Objetivos:

Específicos:

0. Determinar el error del resultado de un cálculo a partir del error de los datos de los cuales partimos (PROPAGACIÓN DE ERRORES).
   
1. Inferir información sobre poblaciones a partir de una porción de las mismas (INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA).
1. Aprender a obtener medidas de centralización y dispersión en una distribución estadística.
2. Estudiar casos típicos de distribuciones estadísticas de probabilidades.
   
3. Hacer estimaciones sobre una población a partir de una muestra.
4. Obtener una recta que tenga la menor desviación posible de un conjunto de puntos.
5. Estimar si un conjunto de muestras pertenecen a la misma población.
   
2. Obtener aproximaciones discretas a la solución de diferentes problemas (INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO NUMÉRICO).
1. Interpolar el valor de una función polinómica desconocida que pase por un conjunto de puntos.
2. Aproximar la integración de una función, acotando el error de aproximación.
3. Obtener el valor futuro de una variable conociendo su valor inicial y la dependencia de su derivada respecto del tiempo y la misma variable, y'=f(t,y).
3. Aprender a utilizar un lenguaje de programación o un paquete informático, a elección del profesorado de cada grupo de prácticas.

Metodología:

• Trabajo en clase en grupos pequeños debatiendo textos, demostrando enunciados y resolviendo problemas, seguido de su exposición pública.
• Trabajo en equipo fuera de clase, elaborando trabajos para su presentación al profesor.
• Trabajo práctico en aula de informática.

Evaluación:

• La calificación final será la media de la nota de teoría y la nota de prácticas, siempre que ambas sean igual o superior a 4 (sobre un máximo de 10).
• Para la nota de teoría puntuará hasta 8 puntos la evaluación de un examen final individual escrito, y hasta 2 puntos la realización de trabajos en equipo, que solamente podrán considerarse en caso de asistencia regular a clase (de lo contrario, deberán responderse cuestiones adicionales en el examen final puntuables hasta los 2 puntos restantes). Se podrá consultar esta Guía Didáctica y un formulario escrito a mano personalmente en un máximo de 3 hojas sin problemas resueltos (no se admiten fotocopias). Además, se primará la participación activa en clase sumando una dècima por cada exposición pública de un trabajo realizado en clase.
• La nota de prácticas se determinará por la evaluación de las memorias presentadas de las prácticas realizadas y de la evaluación de un examen práctico individual en ordenador, el cual puntuará entre el 40 y el 60% de la nota de prácticas (porcentaje a determinar por el profesorado de cada grupo de prácticas).
  

Bibliografía:

Estadística:

•  Canavos, G.C. (1987), Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y Métodos, McGrawHill
•  Christensen, M.B. (1983), Estadística paso a paso, Trilla, Mexico
•  Cuadras, C.M. (1986), Problemas de Probabilidad y Estadística, Anaya, Madrid
•  Dwnie, N.M., Heath, R.W. (1971), Métodos de Estadística Aplicada, Ed.del Castillo, Madrid
•  Dowdy, S., Wearden, S. (1991), Statistics for Research, Wiley & sonidos
•  Fz.de Troconiz, A. (1987), Probabilidades, Estadística, Muestreo, Ed.Tébar Flores, Madrid
•  Gmurman, V.E. (1974), Teoría y Problemas. Estadística Matemática, Mir, Moscu
•  Gutiérrez, S. (1976), Estadística Aplicada, ed.facsímil, València
•  Gutiérrez Cabría, S., Probabilidades, Bioestadística, Ed.Tebar Flores, Madrid
•  Haber, A., Runyon, R.P. (1973), Estadística General, Fondo Educativo Iberoamericano
•  Labrousse, C. (1968), Estadística, Colección Univ.de Matemática Pura, Madrid
•  Martínez Salas, HJ. (1989), Métodos Matemáticos, Ed.el autor, Valladolid
•  Mendenhall, W., Scheaffer, R.L., Wackely, D.D . (1986), Estadística Matemática con Aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamérica
•  Milton, T. (1987), Estadística para Biología y Ciencias de la Salud, InteramericanaMcGrawHill
•  Ortle, B. (1970), Estadística Aplicada, LinusaWiley, Mexico
•  Quesada, V., Isidoro, A., Löpez, L.A . (1984), Curso y Ejercicios de Estadística, Alhambra Universidad
•  Sachs, I. (1978), Estadística Aplicada, Labor, Barcelona
•  Spiegel, M.R. (1979), Estadística, Schaum/McGrawHill, México
•   Spiegel, M.R. (1976), Probabilidad y estadística, Schaum/McGrawHill, México
•  Williams, B. (1993), Biostatistic, Chapman & Hall

Cálculo Numérico:

• Aubanell, A., Benseny, A., Delshams, A. (1991), Eines bàsiques de Càlcul Numèric, Universitat Autònoma de Barcelona , Bellaterra
• Aubanell, A., Benseny, A., Delshams, A. (1993), Útiles básicos de Cálculo Numérico, Editorial Labor, Barcelona
• Chapra, S.C., Canale, R.P. (1985), Métodos numéricos para ingenieros (cono aplicaciones en computadoras personales), McGrawHill, Mexico
• Cuento, S.D., Boor, C.de (1974), Análisis numérico elemental, McGrawHill, México
• Cordero, A., Hueso, J.L, Martínez, E., Torregrosa, J.M. (2006), Problemas Resueltos de Métodos Numéricos, Thomson, España
• Denidovich, B.P., Maron, I.A. (1988), Cálculo Numérico Fundamental, Paraninfo, Madrid
• Douglas, J., Burden, R. (2004), Métodos Numéricos, Thomson, España
• Martínez Salas, J. (1989), Métodos Matemáticos, Ed.el autor, Valladolid
• Ralston, A. (1985), Introducción al Análisis Numérico, Linusa, Mexico
• Scheid, F. (1990), Análisis Numérico, McGrawHill, Mexico
• Scheid, F. Constanzo, R.E.di (1991), Métodos Numéricos, McGrawHill

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0 . Determinar el error del resultado de un cálculo a partir del error de los datos de los cuales partimos (PROPAGACIÓN DE ERRORES):

Actividad 0.1. Los datos experimentales con los que trabajamos vienen siempre dados con un cierto error. Si a partir de ellos realizamos cálculos, estos errores se propagan a los resultados. Así, si y=f(x), tendremos que ∆y=f(x+∆x)-f(x). Aun así, si el orden de magnitud del error es lo bastante inferior al orden de magnitud de los datos, podemos estimar el error por la diferencial, tomando así ∆y≈f ' (x)·∆x .
Problema 0.1: si y=x², estimar el error de y en los siguiente casos:
a) x=2±1.
b) x=2'0±0'1.
c) x=2'00±0'01.
¿En qué casos la diferencial dará una buena estimación del error (expresando éste con una única cifra significativa, o 2 si la primera es 1)?.

