Práctica num. 3 de Fund. Matemáticos Estudio Medio Ambiente

3.2. Vectores y matrices con Mathematica

Vectores

En primer lugar, un vector es una fila de números separados por comas y, en la escritura de Mathematica,  entre llaves: v = {2,4,-5,0}
	El producto por escalares es el usual: 	3 v

Se pueden sumar y restar vectores que tengan la misma dimensión (mismo número de coordenadas).  Si w =    {-3,-2,0,5}, calcula v+w.

El producto escalar de dos vectores se indica con un punto: v.w. Se calcula multiplicando coordenada a coordenada y sumando, es decir, si x=(x1, x2, ..., xn), y =(y1, y2, ..., yn), entonces x.y = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn. Prueba a calcular v.w

Matrices

Una matriz es un conjunto de varios vectores, separados por comas. En una celda nueva, escribe y evalua las siguientes expresiones.
a = { {2,4}, {-2,5} }
c = { {2,4,6},{0,0,8},{3,0,8},{1,-1,1}}

Para que aparezca la matriz en la notación usual, hemos de escribir 
MatrixForm[nombre de la matriz]

El producto de matrices se indica mediante un punto. Define las matrices X= (({{3, 2}, {-5, 0}})),  Y= (({{0, -2}, {8, 3}})) y calcula su producto X.Y
Puedes usar el comando MatrixForm[X .Y] para que se vea con la notación usual.

La matriz traspuesta se calcula mediante el comando 
Traspose[nombre de matriz]

El determinante se calcula mediante el comando 
Det[nombre de matriz]
	La matriz inversa se calcula mediante el comando
Inverse[ matriz ]

Ejercicios: 
Cuidado con la notación. Deliberadamente, están bien o mal escritos, y tienes que escribirlos bien.

1) Define los siguientes vectores, y calcula las operaciones indicadas:
a = {3,9,-8}, b= {0,8,24}, c={-7,5,-14}, d={0,3,-6}
i) a + b			ii)a - 3 c
iii)5 a + 7 b 		iv)-4 c + 3 d
v) a.c 			vi) b.d
vii) a.b - c.d

2) Define las siguientes matrices, y calcula las operaciones indicadas: 
X = (({{0, 4, -3}, {7, -6, 5}, {-1, -2, 9}})), Y = (({{1, -4, (3/2)}, {9, -4, 0}, {2, 7, 3}}))
i) det(X)			ii) det(Y)
iii) 2X-3Y			iv) det(4Y-2X)
v) MatrixForm[X . Y]		vi) det(Y. Traspose(X) )
vii) X.a				viii) b.Y.c
ix) (X^(-1))			x) (((X . Y))^(-1))

3a. Cálculos a mano con matrices

1. Realiza los sigueintes productos de matrices cuando sea posible
  (a)  (({{1, 2, 3}, {4, 5, 6}}))(({{7, 8}, {9, 0}, {1, 2}}));  (b) (({{1, 2}, {0, 3}}))(({{1, 4}, {-1, 3}, {-2, 2}}));  
  (c) (({{1, -1, 1}, {-1, 0, 2}, {-1, 1, 1}}))(({{0, 1, -1}, {-1, 1, 2}, {2, 0, -2}})); (d)  (({{7, 1}, {-1, 0}, {2, 3}}))(({{5}, {-4}}));   
  (e)  (({{1, 2}, {0, 3}}))(({{1, 4}, {-1, 3}}))(({{0, 1}, {-1, 3}}));     (({{0, 2, 1}, {1, 3, 2}}))(({{0, 1}, {3, 5}}))

2.  Dadas las matrices  A = (({{1, 2, 0}, {3, 1, -1}}))  y  B = (({{2, 5, 1}, {1, 4, 2}, {1, 3, 3}})),
(a) Calcular la tercera columna de AB sin calcular toda la matriz AB
(b) Calcular la segunda fila de AB sin calcular toda la matriz AB

