Práctica num. 4 (y6) de Fund. Matemáticos 
Estudio Medio Ambiente

4.1. Cálculos con espacios vectoriales y aplicaciones

1. Dados los siguientes subconjuntos de ℜ\(TraditionalForm\`\^3\)
S={(x,y,1);x,yϵ R},  L={(x,y,z); x+y=0, x-2z=0},  M={(x,y,z);2x+y-3z=0},
N={(x-y,y-z,z-x);x,y,z ϵ R},
determinar cuales son espacios vectoriales y cuales no. De aquellos que sean subespacios vectoriales, decir cual es su dimensión y encontrar una base.
 
2.  Describe con ecuaciones, de todas las formas que puedas,  el espacio vectorial generado por los vectores (1,2,0) y (0,-1,2).

3. Decir si los siguientes conjuntos son o no espacios vectoriales:
(a) V={(x,y,z)∈ℜ\(TraditionalForm\`\^3\); x=y=z},	     (b) V={(x,y,z,t) ϵ ℜ\(TraditionalForm\`\^4\); x+t=2},  	(c) V={(x,y,z)ϵ ℜ\(TraditionalForm\`\^3\); x y=3}, 	
(d) V={(x,y,z) ϵ ℜ\(TraditionalForm\`\^3\);  x+y=0},     (e) V={(x,y,z,t) ϵ ℜ\(TraditionalForm\`\^4\); 2 x+t=y},	(f) V={(x,y) ϵ ℜ\(TraditionalForm\`\^2\) ; x=(y^2)}.

4. Decir en los siguientes casos si el vector v pertenece o no al espacio vectorial V:
(a) v=(1,2,5),  V=<{(1,3,2),(2,4,1),(1,5,7)}>,  (b) v=(8,1,1),  V=<{(1,3,2),(2,1,1)}>

5. .Decir si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes:
a) {(1,1,2,3,4),(2,3,3,1,3),(5,7,4,1,5)},	b) {(1,1,1),(2,3,1),(0,1,7),(6,5,14)},
c) {(2,1,3),(4,1,5),(2,1,2)},		d) {(1,1,1),(2,3,4),(1,3,7),(2,4,6)}.

6. Decir si los siguientes conjuntos de vectores son o no base del espacio vectorial V:
a) {(1,1,1),(1,2,3),(2,1,1)},  V= ℜ\(TraditionalForm\`\^3\).       	b) {(1,1,1,1),(1,2,3,2),(2,5,6,4),(2,6,8,5)},  V= ℜ\(TraditionalForm\`\^4\).
c) {(1,2,0),(0,0,1)},V={(x,y,z) ϵ ℜ\(TraditionalForm\`\^3\);x=y}.  	d) {(1,2,3,0),(0,0,0,1),(1,1,0,4)},  V={(x,y,z,t)∈ℜ\(TraditionalForm\`\^4\); z=x+y}.

7. Encontrar la dimensión y hallar una base de los siguientes espacios vectoriales:
(a) V={(x,y,z) ϵ ℜ\(TraditionalForm\`\^3\); x+y+z=0}.	(b) V={(x,y,z) ϵ ℜ\(TraditionalForm\`\^3\); x=y=z}.
(c) V={(x,y,z,t) ϵ ℜ\(TraditionalForm\`\^4\); z=3x,y=t}.	(d) V=<{(1,2,5,3), (2,3,1,4), (3,8,3,5)}>.

8. En   ℜ\(TraditionalForm\`\^3\)se consideran los vectores u=(1,2,1), v=(1,3,2), x=(1,1,0), y=(3,8,5).    Demostrar que <{u,v}> =<{x,y}>.

9. Demuestra que
 (a) El subespacio vectorial definido por la ecuación  matricial      (({{1, 2, 3}, {2, 1, 0}, {1, 1, 3}}))(({{x}, {y}, {z}}))= (({{0}, {0}, {0}}))   tiene dimensión 1 (se dice entonces que es un a recta vectorial).
 (b) El subespacio vectorial definido por la ecuación matricial  (({{1, 2, 3}, {2, 1, 0}, {-1, 0, 3}}))(({{x}, {y}, {z}}))= (({{0}, {0}, {0}}))   se reduce al vector 0.
  (c) El subespacio vectorial definido por la ecuación matricial    (({{1, 2, 3}, {-1, 2, 3}}))(({{x}, {y}, {z}}))= (({{0}, {0}}))   tiene dimensión 2 (es un plano vectorial)
  En los casos (a) y (c),da las ecuaciones (de todas las formas posibles)  de ese subespacio vecto-rial.
    
 10. Averigua si, de la familia de vectores   {(1,2,-3),(3,2,3),(-5,-2,-1),(2,0,2)}    se puede  extraer una base. En caso de respuesta afirmativa, encuentra las coordenadas de (3,-1,2) en esa base.
  