Actividad 0.2.
Ejercicio 0.1: teniendo en cuenta que si z=f(x,y) entonces dz = f_x'·∆x + f_y'·∆y , obtener la expresión aproximada del error de z si z=x+y, z=x·y, z=x/y, z=x², z=√x .

Actividad 0.3.
Problema 0.2: supongamos que una reacción viene regida por la ley de acción de mases v=k·[A]·[B]², con k=0'254±0'001. Si se miden las concentraciones en equilibrio obteniéndose [A]=7'23±0'04 moles/l, [B]=9'58±0'12 moles/l, estimar el error de la velocidad de reacción en equilibrio.

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1 . Inferir información sobre poblaciones a partir de una porción de las mismas (INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA :

Actividad 1.1: Debatir en grupos pequeños el siguiente texto, escogiendo previamente un portavoz de cada grupo para exponer posteriormente las conclusiones y en su caso las dudas suscitadas:

    En numerosos problemas prácticos estamos interesados en propiedades globales de poblaciones , más que en las propiedades particulares de cada uno de los individuos que las composen. Estas propiedades globales de las poblaciones  (y entendemos por población cualquier conjunto, cuyos elementos son tratados de forma indiferenciada) son el objeto de la Estadística: desde un punto de vista estadístico, lo que interesa no es qué individuos tienen una propiedad determinada, sino cuantos la tienen.

    Ahora bien, normalmente no tenemos acceso a las poblaciones en su conjunto, sino solamente a porciones de las mismas (a las cuales denominamos muestras), y nos interesa poder inferir propiedades globales a partir del estudio de estas porciones. Esta inferencia es el objetivo central de la Estadística.

    La inferencia estadística es fundamental para la investigación científica: habitualmente, se construyen teorías globales sobre poblaciones, las cuales se contrastan con estudios experimentales sobre muestras de las mismas. Pero es importante recalcar que la inferencia estadística solamente permite llegar a estimaciones, y no a afirmaciones concluyentes.

    Por todo esto, podríamos decir que la Estadística, por su propia naturaleza, es una ciencia "democrática" por su objeto (poblaciones globales, que pueden ser tanto de objetos inanimados como de personas humanas) y "antidogmàtica" por su método, que excluye certezas definitivas.

1.1. Aprender a obtener medidas de centralización y dispersión en una distribución estadística:

Objetivos:

1. Comprender la noción de distribución estadística y su no dependencia de las propiedades específicos de individuos específicos.
2. Aprender a comparar diferentes distribuciones estadísticas por el valor alrededor del cual se agrupan sus valores.
3. Aprender a comparar diferentes distribuciones estadísticas por la dispersión de sus valores.
4. Entender en qué medida varían las medidas de centralización y dispersión de una distribución estadística al sumar, restar, multiplicar o dividir sus valores por una cantidad fija.
5. Aprender a calcular las medidas de centralización y dispersión de forma que se simplifiquen los cálculos y se eviten los errores de cancelación.
6. Aprender a normalizar las distribuciones estadísticas a fin de hacerlas comparables más allá de sus medidas de centralización y dispersión.
   

Actividad 1.2. Una variable aleatoria (X) sobre un conjunto-población U es cualquier variable que puede tener distintos valores (x) para los distintos elementos-individuos de la población La distribución estadística de estos valoras no tiene en cuenta los individuos concretos para los que esta variable tiene cada valor, sino cuántos la tienen, lo que denominamos frecuencia f(x) de este valor en la población. Llamaremos parámetro poblacional a cualquier cantidad que solamente dependa de las frecuencias. Dos variables aleatorias serán estadísticamente equivalentes cuando tengan la misma distribución de frecuencias
Ejercicio 1.1: tomar una variable aleatoria sobre el alumnado asistente a la clase, por ejemplo el hecho de llevar o no llevar gafas, y realizar un experimento sencillo a fin de comprobar que el número de los que llevan gafas es un parámetro poblacional.

Actividad 1.3. 
Ejercicio 1.2: representar gráficamente en diagramas de barras la distribución estadística de las frecuencias del número de calzado y de la edad en el alumnado asistente a clase.

Actividad 1.4. Como medidas de centralidad (valor alrededor del cual se agrupan los valores de la variable aleatoria) podemos tomar:
La moda: aquel valor que tenga la máxima frecuencia en la población.
La mediana: suponiendo que el conjunto de valores de la variable aleatoria esté ordenado, será un valor que tenga tantos individuos con un valor inferior como con un valor superior.
La media μ(X): suponiendo que los valores de la variable aleatoria sean números reales, y que el tamaño (número de individuos n(U)) de la población sea finito, viene dada por la suma de los valores X_i para todos los individuos i de la población dividida por su tamaño, μ(X) = ∑ _i X_i / n(U) .
Teorema 1.1:  ∑ _x f(x) = n(U)  ,  μ(X) = ∑ _x x·f(x) / n(U) .
Problema 1.1: calcular las diferentes medidas de centralización para las distribuciones estadísticas de la Actividad 1.3. ¿Cómo podemos utilizar las frecuencias para simplificar los cálculos?

Actividad 1.5. Para justificar que el cálculo de la media es una operación lineal, demostrar los siguientes teoremas:
Teorema 1.2: si tenemos dos variables aleatorias X, Y con valores numéricos reales sobre la misma población U, μ(X+Y)=μ(X)+μ(Y) .
Teorema 1.3: si tenemos una variable aleatoria sumable X y un número real constante c, μ(c·X)=c·μ(X) .

Actividad 1.6. A partir de la linealidad del cálculo de la media expresada en los dos teoremas anteriores, y teniendo en cuenta que la media de una constante es igual a la misma constante, demostrar
Teorema 1.4: si tenemos una variable aleatoria X con valores numéricos reales y un número real acR, entonces μ(X)=a+μ(X-a) .
Teorema 1.5: si tenemos una variable aleatoria X con valores numéricos reales y dos números reales a,ccR, y tomamos Y=(X-a)/c, entonces μ(X)=a+c·μ(Y) .
Los teoremas anteriores se pueden utilizar para simplificar el cálculo de la media. Aplicarlo para la resolución del
Problema 1.2: medir la longitud de la propia mano con una precisión de 0'5 cm y calcular la media del conjunto del alumnado asistente a clase.

