MATEMÁTICAS ECONÓMICO-EMPRESARIALES
ESQUEMAS Y REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

INDICACIONES SOBRE LOS ESQUEMAS Y LAS REFERENCIAS

    En estas páginas se recogen los esquemas de los temas que componían el programa de la asignatura Matemáticas para Economistas I del plan 1993, pero que pueden ajustarse en buena medida al de la asignatura troncal Matemáticas económico-empresariales. Cada esquema ha de entenderse como una guía para preparar el tema. Proporciona una estructura sobre la que organizar la información extraída de los apuntes, tanto del módulo práctico como del módulo teórico, información que debe completarse y complementarse con la bibliografía recomendada y con el uso de las horas de tutoría para resolver dudas.

    En cuanto a las referencias bibliográficas que aparecen en los esquemas, se muestran las páginas que contienen los conceptos básicos de los distintos epígrafes, aunque también puede encontrarse en esas páginas material de importancia secundaria. Se ha subrayado la bibliografía considerada, en términos relativos, más útil para apoyar las explicaciones de clase. Los criterios tenidos en cuenta para determinar esa idoneidad han sido, entre otros: la sencillez expositiva; la adaptación a los requerimientos de la asignatura; la mejor disponibilidad de la misma; etc. Sin embargo, por el empleo de distintos libros es normal encontrarse con una notación diferente. Quedará en función de la iniciativa del estudiante el hecho de consultar, o no, más de una referencia para completar los apuntes tomados en clase. Por este motivo y por si existieran problemas de acceso a bibliografía recomendada, se ha incluido en cada tema unas referencias de varios manuales, no siendo necesaria la consulta de todos ellos para cumplir los objetivos marcados por la asignatura. Se trata de consultar el número suficiente de referencias para que los conceptos incluidos en cada tema queden finalmente claros y aprendidos. Si se consigue esto con la lectura de un sólo manual no sería necesaria la lectura de otros. Es posible que algunos manuales no contemplen parte de los conceptos recogidos en los esquemas, por lo que en estos casos sí será necesario el uso de más de un manual para completar las explicaciones.

    En cada esquema, se incluye una relación de ejercicios resueltos con el fin de ayudar a la comprensión de los conceptos tratados en el tema, así como para complementar los ejemplos tratados en las clases impartidas.

    En cuanto al Tema 1, se incorpora una bibliografía extensa, aunque los conceptos que se utilicen de dicho tema en la parte de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral se tratarán en su oportuno momento. Por este motivo, los ejercicios propuestos que aparecen en el esquema del tema 1 para los epígrafes 2 al 5 sólo tienen como objeto ayudar a comprender mejor los conceptos teóricos.


TEMA 1.- NOCIONES BÁSICAS DE ÁLGEBRA LINEAL.

1.- MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES.

1.1.- Matrices.

1.2.- Determinantes. 1.3.- Sistemas de ecuaciones. 2.- ESPACIOS VECTORIALES.

2.1.- Definición de espacio vectorial.
2.2.- Combinación lineal de vectores.
2.3.- Independencia y dependencia lineales.
2.4.- Sistema de vectores generador de un espacio vectorial.
2.5.- Base de un espacio vectorial.
2.6.- Subespacio vectorial. Caracterización.
2.7.- Base canónica de Rn.

Bibliografía:

3.- APLICACIONES LINEALES.

3.1.- Definición.
3.2.- Representación matricial de una aplicación lineal respecto a las bases canónicas.
3.3.- Operaciones con aplicaciones lineales.
3.4.- Endomorfismos. Definición.

Bibliografía:

4.- DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES.

4.1.- Autovalores y autovectores de un endomorfismo (valores y vectores propios).
4.2.- Diagonalización de matrices reales simétricas.

Bibliografía:

5.- FORMAS CUADRÁTICAS.

5.1.- Definición.
5.2.- Representación matricial.
5.3.- Signo de una forma cuadrática.
5.4.- Métodos de determinación del signo de una forma cuadrática.
5.5.- Signo de una forma cuadrática restringida a un subespacio.
5.6.- Métodos de determinación del signo de una forma cuadrática restringida a un subespacio.

