1. Utilització de la Regla de Horner per a l'aplicació del Mètode de Newton d'aproximació a les arrels d'una equació polinòmica:

Teorema 1: L'avaluació de l'expressió p(x)=a₀+a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ requereix n sumes i n(n+1)/2 multiplicacions.

Teorema 2: L'avaluació de l'expressió p(x)=a₀+x(a₁+x(a₂+...+x(a_n-1+xa_n)...)) requereix n sumes i n multiplicacions.

Teorema 3: Si b_n=a_n & b_k=a_k+zb_k+1 per a k=n-1...0, aleshores b₀=p(z) (Regla de Horner).

Teorema 4: Amb els z, b_k & a_k del teorema 3 s'acompleix que a_n=b_n & a_k=b_k-b_k+1z per a k=0...n-1 .

Teorema 5: Si q(x)=b₁+b₂x+...+b_nx^n-1 , aleshores b₀+q(x)(x-z)=p(x) .

Teorema 6: q(x) és el quocient de dividir p(x) per x-z i b₀ és la resta.

Teorema 7: Si p(z)=0, aleshores p(x)=q(x)(x-z) .

Teorema 8: p'(z)=q(z) .

Teorema 9: Si c_n=b_n i c_k=b_k+zc_k+1 per a k=n-1...1, aleshores c₁=p'(z) .

Teorema 10: La sucessió x_m per a resoldre l'equació p(x)=0 pel Mètode de Newton s'obté aplicant successivament x_m+1=x_m-b₀/c₁ amb z=x_m .

Teorema 11: Si p(z)=0, la resolució de l'equació q(x)=0 permetria obtenir les demés arrels de l'equació p(x)=0 .

---

2. Mètode de Muller:

Teorema -1: Si tenim 3 punts (x_i,f_i), (x_i-1,f_i-1), (x_i-2,f_i-2) amb abcises diferents, per ells passa una única paràbola r(x)=f_i+f[x_i,x_i-1](x-x_i)+f[x_i,x_i-1,x_i-2](x-x_i)(x-x_i-1) amb els coeficients calculats pel mètode de les diferències dividides, f[x_i,x_i-1]=(f_i-f_i-1)/(x_i-x_i-1) , f[x_i,x_i-1,x_i-2]=(f[x_i,x_i-1]-f[x_i-1,x_i-2])/(x_i-x_i-2) .

Teorema 12: Les arrels de l'equació a₂x ^₂+a₁x+a₀=0 són x=2a₀/(-a₁±(a₁²-4a₀a₂)^½) .

Teorema 13: Les arrels de l'equació r(x)=0 amb la paràbola del teorema -1 venen donades per l'expressió del teorema 12 amb a₂=f[x_i,x_i-1,x_i-2] , a₁=f[x_i,x_i-1]-(x_i+x_i-1)a₂ , a₀=f_i-x_i(f[x_i,x_i-1]-x_i-1a₂) .

Algoritme 1: Algoritme de Muller per a l'obtenció d'arrels de l'equació p(x)=0:

1. Escollir ε₀, ε₁, ε₂ . Definir la funció f(x)=p(x)
   
2. Prendre i=2. Escollir x_i, x_i-1, x_i-2 . Calcular f_i=f(x_i) , f_i-1=f(x_i-1) , f_i-2=f(x_i-2) .
3. Calcular h_i=x_i-x_i-1 , λ_i=h_i/(x_i-1-x_i-2) .
4. Calcular g_i=(1+2λ_i)(f_i-f_i-1)-λ_i²(f_i-1-f_i-2) .
5. Calcular c_i=-2f_i(1+λ_i)
   
6. Calcular d_i=g_i²-4f_i(1+λ_i)λ_i(f_i-f_i-1-λ_i(f_i-1-f_i-2))
7. Si f(x) és un polinomi de grau 2, calcular λ_i+1=c_i/(g_i±d_i^½) i prendre x_i+1=x_i+h_iλ_i+1 com les seues dos arrels, que ho seran del l'equació p(x)=0, i que poden ser reals o complexes (x_i+1=x_i+h_ic_ig_i/(g_i²-d_i)±ih_ic_i(-d_i)^½/(g_i²-d_i) si d_i<0) : fi.
   
8. Si d_i≥0, aleshores calcular λ_i+1=c_i/(g_i±d_i^½) escollint el signe de manera que tinga el menor valor absolut. Anar a 11 .
   
9. Si d_i<0 però |c_id_i/(g_i²-d_i)|<ε₀ , aleshores calcular λ_i+1=c_ig_i/(g_i²-d_i) . Anar a 11 .
   
10. Si d_i<0 i |c_id_i/(g_i²-d_i)|≥ε₀ , aleshores l'algoritme no donaria més arrels reals: fi.
11. Calcular x_i+1=x_i+h_iλ_i+1 , h_i+1=h_iλ_i+1 .
    
12. Calcular f_i+1=f(x_i+1) .
13. Si |x_i+1-x_i|≥ε₁x_i+1 & |f_i+1|≥ε₂, aleshores prendre i=i+1 i tornar al pas 4 .
14. Prenem x_i+1 com una arrel aproximada de l'equació p(x)=0 .
    
15. Si el número d'arrels obtingudes és menor al grau del polinomi, definir la funció f(x)=f(x)/(x-x_i+1) i tornar al pas 2 .
    

---

3. Sistemes d'equacions no lineals:

Teorema 14: Si ξ, η, x₀, y₀ són números reals, s'acompleix ξ=F(ξ,η) & η=G(ξ,η), F, G són funcions contínues i amb primeres derivades contínues en un entorn circular de (ξ,η) que inclou a (x₀,y₀) i existeix K<1 tal que, dins d'aquest entorn, |F'_x|+|F'_y|≤K & |G'_x|+|G'_y|≤K, aleshores la successió definida pel sistema iteratiu de punt fixe  x_i+1=F(x_i,y_i) & y_i+1=G(x_i,y_i) és convergent.

Teorema -2: Donada la corva {z=f(x,y), z=g(x,y)}, amb funcions f, g contínues i amb primeres derivades contínues en un entorn circular de (x₀,y₀), la recta tangent a la corva en el punt corresponent seria {z=f(x₀,y₀)+f'_x(x₀,y₀)(x-x₀)+f'_y(x₀,y₀)(y-y₀) , z=g(x₀,y₀)+g'_x(x₀,y₀)(x-x₀)+g'_y(x₀,y₀)(y-y₀)} .

Teorema 15: La successió corresponent al Mètode de Newton per a l'aproximació a una arrel del sistema d'equacions {f(x,y)=0 , g(x,y)=0} és
       x_i+1 = x_i - [f(x_i,y_i)g'_y(x_i,y_i)-g(x_i,y_i)f'_y(x_i,y_i)]/J(f,g)(x_i,y_i)
       y_i+1 = y_i - [g(x_i,y_i)f'_x(x_i,y_i)-f(x_i,y_i)g'_x(x_i,y_i)]/J_(f,g)(x_i,y_i)
on J_(f,g)(x_i,y_i) és el Jacobià de les funcions f, g calculat en el punt (x_i,y_i) .

Teorema 16: Si les funcions f, g i totes les seues derivades fins al segon ordre són contínues i acotades en un entorn circular de l'arrel (ξ,η), tal que f(ξ,η)=0 & g(ξ,η)=0, el qual inclou el punt inicial (x₀,y₀), i el Jacobià  J_(f,g) no s'anul·la en aquest entorn, aleshores la successió descrita en el teorema 15 convergeix a l'arrel (ξ,η) .