Actividad 1.7. Como medidas de dispersión (para expresar el alejamiento entre sí de los valores de una variable aleatoria) podemos tomar:
Los cuartiles primero y tercero: suponiendo que el conjunto de valores de la variable aleatoria esté ordenado, los cuartiles serán tres valores que dividan al conjunto de valores en cuatro subconjuntos de valores que correspondan al mismo número de individuos; observamos que el segundo cuartil coincidirá con la mediana. Si tenemos definida una distancia en el conjunto de valores, podemos medir la dispersión como la distancia entre el primero y el tercer cuartil.
La amplitud: suponiendo que los valores estén ordenados y tengamos definida una distancia entre ellos, será la distancia entre los valores mínimo y máximo en la población.
La desviación media: suponiendo que los valores de la variable aleatoria sean números reales y que el tamaño de la población sea finito, será la media del valor absoluto de las diferèncias entre su valor para cada individuo y la media de estos valores, μ(|X-μ(X)|)
La varianza σ²(X): suponiendo que los valores de la variable aleatoria sean números reales y que el tamaño de la población sea finito, será la media del cuadrado de las diferencias entre su valor para cada individuo y la media de estos valores, σ²(X)=μ((X-μ(X))²).
La desviación típica σ(X): es la raíz cuadrada de la varianza.
Demostrar el
Teorema 1.6: σ²(X)=μ(X²)-μ(X)² (la variança es igual a la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media).
Este teorema proporciona una forma más cómoda de calcular la varianza.
Problema 1.3: calcular las diferentes medidas de dispersión para las distribuciones estadísticas de la Actividad 1.3.
Problema 1.4: calcular la varianza de este conjunto de valores: (1000000'1 , 1000000'2 , 1000000'2, 1000000'3).

Actividad 1.8. Cómo habremos visto al intentar resolver el Problema 1.4, si la media de una distribución estadística es mucho más grande que su amplitud, entonces la media del cuadrado y el cuadrado de la media tendrán muchas cifras significativas coincidentes,  que pueden incluso superar la precisión de nuestros instrumentos de cálculo; en este caso, obtendríamos erróneamente cero como su diferencia, produciéndose así un "error de cancelación". A fin de poder evitarlo utilizando las propiedades de la varianza, demostrar el
Teorema 1.7: si tenemos una variable aleatoria X con valores numéricos reales y un número real acR, y tomamos Y=X-a, entonces σ²(Y)=σ²(X) , es decir, la varianza es invariant ante traslaciones, como se puede entender fácilmente observando la figura adjunta.
Por lo tanto, podremos evitar el error de cancelación restando a todos los valores una cantidad fija próxima a su valor mínimo. Aplicarlo a la resolución del Problema 1.4.

Actividad 1.9. Demostrar el
Teorema 1.8: si tenemos una variable aleatoria X con valores numéricos reales y dos números reales a,ccR⁺, y tomamos Y=(X-a)/c, entonces σ(X)=c·σ(Y) .
Aplicarlo por simplificar la resolución del
Problema 1.5: calcular la varianza de la distribución estadística del Problema 1.2.

Actividad 1.10. Para comparar la forma de distribuciones estadísticas con diferentes medias y varianzas podemos transformarlas en otras distribuciones estadísticas con medias y varianzas coincidentes. Llamaremos así normalización de una variable aleatoria X al resultado de restarle su media y dividir la diferencia por su desviación típica, N(X)=(X-μ(X))/σ(X) . Demostrar el
Teorema 1.9: μ(N(X))=0  y σ(N(X))=1.
Ejercicio 1.3: Representar gráficamente en la misma figura la normalización de las distribuciones estadísticas de la Actividad 1.3.

1.2. Estudiar casos típicos de distribuciones estadísticas de probabilidades

Objetivos:

1. Trabajar las distribuciones estadísticas a partir de las frecuencias relativas (probabilidades).
2. Averiguar la distribución probabilística del número de ocurrencias de un suceso entre un número de ocasiones independientes. (distribución binomial).
3. Aproximar la distribución probabilística del número de ocurrencias de un suceso raro conociendo el número medio de ocurrencias entre un número grande de ocasiones independientes (distribución de Poisson).
4. Introducir la distribución de densidad probabilística de una variable aleatoria que varía de forma continua.
5. Estudiar la distribución de densidad probabilística de la media de un gran número de variables aleatorias equivalentes independientes (distribución normal).

Actividad 1.11. Para comparar distribuciones estadísticas sobre diferentes poblaciones deberíamos utilizar las correspondientes frecuencias relativas o probabilidades , definidas por p(x)=f(x)/n(U) .
Demostrar los siguientes teoremas:
Teorema 1.10: ∑ _x p(x) = 1 (llamaremos distribución probabilística a cualquier aplicación p:V→R⁺+{0} que cumpla esta propiedad, siendo V un conjunto numerable de valores .
Teorema 1.11: μ(X) = ∑ _x x·p(x) (utilizaremos esta expresión para definir la media de cualquier distribución probabilísitica con independencia del tamaño finito o infinito de la población .
Ejercicio 1.4: representar gráficamente en diagramas de tarta las distribuciones probabilísticas de las variables aleatorias de la actividad 1.3.

Actividad 1.12. Si tenemos un conjunto A de valores de una variable aleatoria, su probabilidad vendrá definida por
p(A) = ∑ _xcA p(x) . Demostrar el
Teorema 1.12: Si A y B son dos conjuntos disjuntos de valores de una variable aleatoria, p(A+B) = p(A) + p(B) .

Actividad 1.13. Diremos que dos variables X, Y son independientes si para cualquier par (x, y) de valores respectivos de las mismas se cumple p(x,y)=p(x)·p(y) .
Problema 1.6: estudiar si las variables aleatorias de la Actividad 1.3 son independientes.

Actividad 1.14. Teniendo en cuenta el
Teorema -1.1: el número de maneras en que podemos escoger m elementos entre n es

﴾

n m

﴿ =

n(n-1)(n-2)...(n-(m-1)) m!

=

n!   m!(n-m)!

(combinaciones de n sobre m)

demostrar el
Teorema 1.13: Si tenemos n variables-ocasiones independientes con un determinado valor-suceso con la misma probabilidad p,  la probabilidad de no ocurrencia de cada suceso será q=1-p y la probabilidad de que el número de ocurrencias del suceso sea exactamente m será

PB(m) = ﴾

n m

﴿ pm qn-m  (distribución binomial B(p,n))

Para demostrarlo, estudiar primero la probabilidad de una determinada serie ordenada de m ocurrencias y n-m no ocurrencias, y después el número de maneras de ordenar m ocurrencias y n-m no ocurrencias, teniendo en cuenta que son indiferentes las permutaciones entre sí de las ocurrencias y las no ocurrencias.
Problema 1.7: calcular la probabilidad de obtener exactamente 3 ases en 5 lanzamientos de un dado.

