Consideremos en primer lugar la ecuación 3n = 2m + 1 y veamos que la única solución con n impar es la dada por n =1 y m = 1. En efecto, tomando clases módulo 4 tenemos que [3] = [-1], y si n es impar queda que [-1] = [2]m+[1], pero esto equivale a que 4 | 2m+2, lo que sólo es posible si m = 1.

Supongamos ahora que n = 2k. Entonces
2m = 32k-1 = (3k-1)(3k+1),

luego también 3k-1 es potencia de 2. En general, si n = 2ik, con k impar, aplicando i veces el razonamiento anterior concluimos que 3k-1 ha de ser potencia de 2, luego ha de ser k = 1.

Concluimos que todas las soluciones (n,m) de la ecuación han de cumplir que n = 2i. Más aún, hemos visto que si n = 2i es solución de la ecuación (con cierto m), también son solución las potencias n = 2j para todo j < i. Ahora basta observar que

31-1 = 2,       32-1 = 23,       pero       33-1 = 26     no es potencia de 2.

Por lo tanto, éstas son las únicas soluciones posibles, que se corresponden con las potencias consecutivas 2, 3 y 8, 9.

Con la ecuación 2n = 3m+1 se razona exactamente igual, salvo que para tratar el caso en que n es impar tomamos clases módulo 3 (de modo que se cumple igualmente [2] = [-1]) y vemos que la única posibilidad es n = 1, m = 0. Como

21-1 = 1,    22-1 = 3,    23-1 = 7,

ahora concluimos que las únicas soluciones posibles son las potencias consecutivas 3, 4.

En total hemos obtenido las potencias consecutivas 2, 3, 4 y 8, 9.