1. Prima Pura Original (Sin Recargo)
Calculamos la prima pura \(P\) basándonos en el principio de equivalencia actuarial:
\[
P = E[C] = \sum (C_i \cdot P_i)
\]
Donde el capital asegurado \(C\) es:
- \(C = 0\) € si la persona fallece antes de los 25 años (probabilidad \(q = 1 - {}_{25}p_0\)).
- \(C = 1.000\) € si la persona sobrevive a los 25 años (probabilidad \(p = {}_{25}p_0\)).
Usando los datos iniciales (\(l_0 = 1.000\) y \(l_{25} = 982{,}355\)):
\[
{}_{25}p_0 = \frac{l_{25}}{l_0} = \frac{982{,}355}{1.000} = 0{,}982355
\]
\[
P = (0 \cdot 0{,}017645) + (1.000 \cdot 0{,}982355) = 982{,}355 \text{ €}
\]
2. Aproximación de Moivre y Recargo del 5%
Para asegurar la viabilidad del fondo con un 95% de probabilidad, modelizamos la variable \(l_{25}\) mediante una distribución Normal (Teorema de Moivre), ya que sigue una Binomial \(B(l_0, {}_{25}p_0)\) y \(l_0\) es suficientemente grande:
\[
l_{25} \sim N(\mu, \sigma)
\]
\[
\mu = l_0 \cdot {}_{25}p_0 = 982{,}355
\]
\[
\sigma = \sqrt{l_0 \cdot {}_{25}p_0 \cdot (1 - {}_{25}p_0)} = \sqrt{1000 \cdot 0{,}982355 \cdot 0{,}017645} \approx 4{,}1626
\]
Para un nivel de confianza del 95% (\(1 - \alpha = 0.95\)), buscamos el valor crítico \(z\):
\[
z = 1{,}645
\]
Destipificando para hallar \(l_{25}^+\) (el valor recargado):
\[
l_{25}^+ = \mu + z \cdot \sigma = 982{,}355 + 1{,}645 \cdot 4{,}1626 \approx 989{,}202
\]
La nueva prima recargada es \(P^+ = 1000 \cdot \dfrac{l_{25}^+}{l_0} = 989{,}20 \text{ €}\).
Resultado:
Prima original: 982,36 €
Prima con recargo del 5% (Moivre): 989,20 €
Distribución Normal de \(l_{25}\)