Bibliografía:

OTRAS FUENTES BIBLIOGRÁFICAS DEL TEMA:

ABORSSTT, pp. 1-22, 97-101.
B, pp. 235-306, 310-334.
CH, pp. 57-129.
GG3, pp. 60-145, 147-219, 251-257.
GL, Capítulos 9, 10, 11, 12 y 13, pp. 681-699.
HV, pp. 1-22, 53-72, 133-156, 223-311, 315-334.
LV1, pp. 35-127, 137-158.
SPRA, pp. 3-31, 55-100, 103-107, 119-152, 163-181, 203-237, 247-265.

EJERCICIOS RESUELTOS:

ABORSSTT, pp. 31-95, 102-131, 146-166.
CCGGRR, Atendiendo a la guía recogida en las páginas 19, 45, 83 y 125, elija los problemas que estime oportuno para ayudar a la comprensión de los subepígrafes del esquema. Capítulos 1, 2, 3, 4.
CLGM1 y 2, Elija ejercicios del Tomo I y II.
CH, pp. 117-129.
G, pp. 89-90,135-137,158-161,176-179,211-212, 251-259.
HV, pp. 23-51, 73-132, 157-222, 238-268, 335-360.
LV2, Elija los problemas que estime oportuno para ayudar a la comprensión de los subepígrafes del esquema. Capítulos 1, 2, 3, 4, y 5.
MDMG, pp. 47-48, 51-65, 103-106, 271-276.
SH, Elija los problemas que estime oportuno para ayudar a la comprensión de los subepígrafes del esquema. Capítulos 12, 13, 14 y 15. La solución, a veces comentada, de los problemas impares se encuentra en pp. 730-740. 


TEMA 2.- LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES.

1.- NOCIONES TOPOLÓGICAS EN Rn.

Producto escalar.
Norma euclídea.
Distancia euclídea.
Bola abierta.
Bola cerrada.
Bola reducida.
Punto interior.
Interior de un conjunto.
Conjunto abierto.
Punto exterior.
Conjunto exterior.
Punto frontera.
Frontera de un conjunto.
Punto adherente.
Adherencia de un conjunto.
Conjunto cerrado.
Propiedades de conjuntos abiertos y cerrados.
Punto de acumulación.
Conjunto derivado.
Punto aislado.

Bibliografía:

2.- FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES.

2.1.- Función real de variable real.

2.2.- Función real de n variables reales (de variable n-dimensional). 2.3.- Función vectorial. 2.4.- Álgebra de funciones. Bibliografía: 3.- LÍMITES Y CONTINUIDAD.

3.1.- Límite de una función.

3.2.- El límite doble (límite de una función real de dos variables). 3.3.- Continuidad de una función. Bibliografía:
OTRAS FUENTES BIBLIOGRÁFICAS DEL TEMA:
C, pp. 13-23.
B2, pp. 17-63.
BGG1, pp. 9-13, 20-42, 51-81, 91-94.
GG2, pp. 13-40, 61-84.
LV, pp. 127-134, 353-364.
SPRA, pp. 293-305, 325-336, 607-617.
EJERCICIOS RESUELTOS:

CCGGRR, Atendiendo a la guía recogida en las páginas 175 y 199, elija los problemas que estime oportuno para ayudar a la comprensión de los subepígrafes del esquema. Capítulos 5, 6.
G, pp. 321-322.
LHE1, Las páginas 705-756 contienen sólo la solución de los ejercicios impares propuestos en los 10 primeros capítulos.
LHE2, Las páginas 1297-1339 contienen sólo la solución de los ejercicios impares propuestos en los capítulos 11 a 18.
LV2, Elija los problemas que estime oportuno para ayudar a la comprensión de los subepígrafes del esquema. Capítulos 6, 7, 8.
SH, Elija los problemas que estime oportuno para ayudar a la comprensión de los subepígrafes del esquema. Capítulos 2, 3; epígrafes C.1, 4.4, 6.1, 6.2, 6.7, 7.5, 8.1, 8.2 y 15.2. La solución, a veces comentada, de los problemas impares se encuentra entre las pp. 708-764.
VGGH, pp. 25-43, 76-107, 118-132.


