En esta Tesis de Licenciatura se lleva a cabo el estudio de un problema determinado de optimización dinámica y sus aplicaciones en el campo de la Ciencia Económica.
Un problema de optimización consiste, fundamentalmente, en la búsqueda de un extremo de una función o un funcional objetivo que proporcione un máximo o un mínimo para esa función. Cuando se habla de optimización dinámica hay que incorporar el factor tiempo al problema, en todas y cada una de las diferentes variables que intervienen, lo que afectará a los modelos matemáticos que se empleen para representar el comportamiento y las relaciones existentes entre dichas variables. También afecta al funcional objetivo a optimizar. Así, los modelos matemáticos vendrán expresados en forma de sistemas de ecuaciones diferenciales (las variables evolucionan de forma contínua en el tiempo), o en sistemas de ecuaciones en diferencias (evolución en tiempo discreto).
Las técnicas de Optimización Dinámica podrían agruparse en las adscritas a la Programación Dinámica, y en las propias de la aproximación variacional (Cálculo de Variaciones, Teoría del Control Optimo). Se van a mostrar las que proporciona la Teoría del Control Optimo la cual, a partir de los años 60, tras el enunciado del Principio del Máximo de Pontryagin, se ha desarrollado superando algunas de las dificultades con las que se encontraban las técnicas del Cálculo de Variaciones.
Los elementos esenciales de un problema de control óptimo son un modelo matemático a controlar, un resultado deseado para ese modelo, un conjunto de controles admisibles y un funcional de coste o de beneficio que mida si la acción de control ha sido efectiva. A modo de ejemplos de problemas de control óptimo de sistemas económicos, se puede citar el control de la inflación y la tasa de desempleo por parte del Gobierno de una nación, empleando para ese fin las variables instrumentales oportunas (medidas de política fiscal y de política monetaria). Otro problema sería el alcanzar en el mínimo tiempo el mayor beneficio actualizado de una empresa; o bien, la búsqueda del mayor valor presente de una determinada cartera de valores fijado un intervalo de tiempo para su obtención.
Cuando se habla de un problema de control con estabilización se está haciendo referencia a un determinado tipo de problema de control. En general, en un problema de C.O. (Control Optimo) con estabilización se intentará alcanzar un output, determinado o no, en un intervalo de tiempo, fijado o no, mediante unos controles o inputs, logrando simultáneamente la disminución de las fluctuaciones u oscilaciones de todas las variables que intervienen en los sistemas que se pretende estabilizar. Fluctuaciones, por otra parte, comunes a la mayoría de las variables económicas, tanto a nivel macroeconómico como a nivel microeconómico.
Por la imposibilidad de abordar el estudio de la estabilización de todo tipo de modelos económicos dinámicos se ha restringido el análisis al caso concreto de los modelos económicos dinámicos deterministas lineales y en tiempo contínuo sin restricciones sobre las variables de estado que, además, van a permitir aplicar técnicas de C.O. más sencillas, en la medida en que se puede operar matemáticamente con menor dificultad.
El problema concreto, pues, que se va a abordar es el llamado Problema Lineal Cuadrático en su versión contínua. Lineal porque se trabaja con sistemas lineales; cuadrático porque el funcional objetivo es una función cuadrática (suma de los cuadrados de las desviaciones de las variables respecto a sus niveles deseados). La solución que se obtiene es una regla de acción en la que las variables de control o instrumentales son función lineal de las variables que se quieren controlar (variables de estado).
Ya expresado cuál es el objeto de análisis, se especifican a continuación los objetivos concretos que se han perseguido:
El objeto a análisis y los objetivos ya se han comentado. En el capítulo 1 se mostrará la importancia de la incorporación del tiempo en el proceso de modelización de los fenómenos económicos. Así, se recogen los factores que conviene tener en cuenta a la hora de construir un modelo dinámico, así como una clasificación, no exhaustiva de dichos modelos en función de los parámetros que delimitarán el tipo de sistemas dinámicos que se van a utilizar (modelos dinámicos lineales deterministas en tiempo contínuo). Algunos conceptos relacionados con la estabilidad de los sistemas dinámicos en tiempo contínuo se desarrollan después, tanto para modelos con coeficientes constantes como para modelos de coeficientes variables, bien sean lineales o no. Se hablará de la estabilidad de un punto de equilibrio de un determinado sistema dinámico, estableciéndose una serie de condiciones para asegurar dicha estabilidad.
En el capítulo 2 se explica en qué consiste un problema de control, cuáles son sus elementos. En la resolución de este problema se van a seguir unos pasos análogos a los que se siguen en el caso estático de la Programación Clásica. Primero se construye un funcional objetivo; se aplican a continuación las condiciones necesarias para obtener los puntos críticos, posibles extremos del funcional; y, por último, se determina el carácter de estos puntos críticos al aplicar las condiciones suficientes. Al inicio de este segundo capítulo se hace una breve introducción al problema general del Cálculo de Variaciones, obteniendo las condiciones necesarias de extremo para ese caso. La solución para el problema general de C.O. se obtiene a partir del Principio del Máximo (mínimo) de Pontryagin (condiciones necesarias de máximo o mínimo), mostrando cómo puede derivarse éste del Cálculo de Variaciones. Una condición suficiente de máximo (mínimo) para el problema general de control se recoge en el epígrafe 2.2.3 , analizando las variaciones de segundo orden del funcional objetivo, aunque atendiendo a la concavidad (convexidad) del Hamiltoniano (análogo de la función lagrangiana en el caso estático) las condiciones necesarias pueden actuar también como suficientes.