Actividad 1.15. Teniendo en cuenta el

Teorema -1.2: (a+b)n =

n ∑ . m=0.

﴾

n m

﴿ am bn-m  (binomio de Newton)

demostrar el

Teorema 1.14:

n ∑ . m=0.

PB(m) = 1.

Actividad 1.16. Teniendo en cuenta el
Teorema -1.3: 0!=1 ,  m!=m·(m-1)!
demostrar los

Teorema 1.15: para todo m=1...n,  ﴾

n m

﴿·m = n·﴾

n-1 m-1

﴿

Teorema 1.16: μ(B(p,n)) = np .

Actividad 1.17. Demostrar los

Teorema 1.17: para todo m=2...n,  m·﴾

n-1 m-1

﴿ = (n-1)·﴾

n-2 m-2

﴿ + ﴾

n-1 m-1

﴿

Teorema 1.18: σ(B(p,n))² = npq = np(1-p)

Actividad 1.18.
Problema 1.8: obtener la media y la desviación típica del número de ases al lanzar 30 veces un dado.

Actividad 1.19. Si p es muy pequeño, para obtener una media μ apreciable de ocurrencias de un suceso necesitaremos un número n muy grande de ocasiones. Pero los factoriales n!, y por lo tanto la distribución binomial, son difíciles de calcular si n es grande. En este caso, habremos de utilizar una aproximación. A tal efecto, y teniendo en cuenta que e = lim _u→∞ (1+1/u)^u, y por lo tanto
Teorema -1.4: lim _n→∞ (1-μ/n)ⁿ = e^-μ
demostrar el
Teorema 1.19: si p=μ/n,  P^Π(m) = lim _n→∞ P^B(m) = e^-μ·μ^m/m!  (distribución de Poisson Π(μ)).
La distribución de Poisson es una buena aproximación a la binomial si n>50, p<0'1 y μ=np<5 .

Actividad 1.20. Teniendo en cuenta el

Teorema -1.5: eμ =

∞ ∑ m=0.

μm/m!  (desarrollo en serie de Taylor del exponencial)

demostrar los

Teorema 1.20:

∞ ∑ m=0.

PΠ(m) = 1.

Teorema 1.21: μ(Π(μ)) = μ
Teorema 1.22: σ(Π(μ))² = μ

Actividad 1.21.
Problema 1.9: suponiendo que la probabilidad de obtener un preparado químico por un determinado procedimiento sea de 0'01, ¿cual será el número medio de éxitos y la probabilidad de tener al menos un éxito en 200 pruebas? Obtener el valor exacto por la distribución binomial y el valor aproximado por la distribución de Poisson y compararlos.

Actividad 1.22. Si tenemos una variable aleatoria que varía de forma continua en R, habremos de definir un conjunto de intervalos de la misma para determinar las frecuencias o probabilidades de los valores en cada intervalo, como hicimos en el Problema 1.2 con la longitud de la mano. Pero podemos definir también una distribución de densidad probabilística mediante una función p:R→R⁺+{0} que cumpla 
 ∫ p(x) dx = 1 .
En este caso, la probabilidad de un intervalo [a,b[ vendrá dada por
p([a,b]) = ∫_a^b p(x) dx
Naturalmente, si hacemos una partición de R en un conjunto de intervalos disjuntos, la suma de sus probabilidades valdrá 1. A partir del
Teorema -1.6: para toda función integrable f y todo intervalo [a,b[ de R, existe ξc[a,b[ tal que
∫_a^b x·p(x) dx = ξ·∫_a^b p(x) dx
demostrar el
Teorema 1.23:  si tenemos una distribución p de densidad probabilísitca, partimos R en intervalos disjuntos [z-ε,z+ε[ tomando z como valor del intervalo, y definimos la media de la distribución de densidad probabilística como el límite de la media de la correspondiente distribución probabilística cuando ε tienda a cero será μ(X) = ∫ x·p(x) dx .
Teorema 1.24: definiendo la varianza de una distribución p de densidad probabilística como μ((X-μ(X))²), será
σ²(X) = ∫ x²·p(x) dx - μ(X)² .

Actividad 1.23. Definimos la distribución normal N(α,β) por P^N(x) = e^{-(x-α)2/(2β2)}/(β(2π)^1/2) para todo xcR .
Teniendo en cuenta el
Teorema -1.7:  ∫_-∞^∞ e^-u2du = √π  ,  ∫_-∞^∞ ue^-u2du = 0  ,  ∫_-∞^∞ u²e^-u2du = (√π)/2. 
demostrar los
Teorema 1.25:  ∫_-∞^∞ P^N(x) dx = 1 (y por lo tanto se trata de una distribución de densidad probabilística)
Teorema 1.26:  μ(N(α,β)) = α
Teorema 1.27:  σ(N(α,β)) = β
Escribiremos por lo tanto N(μ,σ)  y P^N(x) = e^{-(x-μ)2/(2σ2)}/(σ(2π)^1/2) .

Actividad 1.24. Definimos la distribución normal tipificada como N(0,1), de modo que P^N(y) = e^-y2/2/(2π)^1/2 .
Trabajaremos con la tabla de la distribución normal tipificada. A partir de ésta podemos obtener fácilmente los valores de otra distribución normal mediante la normalización de su variable x, de forma que y=(x-μ)/σ , y teniendo en cuenta que P^N(y)=σ·P^N(x) .
Problema 1.10. Utilizando la tabla de la distribución normal tipificada, obtener la densidad probabilística de una distribución normal con μ=5, σ=2 para x=7'4.

Actividad 1.25. La importancia de la distribución normal para el estudio de la Estadística resulta justificada por el siguiente
Teorema 1.28: si tenemos una sucesión de variables aleatorias independientes Xⁱ con la misma media y desviación típica, μ(X^{i )}=μ, σ(X^{i )}=σ, y definimos Zⁿ = ∑_i=1 ⁿ Xⁱ/n, entonces la distribución estadística de lim _n→∞ N(Zⁿ) es la distribución normal tipificada N(0,1)  (Teorema central del límite).
De acuerdo con este teorema, la distribución normal dará una buena aproximación de la media de un gran número de variables aleatorias equivalentes independientes, y podremos utilizarla cuando trabajemos con grandes cantidades de datos. En particular, se cumple el
Teorema 1.29: lim _n→∞ P^B(p,n)(m) / P^{N(np,√(np(1-p)))}(m) = 1 (teorema de De Moivre; para cada valor de m, la sucesión de valores de n será n=m, m+1, m+2...)
La distribución normal es una buena aproximación a la binomial si n·p>5 y n·q>5 .
Problema 1.11: comparar las distribuciones normal, binomial y de Poisson en los siguientes casos:
a) Aplicar la distribución normal para intentar aproximar la solución del Problema 1.9. ¿Da una buena aproximación?
b) Suponiendo que la probabilidad de obtener un preparado químico por un determinado procedimiento sea de 0'5, ¿cual será la probabilidad de tener únicamente un fracaso en 10 pruebas? Obtener el valor exacto por la distribución binomial e intentar aproximarlo por las distribuciones normal y de Poisson. ¿Cuál da una mejor aproximación?