TEMA 3.- DERIVABILIDAD DE FUNCIONES.

1.- DERIVADAS PARCIALES.

Definición.
Análisis marginal e interpretación.
Vector gradiente.
Matriz Jacobiana.

Bibliografía:

2.- DERIVADAS DIRECCIONALES.

Definición.
Interpretación.
Relaciones entre continuidad, derivabilidad y existencia de derivadas direccionales.

Bibliografía:

3.- DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.

Definición.
Matriz hessiana.
Teorema de Schwartz.
Funciones de clase q.

Bibliografía:

OTRAS FUENTES BIBLIOGRÁFICAS DEL TEMA:

Se pueden encontrar en el tema 4.

EJERCICIOS RESUELTOS:

CCGGRR, Atendiendo a la guía recogida en la página 213, elija los problemas que estime oportuno para ayudar a la comprensión de los subepígrafes del esquema. Capítulo 7.
G, pp. 419-421.
LHE1, Las páginas 705-756 contienen sólo la solución de los ejercicios impares propuestos en los 10 primeros capítulos.
LHE2, Las páginas 1297-1339 contienen sólo la solución de los ejercicios impares propuestos en los capítulos 11 a 18.
LV2, Elija los problemas que estime oportuno para ayudar a la comprensión de los subepígrafes del esquema. Capítulos 9, 10, 11, y 12.
SH, Elija los problemas que estime oportuno para ayudar a la comprensión de los subepígrafes del esquema. Capítulo 4, epígrafes 5.1, 6.3, 8.3, 15.3 a 15.6, 16.1. La solución, a veces comentada, de los problemas impares se encuentra entre las pp. 708-764.
VGGH, pp. 169-197, 284.


TEMA 4.- DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES.

1.- DIFERENCIABILIDAD DE UNA FUNCIÓN.

1.1.- Funciones reales de n variables.

1.2.- Funciones vectoriales. Bibliografía: 2.- APLICACIÓN DIFERENCIAL.

2.1.- Funciones reales de n variables.

2.2.- Funciones vectoriales. Bibliografía: 3.- RELACIONES ENTRE CONTINUIDAD, DERIVABILIDAD Y DIFERENCIABILIDAD. Bibliografía: 4.- ÁLGEBRA DE FUNCIONES DIFERENCIABLES. Bibliografía: ANEXO

a.- Diferenciación sucesiva.
b.- Derivadas direccionales sucesivas.

Bibliografía:

OTRAS FUENTES BIBLIOGRÁFICAS DE LOS TEMAS 3 y 4:

C, pp. 23-48, 60-63.
CH, 184-210.
B2, pp. 63-166, 196-214.
BGG1, pp. 97-116, 127-128, 145-163, 171, 180.
GG2, pp. 205-225.
LV, pp. 364-407.
SPRA, pp. 617-638, 640-645, 651-655.

EJERCICIOS RESUELTOS:

CCGGRR, Atendiendo a la guía recogida en la página 213, elija los problemas que estime oportuno para ayudar a la comprensión de los subepígrafes del esquema. Capítulo 7.
G, pp. 421-426.
LHE1, Las páginas 705-756 contienen sólo la solución de los ejercicios impares propuestos en los 10 primeros capítulos.
LHE2, Las páginas 1297-1339 contienen sólo la solución de los ejercicios impares propuestos en los capítulos 11 a 18.
LV2, Elija los problemas que estime oportuno para ayudar a la comprensión de los subepígrafes del esquema. Capítulos 9, 10, 11, y 12.
SH, Elija los problemas que estime oportuno para ayudar a la comprensión de los subepígrafes del esquema. Epígrafes 5.4, 16.8. La solución, a veces comentada, de los problemas impares se encuentra entre las pp. 708-764.
VGGH, pp. 220-232, 238-241.


