Solución al problema 7

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA 7 (sección 10.2):

Variables:
x = capital invertido en el fondo 1
y = capital invertido en el fondo 2
z = capital invertido en el fondo 3
w = capital invertido en el fondo 4

Ésta es la interpretación de las variables. Son el capital invertido en cada fondo. La necesitaremos, entre otras cosas, para interpretar los intervalos de sensibilidad de la función objetivo.

Hay que tener claro que la función objetivo en este problema es la rentabilidad y no cualquier otra cosa:

Max. 0.1 x + 0.2 y + 0.15 z + 0.21 w          Rentabilidad
s.a x+y+z+w <= 100                                   Capital invertido <= capital disponible.
     0.7x+0.3y+0.15z+0.01w>= 50              Responsabilidad social de la inversión >= responsabilidad social mínima exigida.
     x+y<= 70                                               Capital invertido en los fondos 1, 2 <= capital máximo permitido en los fondos 1, 2.
     z+w>= 20                                               Capital invertido en los fondos 3, 4 >= capital mínimo exigido en los fondos 3, 4.
     x, y, z, w>= 0.

En las respuestas siguientes vamos a necesitar lo que es cada miembro de cada restricción. Esto lo ponemos aquí para usarlo luego cuando haga falta.

a) Interpreta la variable de holgura de la última restricción.

A) La holgura es la diferencia entre el miembro izquierdo y el miembro derecho de la restricción.
B) El capital invertido en los fondos 3 y 4 es 10 unidades más del mínimo exigido.

b) ¿Qué rentabilidad podría conseguir el inversor si se conformara con un índice mínimo de 49.5?

Miramos el precio dual de la segunda restricción (-0.42).

A) El precio dual indica lo que mejora o empeora la función objetivo por cada unidad que aumentamos el término independiente.

B) Por cada unidad que aumenta la responsabilidad social mínima exigida, la rentabilidad disminuirá 0.42 unidades.

C) Respuesta: (-0.42)(-0.5) = 0.21 (positivo -> mejorará) La rentabilidad aumentará 0.21 unidades.

c) El inversor se plantea invertir al menos 0.1 unidades monetarias en el segundo fondo. ¿Cómo afecta esto a la rentabilidad esperada?

Miramos el coste reducido de Y (0.071).

A) El coste reducido indica lo que empeora la función objetivo si exigimos que la variable valga al menos una unidad.

B) Si exigimos invertir al menos una unidad en el segundo fondo, la rentabilidad disminuirá 0.071.

C) (0.071)(0.1) = 0.0071. La rentabilidad disminuirá 0.0071.

d) Interpreta el intervalo de sensibilidad del capital disponible.

A) Indica lo que puede aumentar y disminuir el término independiente para que las variables y holguras que valen 0 sigan valiendo 0.

B) Mientras el capital disponible no aumente más de 70 y no disminuya más de 10:
1) Seguiremos sin invertir en el segundo fondo.
2) Invertiremos todo el capital disponible.
3) La responsabilidad social de la inversión será la mínima exigida y nada más.
4) El capital invertido en los fondos 1, 2 será el máximo permitido y nada menos.

e) Si la rentabilidad esperada del cuarto fondo resultara ser 0.3, ¿convendría replantearse la inversión?

Miramos el intervalo de sensibilidad del coeficiente de W en la función objetivo.

A) El intervalo indica lo que puede aumentar y disminuir el coeficiente para que la solución óptima siga siendo la misma.

B) Mientras la rentabilidad del cuarto fondo no disminuya más de 0.025 las cantidades invertidas en cada fondo serán las mismas.

C) Como hablamos de un aumento (de 0.21 a 0.3) y el intervalo permite cualquier aumento, el cambio queda dentro del intervalo, luego las cantidades invertidas serán las mismas, luego NO conviene replantearse la inversión.

f) Interpreta los costes reducidos de las variables X e Y.

A) El coste reducido indica lo que empeora la función objetivo si exigimos que la variable valga al menos una unidad.

B) Si exigimos invertir al menos una unidad monetaria en el primer fondo, la rentabilidad no variará. (Esto se debe a que ya estamos invirtiendo 70 unidades en el primer fondo, luego si nos piden invertir al menos una, ya lo estamos haciendo y no hace falta cambiar nada.)

Si exigimos invertir al menos una unidad monetaria en el segundo fondo, la rentabilidad disminuirá 0.07 unidades monetarias.

g) Interpreta los precios duales de las restricciones de diversificación. Explica por qué es 0 el segundo.

A) El precio dual indica lo que mejora o empeora la función objetivo por cada unidad que aumente el término independiente de la restricción.

