1. Introducció: el
concepte de Complexitat:
Una primera aproximació a la Complexitat
en un Sistema ens remet a la Informació
continguda en el mateix, mesurada en bits. Així, un
Sistema que continga una única variable binària, amb dos
possibles valors, 1 i 0, podria contenir com a molt 1 bit
d'informació, resultat d'escollir entre ells. Un Sistema que
continga dos variables binàries podria contenir 2 bits
d'informació (que ens permetrien escollir entre les parelles de
valors 11 , 10 , 01 i 00), i així successivament. I en principi,
quant més informació puga contenir un Sistema, major
podria ser la Complexitat dins del mateix.
Ara bé, dues Sistemes que poden contenir formalment la mateixa
quantitat d'Informació podrien adoptar estats amb nivells de
Complexitat molt diferent. Per exemple, les successions 1111111111 i
1001110100 podrien expressar els mateixos 10 bits d'Informació,
però la seua Complexitat apareix molt diferent. De fet, la
primera es podria descriure fàcilment dient simplement que
conté una successió de números 1, mentres que
tindriem dificultats per a descriure la segona sense enumerar els 1 i 0
que conté.
Per a distingir entre situacions d'aquest tipus, es podria definir la
Complexitat com la Informació mínima necessària
per a generar un
determinat
estat d'un Sistema. En aquest sentit, podriem tenir suficient amb un
bit (escollir el número 1 enfront del 0) per a generar la
primera sucessió, mentres que necessitariem un número
superior de bits per a generar la segona. Ara bé, si la
successió dels 1 i 0 és purament "aleatòria", o
dit d'altra manera, està tan "desordenada" que no es pot generar
sense enumerar-los tots, podem dir que és caòtica.
Així, el Caos suposa un extrem que limita la Complexitat, la
qual suposa una certa estructuració, i per tant la possibilitat
de generar l'estat del Sistema sense la seua completa descripció.
En el tema 4 estudiarem en detall la Complexitat "en la frontera del
Caos", que correspon al que anomenem Sistemes Crítics. Ara ens
limitarem a algunes consideracions genèriques.
Pensem en les Aplicacions de Poincaré que expressen la
intersecció en un pla bidimensional de les trajectòries
d'un Sistema Dinàmic. Les més senzilles són les
trajectòries periòdiques, que intersecten el pla en un
número finit de punts. En altre cas, si es pot obtenir una
integral primera de les equacions del moviment, la trajectòria
es trobarà sobre una superfície, que intersectarà
amb el pla en una corva. En determinats casos, variant les condicions
inicials s'obtenen conjunts de curves cada vegada més complexes,
fins a arribar a trajectòries ergòdiques que no es troben
sobre cap superfície, sinò que "plenen" una porció
de l'espai, i la seua intersecció en el pla dóna un
conjunt caòtic de punts.
Una altre cas de Complexitat és el que es dóna en els
Sistemes Socials. Ací farem una cita literària, d'Isaac
Asimov amb la seua ciència-ficció sobre la
"psicohistòria": en la novel·la "Prelude to Foundation"
tracta sobre els treballs de Hari Seldon en l'origen de la
"psicohistòria", que ell explica així: "Sempre s'ha
pensat que quelcom tan complicat com la societat humana s'havia de
convertir en un caos i, per tant, impredictible", però que, en
canvi, ell havia demostrat que es podia construir un model de la
societat humana (la "psicohistòria") de menor grandària
que la mateixa societat però que podia permetre fer prediccions.
Això és ciència-ficció, clar, però
la metodologia és correcta: la possibilitat de predicció
requereix que la Informació necessària per a general un
determinat estat d'un Sistema, i que mesura la seua Complexitat, siga
menor que la que suposa la descripció completa de l'estat.
S'haurà observat que parlem d'Informació continguda en un
Sistema, i en canvi de Complexitat d'un determinat estat del mateix.