TEMA 5.- FUNCIÓN COMPUESTA, FUNCIÓN IMPLÍCITA Y FUNCIÓN HOMOGÉNEA.

1.- FUNCIÓN COMPUESTA.

1.1.- Introducción.
1.2.- Definición de función compuesta.
1.3.- Diferencial de la función compuesta: La regla de la cadena.

Bibliografía:

2.- FUNCIONES HOMOGÉNEAS.

2.1.- Definición de función homogénea.
2.2.- Propiedades de la función homogénea. Teorema de Euler para funciones homogéneas.

Bibliografía:

3.- FUNCIONES IMPLÍCITAS.

3.1.- Introducción.
3.2.- Función implícita definida por una ecuación.

3.3.- Funciones implícitas definidas por sistemas de ecuaciones.
3.4.- Dependencia funcional.

Bibliografía:

 OTRAS FUENTES BIBLIOGRÁFICAS DEL TEMA:
C, pp. 48-60.
CH, 210-232.
B2, pp. 167-195, 215-228.
BGG1, pp. 199-207, 214-227, 233-243.
GG2, pp. 141-144, 153-175.
LV, pp. 408-421.
SPRA, pp. 655-666, 711-716.
EJERCICIOS RESUELTOS:

CCGGRR, Atendiendo a la guía recogida en las páginas 213 y 273, elija los problemas que estime oportuno para ayudar a la comprensión de los subepígrafes del esquema. Capítulo 7 y 8.
G, pp. 451-453.
LHE1, Las páginas 705-756 contienen sólo la solución de los ejercicios impares propuestos en los 10 primeros capítulos.
LHE2, Las páginas 1297-1339 contienen sólo la solución de los ejercicios impares propuestos en los capítulos 11 a 18.
LV2, Elija los problemas que estime oportuno para ayudar a la comprensión de los subepígrafes del esquema. Capítulos 9, 10, 11, y 12.
SH, Elija los problemas que estime oportuno para ayudar a la comprensión de los subepígrafes del esquema. Epígrafes 5.2, 5.3, 16.1, 16.2, 16.3, 16.5, 16.6, 16.7, 16.9 y 16.10. La solución, a veces comentada, de los problemas impares se encuentra entre las pp. 708-764.
VGGH, pp. 232-238, 241-244, 351-356, 364-369.


TEMA 6.- INTRODUCCIÓN A LA OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA.

1.- MODELOS ECONÓMICOS Y OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA.

Bibliografía:

2.- PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA.

Bibliografía:

3.- CONCEPTO DE ÓPTIMO.

3.1.- Concepto de óptimo:

3.2.- Teorema de Weierstrass (Teorema del valor extremo).

Bibliografía:

4.- OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES.

4.1.- Planteamiento del problema.
4.2.- Condición necesaria de óptimo local. Definición de punto de silla.
4.3.- Condición suficiente para funciones de clase 2:

Bibliografía: 5.- OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES.

5.1.- Planteamiento del problema: Multiplicadores de Lagrange.

5.2.- Condición necesaria de óptimo local.
5.3.- Condición suficiente de óptimo local: 5.4.- Interpretación económica de los multiplicadores de Lagrange.

Bibliografía:

 ANEXO.- NOCIONES DE CONVEXIDAD Y CONDICIONES DE ÓPTIMO GLOBAL.

Convexidad de conjuntos.
Convexidad y concavidad de funciones.
Teorema local-global.

Bibliografía:
 

OTRAS FUENTES BIBLIOGRÁFICAS DEL TEMA:

B1, pp. 17-37, 39-69, 75-167.
B2, pp. 63-166, 196-214.
BG, 1-102.
C, pp. 23-48, 60-63.
CH, 313-418.
GG2, 225-240, 244-255.
GU, 13-44, 47-56, 59-89.
HGBGV, 1-8, 15-26, 45-49, 77-90
LV1, pp. 423-488.
SPRA, pp. 677-697, 699-711.