 11. Determina la dimensión del espacio de las soluciones de  los siguientes sistemas de ecuaciones, dependiendo de  los valores de m ,  a  y  n:
  ({{x + y + 6 z = 0}, {x - 2 y + 6 z = 0}, {3 x - y + m z = 0}})}      		({{x + a y + z = 0}, {x + y + a z = 0}, {a x + y + z = 0}})}		({{x + y + z}, {2 x - m y + n z}, {x + z}})} 		 ({{x + y + z}, {2 x - y}})}

4.2. Con Mathematica

Para calcular el rango de una matriz n×n,, Minors nos da  los determinantes de todas las submatrices (n-1)×(n-1)

Minors[b . a]

lo que quiere decir que el rango de b.a es menor que 3. Pasamos entonces a calcular los menores de orden 2, que son los determinantes de todas las submatrices (n-2)×(n-2)

Minors[b . a, 2]

Por lo tanto, la matriz  b.a tiene rango 2

También se pueden resolver sistemas de ecuaciones dados con matrices, si z=(u,v,z,t),

z = {u, r, s, t}

Solve[a . z == {0, 0}, {u, r, s, t}]

{{u->s+2 t,  r->-2 s-3 t}}  (*)

resuelve el sistema de ecuaciones 
({{2 r + 3 s + 4 t + u  = 0}, {6 r + 7 s + 8 t + 5 u = 0}})}
equivqlente a . z = (0,0), es decir, a
(({{1, 2, 3, 4}, {5, 6, 7, 8}})) (({{u}, {r}, {s}, {t}}))==(({{0}, {0}}))                (**)

Como se ve las soluciones (*) de esta ecuación quedan en función de dos psrámetros, lo que da idea de que el conjunto de soluciones forman un espacio de dimensión dos. En efecto, el sistema de ecuaciones que resolvemos, escrito en forma matricial tiene la expresión (**), que indica que las soluciones de esta ecuación son el núcleo de la aplicación lineal cuya matriz asociada es (({{1, 2, 3, 4}, {5, 6, 7, 8}})) y, como esta matriz tiene rango 2, lo mismo le pasa a la aplicación lineal, y, como esta matriz representa una aplicación lineal f:(R^4)->(R^2), el núcleo de f (que coincide con el conjunto de soluciones de (**)) es un espacio vectorial que tiene dimensión 4-2=2 (ver fórmula (NR) de la pag. 42 de los apuntes).
Además, la expresión (*) permite encontrar una base de este espacio de soluciones, pues dice que todos los elementos de este espacio son de la forma
(s+2 t,  -2 s - 3 t,  s,  t) = s (1, -2, 1, 0) + t (2, -3,0,1),
y, por lo tanto, {(1, -2, 1, 0) ,  (2, -3,0,1)}  es un a base del espacio vectorial de las soluciones de (*).

Veamos otro ejercicio con todo esto:

12. Obtener la dimensión y una base del  espacio vectorial definido por la ecuación matricial(({{1, 2, 3, 1}, {2, 1, 0, -7}, {1, 1, 3, 0}, {3, 1, 2, -9}}))(({{x}, {y}, {z}, {t}}))=(({{0}, {0}, {0}, {0}})).

Clear["@"]

A=(({{1, 2, 3, 1}, {2, 1, 0, -7}, {1, 1, 3, 0}, {3, 1, 2, -9}}))

Det[A]

Minors[A]

Luego el rango es 3, y la dimensión del espacio de las soluciones es 4-3=1, y, para encontrar una base,

w = Transpose[{{x, y, z, t}}]

Solve[
      A . w == Transpose[{{0, 0, 0, 0}}], {x, y, z, t}]

Luego todos los vectores de la recta vectorial de las soluciones son de la forma
(4 t ,  -t ,  -t ,  t) = t  (4, -1, -1, 1)
y  (4, -1, -1, 1)  es una base de este espacio.

13.  Obtener la dimensión y una base del 
 espacio vectorial definido por la ecuación matricial(({{1, 2, 3, 1, 7}, {2, 1, 0, -7, -4}, {1, 1, 3, 0, 5}, {3, 1, 2, -9, -3}, {7, 5, 8, -15, 5}}))(({{x}, {y}, {z}, {t}, {u}}))=(({{0}, {0}, {0}, {0}, {0}})).

Clear["@"]

A=(({{1, 2, 3, 1, 7}, {2, 1, 0, -7, -4}, {1, 1, 3, 0, 5}, {3, 1, 2, -9, -3}, {7, 5, 8, -15, 5}}))

Det[A]

Minors[A]

Minors[A, 2]

Luego el rango es 5-2=3, y la dimensión del espacio de las soluciones es 5-3=2, y, para encontrar una base,

w = Transpose[{{x, y, z, t, u}}]

Solve[
      A . w == Transpose[{{0, 0, 0, 0, 0}}], {x, y, z, t, 
        u}]

Luego todos los vectores de la recta vectorial de las soluciones son de la forma
(4 t + 3 u ,  -t - 2 u ,  -t - 2 u ,  t, u) = t  (4, -1, -1, 1, 0) + u (3, .2, .2, 0, 1)
y  {(4, -1, -1, 1,0),  (3, .2, .2, 0, 1)}  es una base de este espacio.

14. Obtener la dimensión y una base del  espacio vectorial definido por la ecuación matricial b . a(({{x}, {y}, {z}, {t}}))=(({{0}, {0}, {0}, {0}})). (Nota: aprovechar los cálculos que ya se han hecho a lo largo de esta práctica).