicionals. Relacions mútues i la seua expressió en termes de funcions de distribució i densitats. Càlcul de probabilitats per condicionament. Esperança condicionada. Càlcul d'esperances per condicionament.

Tema 3.- Introducció als processos estocàstics: Successions de variables aleatòries. Sigma-àlgebra de Borel en l'espai de les successions reals. Distribucions finit-dimensionals i teorema de Daniell-Kolomogorov. Convergències en distribució, en probabilitat, quasi segura i en mitjana quadràtica. Caminades aleatòries. Lleis dels grans nombres.

Tema 4.- Cadenes de Markov en temps discret: Enquadrament en el context dels processos estocàstics. La propietat Markoviana. Equacions de Chapman-Kolmogorov. Distribucions finit-dimensionals. Classificació dels estats. Grafs de transició. Periodicitat.

Tema 5.- Comportament a llarg termini: Temps de retorn. Recurrència i transitorietat en termes dels temps de retorn. Temps d'ocupació. Recurrència i transitorietat en termes dels temps d'ocupació. Distribució límit en el futur remot. Distribució estacionària. Distribució dels temps d'ocupació. Condicions d'existència i unicitat. Cadenes reductibles. Temps d'accés.

Tema 6.- Procés de Poisson: Temps entre transicions del sistema. Processos de compte. La distribució exponencial com a model de temps d'espera. Propietats de falta de memòria. Funció de risc. Mínim, màxim i suma de variables aleatòries exponencials independents. Procés de Poisson com a procés de compte. Procés de Poisson com a procés d'increments estacionaris independents. Distribució condicionada al nombre d'esdeveniments. Processos de Poisson compostos.

Tema 7.- Cadenes de Markov en temps continu: Temps entre transicions i probabilitats de bot. Matriu de probabilitats de transició en funció del temps. Distribucions en període transitori. Cadena de Markov en temps discret auxiliar. Temps d'ocupació. Distribució en el futur remot. Irreductibilitat. Distribució estacionària. Distribució de temps d'ocupació. Condicions d'existència i unicitat.

Tema 8.- Processos de Markov Generalitzats: Motivació. Processos de renovació. Processos acumulatius. Processos semi-Markovians. Anàlisi a llarg termini. Temps de retorn. Distribució dels temps d'ocupació.

Programa de pràctiques

Pràctica 1.- Probabilitat condicional: Problema de classificació estadística. Distribucions prèvia i posterior a l'observació d'un indicador específic. Resolució seqüencial d'un arbre de decisió. Joc del set i mig simplificat.

Pràctica 2.- Simulació de processos: Simulació de variables aleatòries. Generació de trajectòries del procés condicionant al passat. Estimació de les característiques del procés. Mesures de la qualitat de l'estimació.

Pràctica 3.- Probabilitats de transició a n passos: Càlcul de les probabilitats de transició. Representació espectral de les matrius corresponents. Interpretació del comportament transitori i asimptòtic basada en la dita representació.

Pràctica 4.- Anàlisi d'un supòsit pràctic: Interpretació del context. Elaboració d'un model de cadena de Markov adequat. Compromís entre senzillesa i realisme. Anàlisi del comportament transitori i asimptòtic del model. Crítica de la seua adequació al context real.

Pràctica 5.- Procés de Poisson: Simulació de processos de Poisson inspirats en situacions reals. Estimació de la intensitat del procés. Verificació de les característiques associades a la falta de memòria de la distribució exponencial. Comparació amb simulacions de processos de compte amb distinta distribució del temps entre esdeveniments.

BIBLIOGRAFIA

Hoel, P G., Port, S C. and Stone, C J. (1972) Introduction to Stochastic Processes. Boston: Houghton Mifflin Co.

Karlin, S. and Taylor, H M. (1975) A first course ‘in’ Stochastic Processes. ‘New’ York: Academic Press.

Kulkarni, V G. (1995) Modeling and analysis of stochastic systems. London: Chapman and Hall.

Kulkarni, V G. (1999) Modeling, analysis, design and control of stochastic systems. ‘New’ York: Springer-Berlag.

Resnick, S I. (1992) Adventures ‘in’ Stochastic Processes. Boston: Birkhäuser.

Stirzaker, D.(1994) Elementary probability. Cambridge: Cambridge University Press.

OBJECTIUS

Es perseguix dotar l'estudiant amb la ferramenta probabilística bàsica per a modelar sistemes l'evolució temporal dels quals depén de l'atzar. Des del principi s'emmarca la discussió en problemes reales des dels que es justifica contínuament la introducció dels conceptes necessaris. Amb una ferramenta matemàtica senzilla es desenrotllen els conceptes fonamentals. Es pretén que l'alumne adquirisca un sòlid coneixement bàsic de l'estructura dels processos de forma que puga analitzar casos reals simples i quede, al mateix temps, preparat per a estudiar, en un futur desitjable, processos estocàstics de major abast, sense quedar desorientat per la sofisticació matemàtica.

Per mitjà de les sessions de pràctiques, a realitzar amb l'auxili d'aplicacions informàtiques apropiades, l'estudiant podrà aproximar-se empíricament al comportament aleatori dels models estudiats en les sessions de teoria. D'esta manera podrà desenrotllar la intuïció necessària per a entendre en la pràctica, a l'hora de modelar problemes reals, el comportament “sorprenent” dels mecanismes aleatoris.

MÈTODE D'AVALUACIÓ

Examen final que consta d'una part teòrica (desenrotllament d'un tema curt) i una part pràctica (problemes). L'entrega de la memòria elaborada a partir de les classes de pràctiques serà requisit imprescindible per a la superació de l'assignatura.