TEMA 2.- ANÁLISIS CONVEXO

2.1.- Convexidad de conjuntos.

2.1.1.- Nociones previas.

2.1.2.- Concepto de conjunto convexo.
2.1.3.- Propiedades de los conjuntos convexos.  2.1.4.- Hiperplanos, semiespacios y otros conjuntos convexos.  2.1.5.- Conceptos y teoremas sobre hiperplanos de separación e hiperplanos soporte.  2.1.6.- Envoltura convexa. 2.2.- Convexidad de funciones.

2.2.1.- Conceptos y relaciones inmediatas.

2.2.2.- Propiedades. 2.2.3.- Caracterizaciones de la concavidad y de la convexidad.
f cóncava en S « (x-x0)tÑ f(x0)³ f(x)-f(x0) " x0, xÎ S
 2.2.4.- Concavidad y convexidad de funciones compuestas.  2.2.5.- Análisis convexo en optimización. 2.3.- Extensiones de la convexidad en conjuntos.

2.3.1.- Conjuntos estrictamente convexos.

 2.3.2.- Conos convexos. 2.4.- Extensiones de la convexidad en funciones.

2.4.1.- Funciones pseudocóncavas y pseudoconvexas. Definiciones. Propiedades.

DEFINICIONES:  PROPIEDADES: 2.4.2.- Caracterización de funciones pseudocóncavas y pseudoconvexas.
CONDICIONES SUFICIENTES:
(-1)r hr* ³ 0 con (-1)r hr ³ 0 si hr* = 0, " xÎ S, " rÎ {1,¼ ,n}
¯
f pseudocóncava.
(-1)r hr* ³ 0 con (-1)r hr > 0 si hr* = 0, " xÎ S, " rÎ {1,¼ ,n}
¯
f estrictamente pseudocóncava.
hr* £ 0 con hr ³ 0 si hr* = 0, " xÎ S, " rÎ {1,¼ ,n}
¯
f pseudoconvexa.
 hr* £ 0 con hr > 0 si hr* = 0, " xÎ S, " rÎ {1,¼ ,n}
¯
f estrictamente pseudoconvexa.
(-1)rHr*>0, " xÎ S," rÎ {1,¼ ,n}® f estric. pseudocóncava.
Hr* < 0, " xÎ S, " rÎ {1,¼ ,n}® f estric. pseudoconvexa.

2.4.3.- Pseudoconcavidad y pseudoconvexidad de funciones compuestas.

Dada la función compuesta de dos funciones diferenciables, F(x)=g[f(x)], definida en S:  2.4.4.- Funciones cuasicóncavas y cuasiconvexas. Definiciones y propiedades. DEFINICIONES: PROPIEDADES:  2.4.5.- Caracterización de funciones cuasicóncavas y cuasiconvexas.



 CONSECUENCIAS CARACT. C1:

CONDICIÓN NECESARIA:
f cuasicóncava en S ® (-1)r hr* ³ 0, " xÎ S, " rÎ { 1,¼ ,n}
f cuasiconvexa en S ® hr* £ 0, " xÎ S, " rÎ { 1,¼ ,n}
CONDICIÓN SUFICIENTE:
(-1)rHr*>0," xÎ S," rÎ { 1,¼ ,n} ® f estr. cuasicóncava en S
Hr*< 0," xÎ S," rÎ { 1,¼ ,n} ® f estr. cuasiconvexa en S

2.4.6.- Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad de funciones compuestas y homogéneas.

Dada la función compuesta de dos funciones diferenciables, F(x)=g[f(x)], definida en S, convexo y no vacío: 2.4.7.- Análisis convexo generalizado en optimización.
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© Juan Manuel Pérez-Salamero González