Trabajo 1 (para su realización en equipo):
Estudiar las condiciones de aproximación de las distribuciones normal y de Poisson a la distribución binomial, utilizando diferentes fuentes bibiogràfiques (por ejemplo
http://www.gestiopolis.com/recursos/experto/catsexp/pagans/eco/44/distripoisson.htm
http://www.suagm.edu/paginas/japaricio/384/clase11.pdf
http://www.jstor.org/sici?sici=0003-4851(196009)31%3A3%3C737%3ATPATTP%3E2.0.CO%3B2-Q&cookieSet=1
http://leonsotelo.blogspot.com/2007/06/aproximacion-normal-binomial-poiss0n.html
http://www.mitecnologico.com/Main/AproximacionDeBinomialPorDePoisson )
Estudiar y comparar en particular el caso n=30, p=1/6. Obtener una tabla de las tres distribuciones (para valores enteros no negativos) y representarlas gráficamente en la misma figura.

1.3. Hacer estimaciones sobre una población a partir de una muestra:

Objetivos:

1. Estudiar las propiedades de las distribuciones de las muestras de una población.
2. Identificar los estadísticos-parámetros de una muestra que mejor permiten estimar los parámetros de la población
3. Construir intervalos que contengan con una cierta probabilidad el valor de un parámetro poblacional.
4. Determinar la probabilidad de equivocarnos al rechazar una hipótesis a partir de unos datos experimentales.
5. Trabajar con las distribuciones adecuadas según las muestras utilizadas y los parámetros a estimar.
6. Contrastar hipótesis probabilísticas.

Actividad 1.26. Una muestra sin reemplazo es cualquier subconjunto de una población (un ejemplo típico es una mano de cartas de una baraja). Una muestra con reemplazo se obtiene escogiendo sucesivamente un determinado número de elementos de la población sin quitarlos de la misma, de forma que pueden repetirse (un ejemplo típico es el resultado de tiradas sucesivas de un dado). Llamaremos estadístico a cualquier parámetro poblacional restringido a una muestra. Para distinguirlo del correspondiente parámetro sobre la población, utilizaremos una nomenclatura diferente; así, designaremos la media de una variable aleatoria X en una muestra por , y su desviación típica por s(X).
Trabajaremos con distribuciones en 3 ámbitos: en la población, en una muestra y en el conjunto de todas las muestras. Naturalmente, para poder hacer estimaciones sobre una población a partir de una muestra necesitaremos saber cómo se distribuyen los valores del estadístico correspondiente en el conjunto de todas las muestras de la población de un determinado tipo (con o sin reemplazo) y de un determinado tamaño; a esta distribución la llamaremos distribución muestral. Las principales propiedades de ésta se resumen en la siguiente tabla, dónde indicamos por n(U) el tamaño de la población y por n el tamaño de la muestra:

parámetro poblacional Ω	estadístico S	distribución muestral sin reemplazo μ(S), σ(S)	distribución muestral con reemplazo μ(S), σ(S)
μ(X)		μ() = μ(X)
		σ()2 = σ(X)2(n(U)-n)/(n·(n(U)-1))	σ()2 = σ(X)2/n
σ(X)	s(X)	μ(s(X)2) = σ(X)2·(n-1)/n σ(s(X))2 ≈ σ(X)2/(2n) si n≥100.

Observamos que si n(U)=∞, entonces la varianza de la distribución muestral de medias con y sin reemplazo son iguales. En la práctica, podemos utilizar la fórmula de la distribución muestral con reemplazo si el tamaño n(U) de la población es mucho más grande que el tamaño n de la muestra. Si no decimos lo contrario, supondremos que éste es el caso.
Problema 1.12: Obtener la varianza de la distribución muestral de medias y la media de la distribución muestral de varianzas con muestras formadas por la repetición 3 veces del lanzamiento de 5 dados anotando en cada lanzamiento el número de ases obtenidos (suponiendo que los dados no están cargados). Dividir la clase en grupos de 3 de modo que cada miembro haga un lanzamiento de 5 dados, calculando en cada grupo la media y la varianza de la muestra obtenida. Calcular la varianza de las medias y la media de las varianzas obtenidas por toda la clase y compararlas con los previos resultados teóricos.

Actividad 1.27. Para estimar correctamente un parámetro poblacional Ω necesitaremos un estadístico S que sea un estimador insesgado del mismo, de forma que μ(S) = Ω. En caso de que no lo sea pero conozcamos el sesgo que se produce, de forma que μ(S) = f(Ω), siendo f una función lineal, podemos definir un estimador corregido = f ^-1(S) tal que μ() = Ω .
Ejercicio 1.5: analizar si la media y la varianza s² son o no estimadores insesgados de los correspondientes parámetros poblacionales μ(X) y σ(X). En caso de que alguno no lo sea, obtener el correspondiente estadístico corregido y comprobar que es un estimador insesgado.

Actividad 1.28. Si tenemos dos estimadores insesgados S₁ y S₂, diremos que S₁ es más eficiente que S₂ si y solamente si σ(S₁)<σ(S₂).
Ejercicio 1.6: queremos estimar la media μ de una población a partir de las medias
₁, ₂ de dos muestras de tamaño respectivo n₁, n₂ tales que n₁<n₂. Qué estimador será más eficiente? Demostrarlo.

