Práctica num. 5 (y6) de Fund. Matemáticos 
Estudio Medio Ambiente

Producto escalar, norma, ángulo y distancia

(*Recordemos que el producto escalar de dos vectores *) 
v = {1, 2} ;

    w = {3, 4}  ;

v . w

(*y que la norma viene dada por la raíz cuadrada del producto escalar *)

(Sqrt[v . v])

Si vas a usar la norma muchas veces, es buena idea usarla como una función definida sobre vectores:

norma[v_] := (Sqrt[v . v])

Recordemos también que si  θ es el ángulo entre los vectores no nulos a y b, entonces
			cos θ=((a·b)/(|a||b|))

Problema : Encontrar el ángulo que forman los vectores a=(6, -3, 2),b=(2, 1, -2).  (Encontrar primero una expresión exacta y, después, una aproximada, primero en radianes y luego en grados).

a = {6, -3, 2}; b = {2, 1, -2};

Note you don't need to put the semicolon — it justs prevents Mathematica repeating the vectors you enter back to you.

theta = ArcCos[a . (b/(norma[a]*norma[b]))]

Esta es la expresión exacta.  La respuesta aproximada:

N[theta]

        N[theta*(180/π)]

Problema: Determinar, en grados y en radianes, los tres ángulos del triángulo de vértices P(0, -1, 6),  Q(2, 1, -3),  
      R(5, 4, 2).

Para introducirle los datos a Mthematica, es mejor usar letras minúsculas

p = {0, -1, 6}; q = {2, 1, -3}; r = {5, 4, 2};

El ángulo en cada vértice es el águlo entre los vectores que unen ese vértice con los otros dos.

angulop = 
      ArcCos[(q - p) . (((r - p))/(norma[q - p]*norma[r - p]))]

{N[angulop],  N[angulop*(180/π)]}

anguloq = 
      ArcCos[(r - q) . (((p - q))/(norma[r - q]*norma[p - q]))]

{N[anguloq],  N[anguloq*(180/π)]}

angulor = 
      ArcCos[(q - r) . (((p - r))/(norma[q - r]*norma[p - r]))]

{N[angulor],  N[angulor*(180/π)]}

Si quieres ver el aspecto del triángulo:

Show[
        Graphics3D[{Text[P, p], Text[Q, q], Text[R, r], 
            Polygon[{p, q, r}]}]];

Show[
        Graphics3D[{Text[P, p], Text[Q, q], Text[R, r], 
            Line[{p, q, r, p}]}]];

Problem: Determinar cuando los vectores dados son ortogonales, paralelos o nada: a=(6, -1, 5),b=(6, -8, 2)

Clear[a, b]

a = {6, -1, 5}; b = {6, -8, 2};

Primero queremos comprobar si son ortogonales

a . b == 0

Es bastante claro que no son paralelos. Pero comprobémoslo. Un modo de hacerlo es cada componente de  a por la correspondiente componente de b:

a/b

Como da diferentes respuestas, los vectores no son paralelos.  También podríamos haber calculado el ángulo entre los vectores y comprobar que no es ni (π/2) ni 0.
Podemos ilustrar esto con una gráfica

origen = {0, 0, 0}

<< Graphics`PlotField3D`

ListPlotVectorField3D[{{origen, a}, {origen, b}}, 
        VectorHeads -> True, Boxed -> False ];

El dibujo solo deja claro que estos vectores no son paralelos

Proyecciones

Proyección del vector b sobre un espacio vectorial V generado un vector a:		(Subscript[π, V])b=((a·b )/( |a\( | \^2\)))a
Proyección del vector b sobre un espacio vectorial V generado por dos vectores ortogonales u y v 
			(Subscript[π, V])b=((b . u )/( |u\( | \^2\)))u+((b . v )/( |v\( | \^2\)))v
Proyección del vector b sobre el complementario ortogonal de un espacio vectorial V 
			(Subscript[π, (V^(∣─))])b= b - (Subscript[π, V])b

Problema:Encontrar la proyección de b=(4,1,1) sobre los espacios generados por a=(2,3,1) y por u=(2,0,1), v=(-1,1,2) respectivamente