EJERCICIOS RESUELTOS:
AJORSST, pp. 190-233.
B3, pp. 90, 199-205, 227-258.
CCGGRR, Atendiendo a la guía recogida en las páginas 355 y 401, elija los problemas que estime oportuno para ayudar a la comprensión de los subepígrafes del esquema. Capítulo 10 y 11.
CH, pp. 360-376, 408-418.
G, pp. 525-529.
LHE1, Epígrafe 4.10. (Repaso). Las páginas 705-756 contienen sólo la solución de los ejercicios impares propuestos en los 10 primeros capítulos.
LHE2, pp. 1067-1070, 1076-1077. Las páginas 1297-1339 contienen sólo la solución de los ejercicios impares propuestos en los capítulos 11 a 18.
LV2, Elija los problemas que estime oportuno para ayudar a la comprensión de los subepígrafes del esquema. Capítulo 13.
SH, Elija los problemas que estime oportuno para ayudar a la comprensión de los subepígrafes del esquema. Epígrafes 9.2 a 9.4, 17.1 a 17.4, 17.9, 18.1, 18.2, 18.3, 18.4, 18.5, 18.6. La solución, a veces comentada, de los problemas impares se encuentra entre las pp. 708-764.
VGGH, pp. 289-294, 310-326.

TEMA 7.- INTEGRAL RIEMANN

1.- INTRODUCCIÓN

Bibliografía:

2.- CONCEPTOS BÁSICOS Y DEFINICIÓN

Definición de integral Riemann.

Bibliografía:

3.- CONDICIONES SUFICIENTES DE INTEGRABILIDAD

3.1.- Teorema I. (Función integrando creciente).
3.2.- Teorema II. (Función integrando continua).
3.3.- Teorema III. (Función integrando continua excepto un nº finito de puntos).

Bibliografía:

4.- PROPIEDADES

4.1.- La integral de f sobre [a,b] coincide con el valor de la integral de f sobre [b,a], pero con signo contrario.
4.2.- La integral de f sobre [a,a] es nula.
4.3.- Dada una función, f , integrable Riemann y acotada en [a,b] que sea no negativa en ese mismo intervalo, su integral es no negativa.
4.4.- Aditividad de la integral respecto al intervalo de integración.
4.5.- Aditividad de la integral respecto al integrando.
4.6.- Sea f una función integrable Riemann en [a,b], y a Î R, entonces a ·f es integrable Riemann en [a,b].
4.7.- Valor medio integral (función integrando integrable Riemann).
4.8.- Teorema del valor medio integral (función integrando continua).

Bibliografía:

5.- FUNCIÓN INTEGRAL

5.1.- Definición
5.2.- Teorema fundamental

Bibliografía:

6.- CÁLCULO DE INTEGRALES

6.1.- Regla de Barrow
6.2.- Cálculo de primitivas
6.3.- Cambio de variable
6.4.- Integración por partes

Bibliografía:

Bibliografía cálculo primitivas:
OTRAS FUENTES BIBLIOGRÁFICAS DEL TEMA:

ABORSSTT, pp. 463-473, 499-511.
C, pp. 173-185.
GG1, pp. 129-185, 217-248, 253-308.
LV, pp. 298-324, 511-529.

EJERCICIOS RESUELTOS:

ABORSSTT, pp. 474-497, 515-549.
BGG2, pp. 131-133, 143-146.
CCGGRR, Atendiendo a la guía recogida en la página 503, elija los problemas que estime oportuno para ayudar a la comprensión de los subepígrafes del esquema. Capítulo 13.
LHE1, pp. 313-319. Las páginas 705-756 contienen sólo la solución de los ejercicios impares propuestos en los 10 primeros capítulos.
LV2, Elija los problemas que estime oportuno para ayudar a la comprensión de los subepígrafes del esquema. Capítulo 14 y pp. 149-188.
SH, Elija los problemas que estime oportuno para ayudar a la comprensión de los subepígrafes del esquema. Epígrafes 10.1 a 10.4, 11.1, 11.2. La solución, a veces comentada, de los problemas impares se encuentra entre las pp. 708-764.