Actividad 1.29. Diremos que [Ω₁,Ω₂] es un intervalo de confianza del 100α% para un parámetro poblacional Ω si la probabilidad de que Ω esté dentro de este intervalo es igual a . α. Para determinarlo necesitaremos conocer la distribución muestral de alguna función f(S,Ω), siendo S el estadístico de una muestra que utilizamos para estimar Ω. En general, buscaremos en esta distribución muestral de densidad probabilística dos "picos" de probabilidad p, de forma que el área entre los dos "picos" sea α, tal y como se indica en la figura adjunta. Observamos que, comoquiera que el área bajo la curva es 1, se ha de cumplir 2p+α=1 . Las abcises correspondientes a una determinada área se denominan coeficientes críticos. Hay que examinar con cuidado la configuración de la tabla de la distribución y las gráficas que la acompañan para determinar a qué área se refiere cada coeficiente crítico (parte de la izquierda, interior, exterior...) y qué  son por tanto los coeficientes tales que x_p≤f(S,Ω)≤x_1-p nos da un intervalo de confianza para Ω del 100α% .
Ejercicio 1.7: si las muestras son grandes (n≥30) y el parámetro poblacional es la media poblacional, entonces tomando la normalización de la media de la muestra, 
z = f(,μ) = (-μ)/σ(), se distribuirá aproximadamente de acuerdo con la distribución normal tipificada. Para obtener el intervalo de confianza habremos de calcular primero la media y la desviación típica de la muestra, , s; a continuación calcular la desviación típica corregida , utilizarla como estimador insesgado de la desviación típica poblacional σ, y a partir del valor estimado de ésta obtener la desviación típica de las medias en la distribución muestral, σ(). Utilizando la tabla de la distribución normal tipificada (inversa) para obtener el coeficiente crítico z_α tal que la probabilidad de |z|≤z_α sea α (recordemos que la distribución normal tipificada es simétrica) podremos averiguar el intervalo de confianza para μ. Obtener las fórmulas correspondientes.
Problema 1.13: aplicarlo a la obtención de un intervalo de confianza del 80% para el número mediano de ases resultantes de lanzar 30 veces un dado a partir de los resultados experimentales obtenidos por todos los alumnos de la clase (en un número no inferior a 30).

Actividad 1.30. Si por consideraciones teóricas formulamos la hipótesis de un valor para un parámetro poblacional Ω, y a partir de una muestra experimental obtenemos un intervalo de confianza del 100α% para este parámetro poblacional, si el valor teórico de éste está fuera de este intervalo, es decir
f(S,Ω)[x_p,x_1-p], pueden haber dos explicaciones: la primera es que la teoría y por lo tanto la hipótesis esté equivocada; la segunda es que la muestra sea "anómala", de modo que siendo correcta la teoría el parámetro poblacional Ω esté fuera del intervalo de confianza del 100α%: la probabilidad de esto es β=1-α. Diremos así que la muestra nos permite rechazar la hipótesis con un nivel de significación de β (que será por lo tanto la probabilidad de que nos equivoquemos al rechazar la hipótesis). Naturalmente, solamente podremos rechazar hipótesis con niveles de significación iguales o menores a 0'5, y cuanto menor sea el nivel de significación el rechazo de la hipótesis tendrá más fuerza.
Problema 1.14: ¿con qué nivel de significación podríamos en su caso rechazar la hipótesis de que el dado del Problema 1.13 no está cargado (es decir, que todas las caras del dado tienen la misma probabilidad de salir)?

Actividad 1.31. Si las muestras son pequeñas, su distribución no se aproxima a la normal. Pero si una variable aleatoria X tiene una distribución normal en una población infinita, la distribución del estadístico 
t = f(,μ) = (-μ(X))/σ() de las muestras de tamaño n es Y_ν(t)=Y_ν(0)·(1+t²/ν)^-(ν+1)/2 con ν=n-1, que se denomina distribución t de "Student" con ν grados de libertad. Yν(0) se escoge de modo que ∫_-∞^+∞ Y_ν(t)dt=1 .
Teniendo en cuenta que e = lim _u→∞ (1+1/u), demostrar el
Teorema 1.30: lim _ν→∞ Y_ν(t) = P^N(0,1)(t) (es decir, la distribución t de "Student" se aproxima a la distribución normal tipificada cuando el número de grados de libertad se hace muy grande); ¿cuanto valdrá Y_∞(0)?

Actividad 1.32. Utilizaremos la tabla de la distribución t de "Student" (inversa)  para determinar el coeficiente crítico t_p(ν) correspondiente al intervalo de confianza del 100α% de la media poblacional μ a partir de la media y la desviación típica s(X) de una muestra de tamaño n, con las fórmulas obtenidas en el Ejercicio 1.7.
Problema 1.15: obtener un intervalo de confianza del 90% para la media de una variable aleatoria en una población infinita con distribución normal a partir de la muestra
(302'23, 302'21, 302'23, 302'22, 302'25).

Actividad 1.33.
Problema 1.16: formando grupos de 3 a 5 estudiantes, cada estudiante en cada grupo deberá lanzar 30 veces un dado y anotar el número de ases obtenidos; hacer estimaciones alrededor de cada dado a partir de la muestra dada por los resultados obtenidos por cada grupo.

Actividad 1.34. Si una variable aleatoria X tiene una distribución normal en una población infinita, la distribución del estadístico
χ² = f(s,σ) = n·s(X)²/σ(X)² de las muestras de tamaño n entre 0 y ∞ es V_ν(χ²)=K_ν·(χ²)^(ν-2)/2·e^-χ2/2 con ν=n-1, que se denomina distribución Ji-cuadrado con ν grados de libertad. K_ν se escoge de modo que
∫₀^∞ V_ν(χ²)=1 . Utilizaremos la tabla de la distribución Ji-cuadrado (inversa) para determinar los coeficientes críticos χ²_p(ν) correspondientes al intervalo de confianza del 100α% de la desviación típica poblacional σ a partir de la desviación típica s(X) de una muestra de tamaño n, de modo que χ²_p(ν) ≤ χ² ≤ χ²_1-p(ν) . Obtener la expresión para el intervalo de confianza de la desviación típica poblacional σ(X). Observemos que la desviación típica corregida (X) de la muestra ha de estar necesariamente dentro de este intervalo, comoquiera que es un estimador insesgado de la desviación típica poblacional.
Problema 1.17: obtener un intervalo de confianza del 90% para la desviación típica de una variable aleatoria en una población infinita con distribución normal a partir de la muestra (302'23, 302'21, 302'23, 302'22, 302'25); comprobar que la desviación típica corregida de la muestra está dentro de este intervalo.

