Cómo probar que 641 divide a 2³²+1

Buscamos un primo p que divida a 2³²+1. Consideramos el cuerpo Z/pZ, es decir, el anillo cociente que se obtiene del anillo Z de los números enteros mediante la relación de equivalencia dada por mRn si y sólo si p  |  m-n (usamos | para indicar "divide a"). Es conocido que tiene p elementos y que se convierte en un cuerpo con las operaciones definidas de forma natural: [m]+[n] = [m+n] y [m][n] = [mn].  Tenemos que [2³²+1] = [0], o lo que es lo mismo, [2]³² = [-1]. Elevando al cuadrado [2]⁶⁴ = [1].

Cuando a un cuerpo le quitamos el 0 obtenemos un grupo (con el producto). En nuestro caso obtenemos un grupo finito de p-1 elementos. Sea d el orden de [2] en este grupo multiplicativo, es decir, el menor natural no nulo que hace [2]^d = [1]. Dividimos 64 = dc+r, con r< d, y vemos que [1] = [2]⁶⁴ = [2]^dc[2]^r = [2]^r pero, por la minimalidad de d, ha de ser r = 0, o sea, d | 64 (esto es un hecho elemental de la teoría de grupos). Ahora bien, puesto que [2]³² = [-1] (distinto de [1]) no puede ser que d | 32 (si fuera 32 = dc, entonces [2]³² = [1]^c = [1]). Concluimos, pues, que d = 64.

Por otro lado, también es conocido que el orden de un elemento en un grupo finito divide al orden (el número de elementos) del grupo. En este caso 64 | p-1. En otras palabras, el primo buscado ha de ser de la forma p = 64k+1. Los primeros términos de esta sucesión son

Los números que están en rojo no son primos (es inmediato que son divisibles entre 3 o 5). El 257 se descarta fácilmente, pues en Z/257Z se cumple [0] = [257] = [2]⁸+[1], luego (siempre en este cuerpo) [2³²]  = [2⁸]⁴ = [-1]⁴ =[1], luego [2³²+1] = [2], que no es la clase del 0, luego 257 no divide a 2³²+1.

Esto hace que 641 sea el cuarto candidato a divisor de 2³²+1. Descartar a los anteriores por cálculo directo ya no es una tarea excesiva, pero lo cierto es que disponemos de más armas para evitar el cuerpo a cuerpo. En efecto, podemos observar que el primo que buscamos, p = 64k+1, cumple en particular p = 8n+1, y Euler sabía que la clase [2] es un cuadrado en Z/pZ si y sólo si p es de la forma p = 8n+1 o p = 8n-1. En nuestro caso tenemos, pues que [2] = [x]², para cierto entero x (las clases tomadas en Z/pZ). Así pues, [2]^(p-1)/2 = [x]^p-1 = 1, usando una vez más que el orden de una clase [x] ha de dividir al orden del grupo p-1. Esto hace que en realidad el orden de [2] no sólo ha de dividir a p-1, como habíamos usado antes, sino de hecho a (p-1)/2, o sea, 64  | (p-1)/2 y, en consecuencia, p = 128 n + 1.

Usando esta expresión la lista se reduce a la mitad:

con lo que 641 es el primer candidato. Para comprobar que efectivamente divide a 2³²+1 tampoco se echa de menos la calculadora. Hay que calcular [2]³² en el cuerpo Z/641Z y comprobar que da [-1], pues entonces [2³²+1] = [0]. Para ello vamos calculando las potencias de 2 teniendo en cuenta que en cualquier momento podemos restar 641 sin que ello afecte a la clase. Los cálculos que siguen se pueden hacer a mano sin esfuerzo:

Esto prueba que 641 divide a 2³²+1.

Los primos de la forma 2^k+1 se llaman "primos de Fermat" y sólo se conocen cinco, para k = 1, 2, 4, 8, 16. No se sabe si hay más, pero si los hay tienen que ser enormes. Su interés reside en que un polígono regular de n lados es constructible con regla y compás si y sólo si n es producto de una potencia de 2 y de primos de Fermat distintos entre sí. Gauss obtuvo la construcción explícita para p = 17. No recuerdo en qué libro leí que un tal profesor Hermes dedicó buena parte de su vida a obtener la construcción con regla y compás del polígono regular de 65.537 lados. Contaba el libro que una inundación estuvo a punto de destruir su trabajo, pero afortunadamente salió indemne.