TEMA 8.- INTEGRACIÓN IMPROPIA.

1.- INTRODUCCIÓN.

Bibliografía:

2.- INTEGRACIÓN EN INTERVALOS NO ACOTADOS. CRITERIOS DE CONVERGENCIA.

2.1.- Definición de integral impropia convergente.
2.2.- Definición de integral impropia divergente.
2.3.- Convergencia en R = (-¥ ,+¥ ).
2.4.- Valor principal de Cauchy.
2.5.- Propiedades de las integrales impropias.
2.6.- Criterio de convergencia a partir del cálculo de primitivas.

Bibliografía:

3.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES NO ACOTADAS. CRITERIOS DE CONVERGENCIA.

3.1.- Función no acotada a la izquierda de un punto.
3.2.- Función no acotada a la derecha de un punto.
3.3.- Definición de integral impropia de 2ª especie.
3.4.- Propiedades.

Bibliografía:

4.- INTEGRACIÓN IMPROPIA MIXTA.

Bibliografía:

OTRAS FUENTES BIBLIOGRÁFICAS DEL TEMA:

BU, pp. 280-288, 303-306.
C, pp. 188-204.
CGOP, 63-83.
GG1, pp. 249-256.

EJERCICIOS RESUELTOS:

BGG2, pp. 166-169.
CCGGRR, Atendiendo a la guía recogida en la página 535, elija los problemas que estime oportuno para ayudar a la comprensión de los subepígrafes del esquema. Capítulo 14.
G, 608-610.
LHE1, Ejercicios propuestos, pp. 586-588. Las páginas 705-756 contienen sólo la solución de los ejercicios impares propuestos en los 10 primeros capítulos.
LV2, Elija los problemas que estime oportuno para ayudar a la comprensión de los subepígrafes del esquema. Capítulo 14.
SH, Elija los problemas que estime oportuno para ayudar a la comprensión de los subepígrafes del esquema. Epígrafes 11.3 a 11.4. La solución, a veces comentada, de los problemas impares se encuentra entre las pp. 708-764.


TEMA 9.- INTEGRACIÓN MÚLTIPLE.

1.- INTRODUCCIÓN.

Bibliografía:

2.- INTEGRAL RIEMANN DE FUNCIONES DE N VARIABLES.

Bibliografía:

3.- INTEGRALES DOBLES SOBRE DOMINIOS RECTANGULARES: TEOREMA DE FUBINI.

3.1.- Integral doble sobre dominios rectangulares. Teorema de Fubini.
3.2.- Condiciones suficientes de integrabilidad.
3.3.- Propiedades de la integral doble:

3.4.- Cálculo de integrales dobles. Teorema de Fubini.
3.5.- La integral doble como un volumen.

Bibliografía:

4.- INTEGRALES DOBLES SOBRE DOMINIOS MÁS GENERALES. CAMBIOS DE VARIABLES.

4.1.- Cálculo de la integral doble si D no es rectangular.
4.2.- Cambio de variables.

Bibliografía: 5.- INTEGRALES DOBLES IMPROPIAS.

5.1.- Integrales dobles impropias de 1ª especie.
5.2.- Integrales dobles impropias de 2ª especie.

Bibliografía:

OTRAS FUENTES BIBLIOGRÁFICAS DEL TEMA:

BU, pp. 259-261.
C, pp. 204-210.
CGOP, 87-106.
GG1, pp. 11-63.
LV1, pp. 534-539.

EJERCICIOS RESUELTOS:

BGG2, pp. 189-195.
CCGGRR, Atendiendo a la guía recogida en la página 535, elija los problemas que estime oportuno para ayudar a la comprensión de los subepígrafes del esquema. Capítulo 14.
LHE2, Las páginas 1297-1339 contienen sólo la solución de los ejercicios impares propuestos en los capítulos 11 a 18.
LV2, Elija los problemas que estime oportuno para ayudar a la comprensión de los subepígrafes del esquema. Capítulo 14.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 
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© Juan Manuel Pérez-Salamero González