Actividad 1.35: Si tenemos un conjunto de k sucesos mutuament excluyentes E_i a los que suponemos una probabilidad p(E_i) para i=1...k, en n ocasiones la frecuencia esperada de cada uno de ellos será respectivamente e_i=n·p(E_i), correspondiente a la media obtenida en el Teorema 1.16. Si en una muestra de estas n ocasiones las frecuencias observadas son respectivamente o_i, siendo n≥30 y cumpliéndose e_i≥5 para todos los sucesos, entonces el estadístico χ² = ∑_i=1 ^k (o_i-e_i)²/e_i se distribuirá aproximadamente de acuerdo con la distribución Ji-cuadrado con ν=k-1 grados de libertad. Si para algún suceso fuera e_i<5 habríamos de agregar sucesos hasta conseguir que se cumpla la condición.
Podemos utilizar este estadístico para estimar la concordancia entre la hipótesis probabilística y los resultados experimentales obtenidos en la muestra. Naturalmente, cuanto menor sea χ² habrá una mayor concordancia: diremos que hay buena concordancia entre la muestra y la hipótesis probabilística (y por lo tanto aceptamos ésta) con un nivel de significación de β si χ²<χ²_β(ν); por el contrario, si χ²_1-β(ν)<χ² podremos rechazar la hipótesis probabilística con un nivel de significación de β (que será de nuevo la probabilidad de equivocarnos al rechazarla, es decir la probabilidad de que la hipótesis sea correcta pero hayamos encontrado una muestra entre el 100β% de las muestras más desviadas de las frecuencias medias esperadas); finalmente si χ²_β(ν)≤χ²≤χ²_1-β(ν) diremos que los resultados experimentales no son decisivos con este nivel de significación para aceptar o rechazar la hipótesis probabilística. Observamos que una hipótesis probabilística puede ser aceptada (o rechazada) con un nivel de significación "débil" y los resultados no ser decisivos con un nivel de significación más fuerte. Lo que no puede pasar es que con un nivel de significación aceptemos una hipótesis y con otro nivel de significación la rechacemos. Naturalmente, el nivel de significación más débil que podemos utilizar es el de β=0'5: si χ²<χ²_0'5(ν) tendremos tendencia a aceptar la hipótesis con un nivel de significación mayor o menor, y si χ²>χ²_0'5(ν) tendremos tendencia a rechazarla.
Problema 1.18: contrastar la hipótesis de que un dado no está cargado (que todas las caras tienen la misma probabilidad de salir) lanzándolo 30 veces y anotando el número de veces que sale cada cara.

Trabajo 2 (para su realización en equipo):
En 100000 tiradas de 5 dados se obtiene 10 repóqueres, 300 póqueres, 3342 tríos, 16030 parejas y 40198 simples ases. ¿Se podría acusar que los dados están trucados? ¿Con qué nivel de significación en tal caso?

1.4. Obtener una recta que tenga la menor desviación posible de un conjunto de puntos:

Objetivos:

1. Obtener la recta que minimice la suma de las desviaciones cuadráticas de las ordenadas de un conjunto de puntos.
2. Obtener la recta que minimice la suma de las desviaciones cuadráticas de las abcisas de un conjunto de puntos.
3. Valorar el grado de ajuste de la recta de regresión al correspondiente conjunto de puntos.

Actividad 1.36. Si tenemos un conjunto de puntos {X_i, Y_i}_i=1...n, diremos que y=a+bx es la recta de regresión de Y sobre X si y sólo si
∑_i=1 ⁿ (Y_{i -}(a+bX_{i )})² es mínimo.
Teniendo la cuenta el
Teorema -1.8: si una función derivable f(x,y) tiene un mínimo en (a,b), entonces f_x'(a,b)=0 y f_y'(a,b)=0.
demostrar
Teorema 1.31: si y=a+bx es la recta de regresión de Y sobre X, entonces a+b·μ(X)=μ(Y), a·μ(X)+b·μ(X²)=μ(XY).
Teorema 1.32: si y=a+bx es la recta de regresión de Y sobre X, entonces b=c_XY/σ(X)²,  a=μ(Y)-b·μ(X), dónde c_XY=μ(XY)-μ(X)·μ(Y) (covarianza de X y Y).

Actividad 1.37. Teniendo en cuenta el
Teorema -1.9: si para una función f(x,y) derivable hasta segundo orden se cumple f_x'(a,b)=0 , f_y'(a,b)=0, f_xx"(a,b)>0 , f_xy"(a,b)²<f_xx"(a,b)·f_yy"(a,b), entonces f(x,y) tiene un mínimo en (a,b)
demostrar el
Teorema 1.33: si σ(X)²>0  , b=c_XY/σ(X)², entonces y-μ(Y)=b·(x-μ(X)) es la recta de regresión de Y sobre X.
Observemos que el "centro de masas" (μ(X),μ(Y)) pertenece siempre a la recta de regresión.
Problema 1.19: obtener la recta de regresión del número de calzado sobre la edad en el alumnado asistente a clase; valorarla.

Actividad 1.38. Intercambiando la X y la Y obtenemos el
Teorema 1.34: si σ(Y)²>0  , b'=c_XY/σ(Y)², entonces x-μ(X)=b·(y-μ(Y)) es la recta de regresión de X sobre Y.
Si σ(X)²>0 y σ(Y)²>0 , ambas rectas de regresión pasarán por el "centro de masas" (μ(X),μ(Y)), y definimos el coeficiente de correlación de X y Y por
ρ_XY = c_XY/(σ(X)σ(Y)) .
Demostrar
Teorema 1.35: las rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y coinciden si y sólo si ρ_XY = ±1 .
Teorema 1.36: si ρ_XY = 0, entonces las rectas de regresión son y=μ(Y) , x=μ(X) (perpendiculares).

Actividad 1.39. Diremos que dos variables aleatorias X, Y no tienen correlación lineal si y sólo si ρ_XY=0; esta condición es equivalente a la de c_XY=0 con σ(X)>0 y σ(Y)>0.
Demostrar el
Teorema 1.36: si dos variables aleatorias son independientes, no tienen correlación lineal.
¿La recíproca es cierta? Comprobarlo en el siguiente

Problema 1.20: estudiar la correlación lineal en el caso

X  1  2  3  Y  1  2  1

¿X e Y son independientes?

Actividad 1.40. Demostrar
Teorema 1.37: σ(X±Y)² = σ(X)² + σ(Y)² ± 2·c_XY .
Teorema 1.38: si X,Y son independientes o simplemente no tienen correlación lineal, entonces σ(X±Y)² = σ(X)² + σ(Y)² .

Actividad 1.41. Demostrar, utilizando el Teorema 1.37,
Teorema 1.39: Si y=a+bx es la recta de regresión de Y sobre X, entonces σ(Y-bX)² = σ(Y)²(1-ρ_XY²) .
Teorema 1.40: -1 ≤ ρ_XY ≤ 1 .
Si ρ_XY>0 diremos que X,Y tienen correlación lineal positiva; si ρ_XY<0 , diremos que X,Y tienen correlación lineal negativa; si |ρ_XY|≈1 , diremos que X,Y tienen buena correlación lineal; si ρ_XY≈0 , diremos que X,Y tienen mala correlación lineal.
Problema 1.21: estudiar la correlación lineal entre el número de calzado y la edad del alumnado asistente a clase; valorarla.

1.5. Estimar si un conjunto de muestras pertenecen a la misma población:

Objetivos:

1. Obtener un estimador insesgado de la varianza poblacional a partir de la media de las varianzas de un conjunto de muestras
2. Obtener un estimador insesgado de la varianza poblacional a partir de la varianza de las medias de un conjunto de muestras pertenecientes a la misma población.
3. Evaluar por análisis de varianza si un conjunto de muestras independientes pertenecen a la misma población.