3. Para qué valores de a las matrices  A=(({{1, 1}, {1, 0}})),  B = (({{1, 0}, {a, 1}})) verifican que AB=BA?

4. Dadas las matrices  A=(({{1, 1}, {1, 0}})),  B = (({{1, 0, 1}, {2, 1, 0}})) ,
(a) ¿Cuales son sus traspuestas?
(b) Sin calcular AB, ¿quien es (AB)\(TraditionalForm\`\^t\)?
(c) Confirmar el resultado obtenido calculando AB.
(d) ¿Qué ocurre si resuelves la parte b) usadno la fórmula incorrecta (AB)\(TraditionalForm\`\^t\)= A\(TraditionalForm\`\^t\)B\(TraditionalForm\`\^t\)

5. ¿Cuál es la inversa de la matriz A=(({{a, b}, {0, a}})) para a≠0?

6. Dadas las matrices 
A=(({{1, 0}, {1, 0}})),    B= (({{1, 0, 1}, {1, 0, 1}})),   C= (({{1, 1, 0}, {1, 0, 1}, {1, 1, 0}})),
¿cuáles de las siguientes expresiones no tienen sentido (es decir, no están definidas):
AB,   BA,   A+B,   AC,   BC,   CB,   (B/C),   (B^t)A,  (B^t)C ?.
Explica tus respuestas.

7. Demuestra que   (({{1, a, b}, {0, 1, c}, {0, 0, 1}}))  tiene una inversa de la forma  (({{1, x, y}, {0, 1, z}, {0, 0, 1}}))  y encuéntrala.

8. Demuestra que   si A es una matriz cualquiera, entonces (A^t) A es simétrica.

9. Da un ejemplo de aplicación lineal  f:(R^4) -> (R^3) y otro de una aplicación lineal f:(R^3) -> R

10. Determina y da la matriz de las aplicaciones lineales F y G que verifican
F(({{x}, {y}, {z}})) = (({{2 x}, {y}, {z}})),    G(({{x}, {y}, {z}})) = (({{y}, {x + 2  y}, {z + x}}))

11.  En una clase de 150 estudiantes cada uno tiene doce notas: una de un examen primer parcial, 10 de trabajos en casa, y otra de un examen segundo parcial. Todas estas notas se escriben como una matriz A en la que cada fila corresponde a un estudiante, la primera columna corresponde a la nota del primer parcial, las diez restantes a las notas de los trabajos en casa, y la última a la nota del examned del segundo parcial. La nota del segundo parcial cuenta un 50%, la del primer parcial un 25%, y la de cada trabajo en casa un 2'5% de la nota final. ¿Qué operación matricial debe realizarse para asignar a cada estudiante su nota final?

12.Calcular los siguientes productos de matrices sin hacer ningún cálculo aritmético
(a)(({{7, 2, (Sqrt[3]), 4}, {6, 8, (a^2), 2}, {3, (Sqrt[5]), a, 7}}))(({{0}, {1}, {0}, {0}}));(b)(({{6 a, 2 , 3 (a^2)}, {4, 2 (Sqrt[a]), 2}, {5, 12, 3}}))(({{0}, {1}, {0}}));(c)(({{2, 8, 1, 6}, {3, 2, (Sqrt[3]), 4}}))(({{0}, {0}, {1}, {0}}))

13. Dada la aplicación lineal T:(R^3) -> (R^4) que verifica
T(({{0}, {1}, {1}})) = (({{-1}, {3}, {4}, {1}})),    T(({{1}, {0

                0}})) = (({{3}, {1

                  2}, {1}})) ,  T(({{1}, {1

                1}})) = (({{2}, {4

                  6}, {-2}})) ,  T(({{1}, {1

                0}})) = (({{2}, {2

                  5}, {1}})) ,  T(({{1}, {0

                1}})) = (({{3}, {3

                  3}, {2}})) ,  T(({{0}, {1

                0}})) = (({{-1}, {1

                  3}, {0}})) ,  T(({{-1}, {1

                0}})) = (({{-4}, {0

                  1}, {-1}})) ,  T(({{0}, {0

                1}})) = (({{0}, {2

                  1}, {1}})) ,
¿qué parte de esta información se necesita para determinar la matriz de T? ¿Cuál es esa matriz?.