La relación entre estabilidad y control óptimo se desarrolla en el epígrafe 2.3, dando lugar a un nuevo concepto de estabilidad. La controlabilidad y observabilidad de un sistema dinámico, propiedades fundamentales a la hora de la existencia de la solución del problema de control óptimo, se tratan en el epígrafe 2.4 para el caso de modelos dinámicos lineales deterministas y en tiempo contínuo.
El capítulo 3 desarrolla el problema concreto de control con estabilización de los modelos ya citados. Se analizan dos tipos de este problema: Modelos de Regulador Lineal, y Modelos de Seguimiento Lineal. Los primeros son un caso particular de los segundos, por lo que el planteamiento del problema del epígrafe 3.2 se realiza para el caso más general de los problemas de Seguimiento Lineal. Este consiste, en pocas palabras, en minimizar las desviaciones de las variables a controlar de un sistema dinámico en torno a unos niveles deseados, tratando de emplear al mínimo las variables de control. En el epígrafe 3.2 se justifica y se razona el porqué de la elección del funcional objetivo para este tipo de problema de control. Este funcional es una suma de formas cuadráticas de signo no negativo. Una nueva propiedad de los sistemas dinámicos surge tras el planteamiento del problema de control con estabilización: la "estabilizabilidad". Esta consiste en la existencia de una ley de control que sea estabilizadora del sistema, lo cual supone que el sistema dinámico que incluya esa ley de control es un sistema estable, tal y como se habrá definido la estabilidad en el epígrafe 2.3. Después se desarrolla el planteamiento y solución de los problemas de Regulador Lineal, y los de Seguimiento Lineal, tanto trabajando con variables de estado como cuando se desconocen los datos de éstas y es obligado el empleo de modelos que incorporen otras variables de las cuales sí se tiene información (variables output), considerando entonces la propiedad de observabilidad de los sistemas dinámicos. La solución obtenida, ley de control lineal feedback, va a pasar por la resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineal, llamado "ecuación de Riccati" que dará lugar a una matriz simétrica y definida positiva, siempre que el funcional sea la suma de formas cuadráticas de signo no negativo y que el sistema dinámico a controlar sea lineal.
En el capítulo 4 se van a presentar unos tipos de problemas económicos que pueden formalizarse como problemas de control con estabilización. Las aplicaciones empíricas se han agrupado en dos grupos. El primero hace referencia a la aplicación del Modelo de Seguimiento Lineal a modelos económicos del tipo multiplicador-acelerador, considerando un horizonte temporal infinito y bajo el conocimiento de los niveles a seguir para las variables de control consistentes con los correspondientes a las variables de estado. Esto último permite trabajar con desviaciones de las variables y, por tanto, acometer la solución del problema de Seguimiento lineal como si fuera uno de Regulador lineal. En el primer grupo de aplicaciones se realizará un sencillo análisis de sensibilidad de los parámetros de un modelo del tipo multiplicador-acelerador derivado a partir del desarrollado por HICKS (1939) y SAMUELSON (1950). Después, partiendo de un determinado modelo macroeconómico (PHILLIPS (1954,1957)) se consideran distintas políticas de gasto público para conseguir un nivel de Renta nacional de pleno empleo, y se comparan los resultados que proporcionan estas reglas fijas de control con los asociados a la ley feedback lineal de control óptimo, incidiendo en la convergencia hacia los valores deseados y la velocidad de ésta. El segundo grupo de aplicaciones ejemplifica un tipo de problema de control, el llamado "problema de producción e inventario", con un horizonte temporal finito, y su aplicabilidad a un problema económico concreto como es el de los excedentes comunitarios de leche. Se plantea como si fuera un problema de control, partiendo de una modelización muy intuitiva y no contrastada. Se persigue, fundamentalmente, mostrar cómo es posible obtener una solución aplicando las técnicas del control óptimo.
Visto el problema lineal cuadrático determinista en tiempo contínuo, y con controles no acotados en los capítulos tercero y cuarto, el capítulo 5 aborda las limitaciones que supone trabajar con este tipo de modelos, considerando uno por uno los supuestos en los que se había sustentado todo el desarrollo analítico de los dos capítulos inmediatamente anteriores. Así, los seis primeros epígrafes de este quinto capítulo muestran cómo se ven afectados el planteamiento y la solución del problema de control con estabilización, en los casos en que se trabaja con modelos en tiempo discreto (epígrafe 5.2), con modelos no deterministas (epígrafe 5.3), con modelos no lineales (epígrafe 5.4), con variables sometidas a algún tipo de restricción (epígrafe 5.6), o con agentes económicos que anticipan las acciones de control y varían su comportamiento en función de unas expectativas (epígrafe 5.5). Con la ruptura de los supuestos inicales sobre los que se sustentará el desarrollo del problema de control con estabilización de modelos económicos en tiempo contínuo, se van a hacer patentes las limitaciones de este planteamiento, como ya se podía sospechar. Otro tipo de cuestiones y limitaciones más concretas del planteamiento se recogen en el último epígrafe de este capítulo quinto. Entre otras, se señala la existencia de varios agentes decisores, en vez de uno sólo; algunos métodos de obtención de la función cuadrática objetivo; la cuestión de la obtención de datos, y su incidencia sobre la solución.
El capítulo sexto reune, de forma escueta, las conclusiones, analizando el grado de cumplimiento de los objetivos perseguidos, así como algunas consideraciones concretas derivadas del análisis del problema lineal cuadrático y de sus limitaciones.
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© 1990 Juan Manuel Pérez-Salamero
González
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