El conocimiento de los puntos de inflexión, intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad, convexidad, máximos y mínimos relativos de una función f, junto con el del dominio donde está definida la función permiten hacerse una idea de como es la función antes de dibujarla con el ordenador. El contraste entre esta idea (que se puede dibujar a mano) y el dibujo con el ordenador permite desechar errores que se hayan podido cometer empleando solo uno de los dos procedimientos. Veamos un ejemplo:
□ Hacerse una idea de la forma de la gráfica de la función f(x)=((3 x - 1)/((x^2) - 3 x - 4)) y conrastarla con la gráfica que se obtiene con el ordenador.
Comenzamos con los cálculos que determinan: los puntos donde no está definida la función, la forma de su primera y segunda derivada (para asegurarnos de que el comando Solve se puede aplicar en los casos en los que lo haremos a continuación), los puntos en los que se anula su primera derivada y en los que se anula su segunda derivada:

Clear["@"];
f[x_] := ((3 x - 1)/((x^2) - 3 x - 4)); {Solve[
        (x^2) - 3 x - 4 == 0], Simplify[f'[x]],  Simplify[f''[x]],  
      Solve[f'[x] == 0],  
      Solve[f''[x] == 0]}

N[(1/3) - ((2 (22^(1/3)))/3) + ((22^(2/3))/3)]

De estos resultados se deduce que: a) la función  está definida en toda la recta real excepto en -1 y en 4, por lo tanto, habrá que estudiar su forma separando los intervalos ]-∞, -1[, ]-1,4[ y ]4,∞[, b)  la primera derivada no se anula nunca, luego no tiene máximos ni mínimos relativos, y, para estudiar el crecimiento o decrecimiento de la función, bastará calcular el valor de f' en un punto de cada uno de los intervalos anteriores, c)  la segunda derivada se anula solo en un punto, que está en el intervalo ]-1, 4[; ese punto es el único punto de inflexión de f y, para estudiar la concavidad y convexidad, bastará calcular f'' en un punto de cada uno de los intervalos ]-∞, -1[, ]-1,(1/3) - ((2 (22^(1/3)))/3) + ((22^(2/3))/3)[ , ](1/3) - ((2 (22^(1/3)))/3) + ((22^(2/3))/3), 4[  y  ]4,∞[. 
Hagamos ahora todos los cálculos sugeridos por los comentarios anteriores:

{{f'[-2],  f'[0],  f'[
          5]}, {f''[-2],  f''[0], f''[2] , f''[
          5]}}

De donde se deduce que la función  f
1)  es decreciente y cóncava en el intervalo ]-∞, -1[,
2)  es decreciente y convexa en el intervalo ]-1,(1/3) - ((2 (22^(1/3)))/3) + ((22^(2/3))/3)[,
3) tiene un punto de inflexión en (1/3) - ((2 (22^(1/3)))/3) + ((22^(2/3))/3)
4) es decreciente y cóncava en el intervalo ](1/3) - ((2 (22^(1/3)))/3) + ((22^(2/3))/3), 4[,
5)  es decreciente y convexa en el intervalo ]4,∞[.
Esto es suficiente para hacernos una idea de como es la función, que podemos dibujar aproximadamente a mano, y compararla con el dibujo por ordenador

Plot[f[x], {x, -3, 6}];

Ejercicios

□ Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los puntos crticos, los máximos y mínimos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de cada una de las funciones siguientes:

1)  2 + 3  (x^2),	 2)   2  (x^3) + 3  (x^2) - 12  x, 	3)	    ((x^2)/((x^2) - 4)), 	4)	  f(x)=(x^3) - 6  (x^2) + 1,           
 5) g(x)=x + (1/x),	6) h(x)=(((x^2) - 2  x + 1)/(x + 1)),	7)	 f(x) = (10/((x^2) + 5)),	8)	f(x)=(4/3) x (Sqrt[ 3 - x]), 
 9)     f(x) = (x^4) - 6  (x^3) + 6  (x^2) + x + 1,	           10)     f(x) = (2^x) - x	11)    f(x)=(x/(((x - 1))^2))
12) 	f(x)=(1/((x^2) - 4  x + 4)),	13)      f(x)=(((x^3) + 1)/((x^3) + x))  	14)   f(x) = x tan x,	-π/2 < x < π/2,
15) 	f(x) = ((2  x - 1)/(x + 1)) 		 16)	f(
          x) = (((x^2) + 1)/((x - 5) (Sqrt[2  (x^2) + 1])))  	 17)	    f(x) = (((x^2) + 1)/((x^2) - 4)) 
18)	f(x)=(x/(Sqrt[(x^2) + 2]))		19)	f(x)=(x^4) - 6  (x^3) + 6  (x^2) + 6  x + 6

(Comprobar los resultados dibujando las gráficas de las funciones)

Sugerencia: hacer, primero, un cálculo como el siguiente (que se aplicaría al ejercicio 3)) y, a continuación, deducir de ahí consecuencias, haciendo para ello los cálculos necesarios (Además, tener cuidado cuando haya que resolver ecuaciones no polinómicas)

Clear["@"]; f[x_]:=((x^2)/((x^2) - 4)); {Solve[x^2 - 4 == 0], Simplify[f'[x]],  
        Simplify[f''[x]],  Solve[f'[x] == 0],  
        Solve[f''[x] == 0]}