Actividad 1.42. Si tenemos un conjunto de muestras independientes obtenidas por diferentes procedimientos, en caso de que estos procedimientos sean equivalentes la dispersión entre las muestras deberá ser proporcionada a la dispersión dentro de cada muestra (figura a). A fin de evaluarlo trabajaremos con m muestras de tamaño n y llamaremos:
X_jk al elemento k de la muestra j
_j y s(X_j)²  respectivamente a la media y la varianza de la muestra j
a la media de la muestra de tamaño m·n resultante de mezclar las m muestras de tamaño n.
Demostrar el
Teorema 1.41: = ∑ _{j j}/m .

Actividad 1.43. Llamaremos varianza dentro de variables a la media de las varianzas s_w² = ∑ _j s(X_j)²/m .
Supondremos que todas las muestras pertenecen a poblaciones por lo menos con la misma varianza σ² .
Demostrar el
Teorema 1.42: μ(s_w²) = σ²·(n-1)/n .
Llamaremos por lo tanto varianza corregida dentro de variables a _w² = s_w²·n/(n-1), que será un estimador insesgado de la varianza poblacional σ² .

Actividad 1.44. Teniendo en cuenta el
Teorema 1.43: si las variables aleatorias independientes Y₁, Y₂ tienen distribución Ji-cuadrado con grados de libertad ν₁ y ν₂  respectivamente, entonces la variable aleatoria Y₁+Y₂ tiene distribución Ji-cuadrado con ν₁+ν₂ grados de libertad
demostrar el
Teorema 1.44: mn·s_w²/σ² tiene distribución Ji-cuadrado con m·(n-1) grados de libertad

Actividad 1.45. Llamaremos
μ_j=μ(X_j) a la media de la población a la que pertenece la muestra j
μ=μ(X) a la media de la población resultante de mezclar las poblaciones a las que pertenecen las m muestras
α_j=μ_j-μ para cada muestra j (naturalmente, valdrá 0 si todas las muestras pertenecen a la misma población).
Demostrar que en cualquier caso se cumple el
Teorema 1.45: ∑ _j α_j = 0 .

Actividad 1.46. Llamaremos varianza entre variables a la varianza de las medias
s_b² = ∑ _j (_j-)²/m = ∑ _{j j}²/m - ² .
Recordando de la Actividad 1.26 que  σ(_j)²=σ²/n ,  σ()²=σ²/(mn), demostrar
Teorema 1.46: μ(_j²) = σ²/n + (μ+α_j)^2.
Teorema 1.47: μ(²) = σ²/(mn) + μ^2.
Teorema 1.48: μ(s_b²) = σ²(m-1)/(mn) + ∑ _j α_j²/m .

Actividad 1.47. Llamaremos varianza corregida entre variables a _b² = s_b²·nm/(m-1) .
Demostrar el
Teorema 1.49: μ(_b²) = σ² + n·∑ _j α_j²/(m-1) .
Por lo tanto, _b² será un estimador insesgado de la varianza poblacional σ² si y sólo si las poblaciones a las cuales pertenecen las diferentes muestras tienen todas la misma media (lo que llamamos hipótesis nula en la que todo α_j =0), cosa que naturalmente pasará si todas las muestras pertenecen a la misma población. En este caso, F=_b²/_w²  deberá ser próximo a la unidad. En otro caso μ(_b²)>σ² , y por lo tanto se puede prever que F sea mayor que la unidad.

Actividad 1.48. Teniendo en cuenta que s_b² es la varianza de la muestra (₁, ₂,..._m), de tamaño m, y que σ(_j)²=σ²/n, demostrar que si las muestras pertenecen a la misma población se cumple el
Teorema 1.50: mn·s_b²/σ² tiene distribución Ji-cuadrado con m-1 grados de libertad.

Actividad 1.49. Teniendo la cuenta el
Teorema 1.51: si las variables aleatorias independientes Y₁, Y₂ tienen distribución Ji-cuadrado con grados de libertad ν₁ y ν₂  respectivamente, entonces la distribución de F=(Y₁/ν₁)/(Y₂/ν₂) entre 0 y ∞ es
W_ν1,ν2(F) = K_ν1,ν2·F^ν₁/2-1/(1+ν₁·F/ν₂)^{(ν₁+ν₂)/2}, que se denomina distribución F de Snedecor con grados de libertad ν₁ y ν₂ . K_ν1,ν2 se escoge de modo que ∫₀^∞  W_ν1,ν2(F) dF = 1
demostrar el
Teorema 1.52: si tenemos m muestras independientes de tamaño n pertenecientes a la misma población, entonces
F=_b²/_w²  tiene una distribución F de Snedecor con grados de libertad ν₁=m-1, ν₂=m·(n-1) .

Actividad 1.50. Si tenemos m muestras independientes de tamaño n y
F=_b²/_w² > F_p(m-1 , m·(n-1)), siendo F_p(ν₁, ν₂) el coeficiente crítico de la distribución F de Snedecor con grados de libertad ν₁ y ν₂ tal que la probabilidad de un valor menor o igual a este coeficiente sea p, entonces podemos rechazar con un nivel de significación β=1-p la hipótesis nula de que las muestras pertenezcan a la misma población. Utilizaremos las tablas de la distribución F de Snedecor (inversa) para determinar el correspondiente coeficiente crítico.
Problema 1.22: anotar el número de calzado en varias muestras del mismo tamaño entre el alumnado asistente a clase y valorar si pertenecen a la misma población (a ser posible, procurar que alguna de las muestras esté formada únicamente por chicos y otra únicamente por chicas).

Actividad 1.51. ¿Cómo habríamos de interpretar el hecho que F=_b²/_w² << 1? Aplicarlo a la resolución del siguiente
Problema 1.23: calcular el estadístico F correspondiente al siguiente par de muestras:
X₁=(24'2, 25'3, 25'4 , 26'2, 27'5)
X₂=(24'2, 25'3, 25'4 , 26'2, 27'4)
¿Se puede considerar que las muestras no cumplan alguna de las premises del Teorema 1.52?
Para valorarlo con un cierto nivel de significación podemos utilizar la relación F_p(ν₁, ν₂)=1/F_1-p(ν₂, ν₁) .

Trabajo 3 (para su realización en equipo):
Comparar diferentes procedimientos para obtener algún preparado químico utilizando alguna variable aleatoria adecuada (cantidad del preparado, tiempo para su obtención, etc.). Obtener los datos de experiencias reales y utilizar un mínimo de 3 procedimientos aplicando como mínimo 5 veces cada procedimiento. Estimar por análisis de varianza si los diferentes procedimientos se pueden considerar equivalentes.

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