Consideremos
en primer lugar la
ecuación
3
n = 2
m + 1 y veamos que la única
solución
con n impar es la dada por n =1 y m = 1. En efecto, tomando clases
módulo
4 tenemos que [3] = [-1], y si n es impar queda que [-1] = [2]
m+[1],
pero esto equivale a que 4 | 2
m+2, lo que sólo es
posible
si m = 1.
Supongamos ahora que n = 2k. Entonces
2m = 32k-1
= (3k-1)(3k+1),
luego también 3
k-1 es potencia de
2. En
general, si n = 2
ik, con k impar, aplicando i veces el
razonamiento
anterior concluimos que 3
k-1 ha de ser potencia de 2, luego
ha de ser k = 1.
Concluimos que todas las soluciones (n,m) de la
ecuación
han de cumplir que n = 2
i. Más aún, hemos
visto
que si n = 2
i es solución de la ecuación (con
cierto m), también son solución las potencias n = 2
j
para todo j < i. Ahora basta observar que
31-1 =
2,
32-1 = 23,
pero
33-1 = 26 no es potencia de 2.
Por lo tanto, éstas son las únicas
soluciones
posibles, que se corresponden con las potencias consecutivas 2, 3 y 8,
9.
Con la ecuación 2
n = 3
m+1
se razona exactamente igual, salvo que para tratar el caso en que n es
impar tomamos clases módulo 3 (de modo que se cumple igualmente
[2] = [-1]) y vemos que la única posibilidad es n = 1, m = 0.
Como
21-1 =
1, 22-1
= 3, 23-1 = 7,
ahora concluimos que las únicas soluciones
posibles
son las potencias consecutivas 3, 4.
En total hemos obtenido las potencias
consecutivas 2,
3, 4 y 8, 9.