AMPLIACIÓ DE MÈTODES NUMÈRICS – Enginyeria Química – curs 2006-2007


Exercici 1:

Calcular analíticament la solució del sistema d'equacions {x2+y2=1, x2-y2=0'5}. Obtenir i simplificar les expressions per a la seua aproximació pel mètode de Newton. Obtenir el Jacobià del sistema i estudiar la zona de convergència d'aquest mètode. Aplicar-ho a partir del punt (1,3).


Exercici 2:

Resoldre el sistema d'equacions

10 x1 + 5x2 + 2x3 = 3

0'1x1 + 2x2 + x3 = 1

3x1 + 2x2 + 6x3 = 2

per eliminació gaussiana i per descomposició LU; comprovar que els dos mètodes són algebraicament equivalents i es realitzen les mateixes operacions aritmètiques.


Exercici 3:

1) Obtenir, utilitzant l'algoritme 3, els valors i vectors propis de

A =

2) Obtenir una aproximació al valor propi d'A amb màxim valor absolut utilitzant l'algoritme 4 amb

p(0)=i ε=0'1

  1. Obtenir els discs de Gerschgorin per a A i comprobar que tot valor propi està dins d'un disc i que una unió connexa de 2 discs conté exactament 2 valors propis.

(veure http://cellular.ci.ulsa.mx/comun/jesus/node29.html i http://www.maths.uq.edu.au/~asj/LINALG/gersch.pdf )


Exercici 4:

Reduit a una matriu semblant de Hessenberg superior, utilitzant l'algoritme 8, les matrius:

a) b)

  1. Aplicar l'algoritme 9 per a reduir la matriu de l'apartat (b) a una matriu semblant tridiagonal, i comprobar que s'obté el mateix resultat que amb l'algoritme 8.


Exercici 5:

Resoldre el sistema d'equacions normals per a obtenir la millor aproximació f* a f(x)=x2+x+1dins del subespai definit per les funcions base φ0(x)=1, φ1(x)=x,

a) amb la distància definida pel producte escalar discret en els nodos x0=-1, x1=0, x2=1 .

b) amb la distància definida pel producte escalar continu en l'interval [-1,1] .

Calcular en ambdós casos el residu ||f-f*||2 .

c) Intentar obtenir la millor aproximació f* dins del subespai anterior resolent el sistema Ma*=y, amb Mkj=φj(xk), yk=f(xk) amb la funció anterior i amb la funció f(x)=sin(πx/2)+cos(πx/2)+x2 . Calcular en el seu cas el residu ||f-f*||2 amb el producte escalar discret en els nodos de l'apartat (a)