Práctica num. 10 de Fundamentos Matemáticos 
E. M. A.

Visión gráfica del método de los trapecios

Clear["@"];
a = 
        0;
b =  
        Pi;
f[
        x_] :=  -(1/Exp[x]) (1 - 
            x^2)  (Sin[x])^2
Plot[
      f[x], {x, a, 
        b}]
h = ((b - a)/ene);
x[1] = a;
x[n_] :=  
      x[n - 1]  +  h
Table[Show[Table[Graphics[{Text[ ene "divisiones de [a,b]", {0.5, Abs[f[Pi/2]] + 0.1}],{Hue[n/ene], 
                          Polygon[{{x[n], 0}, {x[n], f[x[n]]}, {x[n + 1], 
                                f[x[n + 1]]}, {x[n + 1], 0}}]}}],{n, 1, ene}],Plot[f[x], {x, a, b}, 
                DisplayFunction :> Identity],DisplayFunction :> $DisplayFunction,PlotRange -> All],{ene, 4, 16}];

Algoritmo de cálculo con el método de los trapecios

Clear["@"];
a = 0;
b =  Pi;
h[ene_] := ((b - a)/ene);
f[
          x_] :=  -(1/Exp[x]) (1 - 
              x^2)  (Sin[x])^2;
trapeciorule[ene_] := 
      Sum[f[a + n  h[ene]] h[ene] , {n, 1, 
            ene - 1}] +  (1/2) (f[a] + f[b]) h[
            ene]

      
N[trapeciorule[16]] 

      
aproximaciones = 
        Table[ {N[trapeciorule[ene]], 
            N[trapeciorule[ene] - trapeciorule[ene - 1]]}, {ene, 8, 
            16}];
TableForm[aproximaciones]
  aproxreal = 
        Table[ {N[trapeciorule[ene]], 
            N[trapeciorule[ene]] - NIntegrate[f[x], {x, a, b}]}, {ene, 8, 
            16}];
TableForm[aproxreal]

Visión gráfica del método de Simpson

<< Graphics`FilledPlot`

Clear["@"];
a = 
        0;
b =  Pi;
f[
          x_] :=  -(1/Exp[x]) (1 - x^2)  (Sin[x])^2
  
h[
        ene_] := ((b - a)/(2 ene))
x[ene_, 
          1] = a;
x[ene_, n_] :=  
      x[ene, n - 1]  +  h[ene]
bb[ene_, 
        n_] :=  (1/(2 h[ene]^2)) ( 
          f[x[ene, n + 2]] + f[x[ene, n]]  -  
            2 f[x[ene, n + 1]])
aa[ene_, 
        n_] :=  (1/(2 h[ene])) ( 
          f[x[ene, n + 2]] - f[x[ene, n]])
Table[Show[Graphics[{Text[ 2 ene "divisiones de [a,b]", {0.5, Abs[f[Pi/2]] + 0.1}]}],FilledPlot[
                Table[Apply[
                    Which, {x ≤ x[ene, 2  n - 1], 0, 
                      x[ene, 2  n - 1] < x < x[ene, 2  n - 1 + 2], 
                      f[x[ene, 2  n - 1 + 1]] +   aa[ene, 
                            2  n - 1] (x - x[ene, 2  n - 1 + 1])  +  
                        bb[ene, 
                            2  n - 1]  (x - x[ene, 2  n - 1 + 1])^2,  
                      x[ene, 2  n - 1 + 2] ≤  x, 0}], {n, 1, 
                    ene}], {x, a, b}, 
                Fills -> Table[{{n, Axis}, Hue[n/ene]}, {n, 1, ene}], 
                DisplayFunction :> Identity],Plot[f[x], {x, a, b}, 
                DisplayFunction :> Identity],DisplayFunction :> $DisplayFunction,PlotRange -> All],{ene, 2, 8}];

Algoritmo de cálculo con el método de Simpson

Clear["@"];
a = 0;
b =  Pi;
h[ene_] := ((b - a)/(2 ene));
f[
          x_] :=  -(1/Exp[x]) (1 - 
              x^2)  (Sin[x])^2;
simpsonrule[
        ene_] :=  (1/3) h[
          ene] (f[a]  +  f[b]  +  
            4  Sum[f[a + (2 n  - 1)  h[ene]] , {n, 1, ene}]  +  
            2   Sum[
                f[a + 2  n   h[ene]] , {n, 1, 
                  ene - 1}])

      
N[simpsonrule[8]]
  aproximaciones = 
        Table[ {N[simpsonrule[ene]], 
            N[simpsonrule[ene] - simpsonrule[ene - 1]]}, {ene, 4, 
            8}];
  
TableForm[aproximaciones]
aproxreal = 
        Table[ {N[simpsonrule[ene]], 
            N[simpsonrule[ene]] - NIntegrate[f[x], {x, a, b}]}, {ene, 4, 
            8}];
TableForm[aproxreal]

Ejercicio: repite las visiones gráficas anteriores y el algoritmo de cálculo para calcular la integral de la función 
f[x_]:= (1/Exp[x])(1-x^2)  entre  0   y   2 π.

f[x_] := (1/Exp[x]) (1 - x^2)

Integrate[f[x], {x, 0, 2 Pi}]

NIntegrate[f[x], {x, 0, 2 Pi}]

Área entre curvas que gráficas de funciones

Área entre curvas
El área entre las curvas y = f(x) e y = g(x) y entre x = a y x = b es
					A = (∫_a^b)|f(x) - 
                  g(x)|dx

Problema

Hacer undibujo de la región encerrada por las curvas dadas.  Decidir si se integra con respecto a x o con respecto a y  ... Entonces determinar el área de la región.

y = sin x, y = (e^x),  x = 0,  
    x = π/2

Lo primero a notar es que las dos últimas "curvas" son rectas verticales, mientras que las dos primeras son gráficas de funciones de x.  Por lo tanto decidimos integrar respecto de x.