Por cada unidad que aumente el capital máximo permitido para los fondos 1 y 2, la rentabilidad aumentará 0.18 unidades monetarias.
Aunque aumentemos una unidad el capital mínimo requerido para los fondos 3 y 4 la rentabilidad no variará. Esto se debe a que ya estamos invirtiendo más que el mínimo exigido, luego si nos exigen una unidad más, podremos hacer lo mismo y no cambiará nada.

h) Si el inversor descubriera que la rentabilidad esperada del primer fondo es en realidad 0.09, ¿le convendría reducir el capital invertido en él?

Miramos el intervalo de sensibilidad del coeficiente de X en la función objetivo.

A) El intervalo indica lo que puede aumentar y disminuir el coeficiente para que la solución óptima siga siendo la misma.

B) Mientras la rentabilidad del primer fondo no disminuya más de 0.07 las cantidades invertidas en cada fondo serán las mismas.

C) Como hablamos de pasar de 0.10 a 0.09, la disminución es de 0.01, que es menos de 0.07, luego está dentro del intervalo. Por lo tanto, las cantidades invertidas (en todos los fondos) serán las mismas, luego No convendrá reducir el capital invertido en el fondo 1.

i) Interpreta el intervalo de sensibilidad del índice de responsabilidad social.

A) Indica lo que puede aumentar y disminuir el término independiente para que las variables y holguras que valen 0 sigan valiendo 0.

B) Mientras la responsabilidad social mínima exigida no aumente más de 3.5 y no disminuya más de 0.7:
1) Seguiremos sin invertir en el segundo fondo.
2) Invertiremos todo el capital disponible.
3) La responsabilidad social de la inversión será la mínima exigida y nada más.
4) El capital invertido en los fondos 1, 2 será el máximo permitido y nada menos.

j) Razona cómo afectaría a la rentabilidad de la inversión que la responsabilidad social exigida subiera hasta 53 puntos.

Miramos el precio dual de la segunda restricción (-0.42).

A) El precio dual indica lo que mejora o empeora la función objetivo por cada unidad que aumentamos el término independiente.

B) Por cada unidad que aumenta la responsabilidad social mínima exigida, la rentabilidad disminuirá 0.42 unidades.

C) Respuesta: -0.42 *3 = -1.26 (negativo --> empeorará) La rentabilidad disminuirá 1.26 unidades.

k1) Si permitiéramos invertir 71 unidades entre los dos primeros fondos, ¿invertiríamos 0.5 unidades más en cada uno, o 1 más en el primero o 1 más en el segundo o no podemos saberlo?

Miramos el intervalo de sensibilidad del término independiente de la tercera restricción.

A) El intervalo indica lo que puede aumentar y disminuir el término independiente para que las variables y holguras que valen 0 sigan valiendo 0.

B) Mientras la inversión máxima permitida en los fondos 1 y 2 no aumente más de 1.01 y no disminuya más de 6.36:
1) Seguiremos sin invertir en el segundo fondo.
2) Invertiremos todo el capital disponible.
3) La responsabilidad social de la inversión será la mínima exigida y nada más.
4) El capital invertido en los fondos 1, 2 será el máximo permitido y nada menos.

C) Como pasar de 70 a 71 es un aumento de 1, que no excede el 1.01 permitido por el intervalo, el cambio queda dentro del intervalo. Por lo tanto se cumplen las cuatro propiedades anteriores. Como no conviene invertir en el segundo fondo, la unidad adicional que podemos invertir en los fondos 1 y 2 la invertiremos toda en el primero. (Notemos que la propiedad 4) nos asegura que dicha unidad extra conviene invertirla.)

k2) ¿Mejoraría con ello la rentabilidad esperada?

Miramos el precio dual de la tercera restricción (0.18).

A) El precio dual indica cuánto mejorará o empeorará la función objetivo por cada unidad que aumente el término independiente.

B) Por cada unidad que aumente la inversión máxima permitida en los fondos 1 y 2 la rentabilidad aumentará 0.18 unidades monetarias.

C) 1*0.18 = 0.18 La rentabilidad aumentará 0.18 unidades monetarias.

l) Razona si la afirmación siguiente es verdadera o falsa: como el coste reducido de la variable X es 0, podemos afirmar que invertir una unidad más en el primer fondo no afectaría a la rentabilidad esperada.

A) El coste reducido indica lo que empeora la función objetivo si exigimos que la variable valga al menos una unidad.

B) Si exigimos invertir al menos una unidad en el primer fondo, la rentabilidad no se ve afectada.

C) La afirmación es FALSA, porque el coste reducido no indica lo que sucede si exigimos invertir al menos una unidad más, sino si exigimos invertir al menos una unidad. (Ahora invertimos X = 70 unidades, y el coste reducido no dice lo que pasa si exigimos invertir 71 unidades (una más), sino lo que pasa si exigimos invertir al menos una, cosa que ya estamos haciendo.