Clear[a, b, origen]

a = {2, 3, 1}; b = {4, 1, 1};
u = {2, 0, 1}; v = {-1, 1, 2};

piVa = (b . a)/norma[a]^2 a
piVuv = (b . u)/norma[u]^2 u  +  (b . v)/
            norma[v]^2 v

Los siguientes dibujos pueden dar una idea

origen = {0, 0, 0}

Show[
      ListPlotVectorField3D[{{origen, b}, {origen, piVa}, {origen, piVuv}}, 
        VectorHeads -> True ,  Boxed -> False], 
      Graphics3D[{Hue[0], Line[{origen, 1.2  a}],  
          Polygon[{-u - v, u - v, u + v, -u + v}]}], 
      ViewPoint -> {2.232,  0.718,  -5.252}]

Problema: a)Encontrar la proyección ortogonal de v=(4,1,1) sobre el espacio vectorial ortogonal a (2,3,1). b) Encontrar la proyección ortogonal de v= (3,2,2) sobre el espacio vectorial generado por los vectores u=(2,3,1) y  v=(-1,1,2).

Producto vectorial

Problema: Encontrar el producto vectorial de a por b, a=(1, 2, 0),b=(0, 3, 1)

Clear[a, b]

a = {1, 2, 0};

b = {0, 3, 1};

Cross[a, b]

Propiedades interesantes

El vector u×v es ortogonal a u and v.

Dos vectores no nulos u y v son paralelos si y solo si 
				u×v=0

La norma del producto vectorial a×b es igual al área del paralelogramo determinado por a y b.

El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores  a, b y c es el módulo del triple producto:
				V=|a·(b×c)|

Problema: Encontrar un vector ortogonal al plano que pasa por los puntos P,Q y R y encontrar el área del triángulo PQR. P(1, 0, -1),  Q(2, 4, 5),  R(3, 1, 7)

Clear[p, q, r]

p = {1, 0, -1};

q = {2, 4, 5};

r = {3, 1, 7};

Para encontrar un vector ortogonal al plano, tomamos el producto vectorial de dos vectores del plano no paralelos.

pq = q - p

pr = r - p

n = Cross[pq, pr]

Ahora, el área del triángulo PQR es la mitad del área del paralelogramo determinado por los vectores (OverVector[PQ]) y (OverVector[PR]), es decir, la mitad de la norma de n.

areaPQR = norma[n]/2

Problema: Envontrar el volumen del paralelepípedo determinado por  a, b y c. a=(1, 0, 6),b=(2, 3, -8),c=(8, -5, 6)

Clear[a, b, c]

a = {1, 0, 6};

b = {2, 3, -8};

c = {8, -5, 6};

vol = Abs[a . (b\[Cross]c)]

Ejercicios

1—2 □ Determinar el ángulo entre los vectores

1)	v=(1, 2),w=(-2, -3)

2)	v=(1, 2, 3),w=(1, -2, -3>)

3 □ Determinar, en radianes y en grados, los ángulos del triángulo PQR.  Dibujar el triángulo.

3)	P(1, 2, 3), Q(0, 0, 4), R(-5, 6, -3)

4—5□ Determinar si los siguientes pares de vectores son  ortogonales, paralelos o nada.

4)	a=(6, 2),b=(4, -3)

5)	a=(3, -7, 2),b=(10, 11, 15)

6 □ Encontrar la proyección ortogonal de a sobre el espacio vectorial generado por  b.

6)	a=(7, 2),b=(4, -3)

7—8□ Encontrar un vector normal unitario ortogonal al plano que contiene lo siguiene (Sugerencia: primero encontrar un vector ortogonl al plano, y despues dividir por su norma para obtener un vector unitario).

7)	Los puntos P(2, 3, 4), Q(-1, 2, 1), R(4, 0, -1).

8)	El punto P(2, 3, 4), y la recta L que pasa por el origen y es paralela al vector v=<1,0,2>.

9 □ Encontrar el área del paralelogramo generado por los siguientes vectores.

9)	a=(1, 0, 1),b=((3/2), -1, 2)

10 □ Encontrar el volumen del paralelepípedo generado por los siguientes vectors.

10)	a=(0, 0, 1),b=(2, 0, 1),c=(5, 4, 3)