Aquesta distinció pot ser útil per a la
presentació d'aquests conceptes, però caldria
relativitzar-la. En efecte, podem definir un Sistema donant no
únicament un conjunt de variables i els seus possibles valors
(el que anomenem Nivell de Resolució), sinó també
les restriccions a la compatibilitat entre aquests valors (el que
anomenem Comportament). D'aquesta manera, podriem tenir una
situació d'absència de restriccions, amb el qual es
podrien donar totes les possibles combinacions de valors. Podriem tenir
també una restricció forta que fera que hi hagués
un únic conjunt de valors compatibles. I podriem tenir
restriccions intermèdies. En el primer cas, la Informació
intrínseca al Sistema seria zero. En el segon cas, la
Informació intrínseca al sistema tindria el valor
màxim. I en els casos intermedis la Informació tindria
també valors intermedis. Ara bé, de la mateixa manera que
indicàvem abans, Sistemes amb la mateixa Informació
formal podrien tenir diferent Complexitat. Això ho podriem
indicar descomposant el Sistema en dues subsistemes, de manera que un
sistema no tingués cap restricció, i per tant la seua
Informació seria nul·la, mentres que l'altre subsistema
fora el que generés les restriccions. En aquest cas, si el
subsistema generador té la mínima Informació
necessària per a generar les restriccions dels Sistema global,
aquesta Informació podria mesurar la Complexitat del Sistema
global.
En aquesta línia, és habitual en Informàtica
mesurar la Complexitat d'un Sistema per la longitud mínima del
programa necessari per a generar-ho. Cal assenyalar que en molts casos
no és fàcil determinar aquesta longitud mínima, i
es pot únicament acotar-la superiorment. És a dir, si
tenim un programa que genera un Sistema, la seua Complexitat no pot ser
superior a la seua longitud. Però potser hi haja altra programa
de menor longitud que el genere, i per tant la seua Complexitat pot ser
menor.
Pensem per exemple en la generació de les xifres d'un
número. Si és un número racional, les seues xifres
decimals es repetiran periòdicament, i per tant serà
suficient amb donar les xifres d'un periode per a generar totes les
xifres del número. Tanmateix, en un número racional les
xifres no es repeteixen periòdicament. Suposa això que la
seua successió és caòtica? Per a estudiar-ho,
caldrà intentar construir un programa per a generar N xifres. Si
trobem un tal programa amb una longitud de menys de N caracters,
aleshores podem deduir que la successió de les xifres no es
caòtica, i que la seua Complexitat està acotada
superiorment per la longitud del programa. En particular, es pot
construir un programa de menys de 1000 caracters que permet obtenir les
primeres 1000 xifres del número π, i per tant poder deduir que
la successió de les seues cifres, que no és
periòdica, és certament complexa i no caòtica.
Pasem ara a examinar les següent successions binàries:
a) 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
b) 101010101010101010101010101010101010101010101010101010101
c) 100110011001100110011001100110011001100110011001100110011
d) 111010001101000110100011010001101000110100011010001101000
e) 100111010000101100011011111001001100111101101010010101110
La successió (a) està perfectament definida des del seu
inici, amb la predeterminació del número 1 com a
necessari. En la successió (b), cada número determina el
següent: a un 1 el segueix un 0, i a un 0 el segueix un 1.
Això el podem expressar en una tabla de la seguent forma:
En la successió (c), per a determinar un número cal donar
els dos números anteriors. Pot completar-se fàcilment la
tabla següent per a expressar aquesta determinació:
Observem que les successions (a), (b) i (c) són
periòdiques: necessàriament han de ser-ho al estar
determinat el número per una determinada sèrie finita de
números precedents, per tal com el conjunt d'aquestes
sèries finites és també finit, i per tant aquestes
s'han de repetir necessàriament. Observem que la
successió (d), a partir d'un determinat punt, és
també periòdica. Podem trobar com a exercici la tabla que
expressa la determinació en aquesta successió d'un
número per una sèrie de números anteriors. En tots
aquests casos, la successió completa es pot generar donant la
tabla o els números d'un periode, i la Informació
mínima requerida mesurarà la complexitat de la
successió.
En canvi, la successió (e) no és periòdica, i
aparenta ser caòtica. Potser la única forma de generar-la
siga donant els 57 números que la composen, i que a més
no permetrien inferir quin seria el número següent, el
58é.
Però, realment és així? Realment aquesta
successió ha estat generada seguint una regla determinista que
pot continuar indefinidament. Podrieu inferir quina és aquesta
regla?
Això ens haurà d'ensenyar a esser susceptibles davant del
Caos aparent, que pot tenir una estructura de Complexitat subjacent.
I podem també demanar-nos si la definició de Complexitat
que hem donat pot esgotar aquest concepte. S'ha qualificat, en
particular, el conjunt de Mandelbrot com "el objecte més
complexe de l'univers", però aquest Sistema es genera a partir
de la successió iteritativa, relativament simple, Z=Z2+C
a partir de diferents valors fixes del número complexe C, i
prenent com a valor inicial Z=0 (veure per exemple http://www.olympus.net/personal/dewey/mandelbrot.html
).
Podem parlar en aquests casos de "Complexitat emergent" generable a
partir de Sistemes senzills?