Clear["@"]

f[x_] := Sin[x]

g[x_] := E^x

Primero queremos obtener un dibujo.  El comando FilledPlot  dibujará la gráfica de las dos curvas y rellenará la región entre ellas

FilledPlot[{f[x], g[x]}, {x, 0, π/2}]

Si se quiere dejar claro que curva es cada una, se puede añadir una opción de PltStyle con el color para hacer roja la gráfica de la función f(x).

\(\(FilledPlot[{f[x], g[x]}, {x, 0, π/2}, 
	
        PlotStyle -> {Hue[0], {}}];\)\)

Ahora se puede usar la fórmula para obtener el áres, después de observar que g(x) es mayor que f(x) en todo el intervalo.

(∫_0^(π/2))(g[x] - 
            f[x]) \[DifferentialD]x

Problema

Hacer undibujo de la región encerrada por las curvas dadas.  Decidir si se integra con respecto a x o con respecto a y  ... Entonces determinar el área de la región.

y = (x^2) + 1, y = 3 - (x^2),  x = -2,  
    x = 2

El método es el mismo que para el problema anterior.

Clear["@"]

f[x_] := (x^2) + 1

g[x_] := 3 - (x^2)

\(\(FilledPlot[{f[x], g[x]}, {x, \(-2\), 2}, 
	
        PlotStyle -> {Hue[0], {}}];\)\)

Ahora las funciones se alternan en ser una mayor que otra, por eso necesitamos calcular los puntos de intersección.

Solve[f[x] == g[x], x]

Por lo tanto el área es (obsérvese que  f es la roja):

(∫_(-2)^(-1))(f[x] - 
              g[x]) \[DifferentialD]x + (∫_(-1)^1)(g[x] - 
              f[x]) \[DifferentialD]x + (∫_1^2)(f[x] - 
              g[x]) \[DifferentialD]x

Problema

Hacer undibujo de la región encerrada por las curvas dadas.  Decidir si se integra con respecto a x o con respecto a y  ... Entonces determinar el área de la región.

y = cos x,  y = 1 - 2  x/π

Esto es un poco diferente porque no se dan límites para los valores de x.  Necesitamos averiguar donde se cortan las dos curvas para dar los límites de integración.

Clear["@"]

f[x_] := Cos[x]

g[x_] := 1 - ((2  x)/π)

Solve[f[x] == g[x], x]

En vista del fracaso, necesitaremos probar para ver donde se cortan las curvas dibujando las gráficas:

Plot[{f[x], g[x]}, {x, -5, 5}];

Esto hace ver con bastante claridad que los puntos de intersección son aproximadamente x ≈ 0,  x ≈ 1.5 y x ≈ 3.  Podemos usar FindRoot que nos ayudará a encontar esos puntos con más precisión:

FindRoot[f[x] == g[x], {x, 0}]

FindRoot[f[x] == g[x], {x, 1.5}]

FindRoot[f[x] == g[x], {x, 3}]

Y ahora intentaremos obtenerlos con exactitud. Los númeors obtenidos se parecen mucho a  0, π/2, and π. Probemos a ver si es verdad

f[0] == g[0]

f[Pi/2] == g[Pi/2]

f[Pi] == g[Pi]

Este es un caso poco usual: tiene soluciones bonitas y, sin embargo, Mathematica no las puede encontrar.
Ahora estamos listos para pintar la región de las funciones a integrar y calcular el área:

\(\(FilledPlot[{f[x], g[x]}, {x, 0, π}, 
	
        PlotStyle -> {Hue[0], {}}];\)\)

(∫_0^(π/2))(f[x] - 
              g[x]) \[DifferentialD]x + (∫_(π/2)^π)(g[
                x] - f[x]) \[DifferentialD]x

Valor medio de una función

Valor medio de una función
El valor medio de f en el intervalo [a, b] es
					(Subscript[f, m]) = (1/(b - a)) (∫_a^b) f(
                x) dx

Problema

Encontrar el valor medio de la función en el intervalo dado.

\(TraditionalForm\`f(x) = 
      1/x,     \([1, 4]\)\)

Simplemente colocar la función en lafórmula:

media = (1/(4 - 
              1)) (∫_1^4) 
                (1/x) \[DifferentialD]x

Ejercicios

(Probar a copiar los comandos usados en los ejmeplos anteriores a la hora de hacer los ejercicios)

1—3 □ Dibujar la reguón encerrada por las curvas.  Después, determinar el área de la región.

1)	f(x) = (x^2) - 4  x + 3,  
      g(x) = -(x^2) + 2  x + 3

2)	f(x) = (x^6),  g(x) = x + 2

3)	f(x) = (4/x),  x = 0,  y = 1,  y = 4

4—5 □ Determinar elvalor medio de la función en el intervalo.  ¿Para cuántos valores de x en ese intervalo es la función igual a su media?  (Sugerencia: dibujar las gráficas.)

4)	f(x) = (((x^2) + 1)/(x^2)), on [(1/2), 2].

5)	f(x) = sin x, on [0, π].