4. Sistemes crítics: la Complexitat en la frontera del Caos:

Tal com hem comentat en els temes anteriors, la Complexitat requereix una certa coexistència de l'ordre i el desordre. Aquesta situació es dóna en processos particular de transició de fase entre dues formes d'ordre, als quals anomenem fenomens crítics, en els quals aquestes coexisteixen i estan d'alguna forma interpenetrades.

Posem dues exemples, de la Física i de les Ciències Socials:

Sabem que la transició de l'aigua de líquid a gas per ebullició a pressió atmosfèrica es fa a la temperatura de 100ºC. En aquestes condicions, el vapor d'aigua té una densitat prou inferior a la de l'aigua líquida, raó per la qual en cada moment el vapor es troba per damunt del líquid amb una superfície clara d'interfase de separació. Tanmateix, si anem augmentant la pressió, la temperatura d'ebullició anirà també augmentant. Però l'augment de pressió comprimeix en major proporció el vapor que el líquid, raó per la qual la seua densitat s'anirà aproximant. I s'arriba a una pressió en la qual a la temperatura d'ebullició de 647ºC el líquid i el vapor d'aigua tenen la mateixa densitat de 0'323g/cm3 . En aquest punt crític no hi ha superfície d'interfase, sinó que hi ha bombolles de líquid dins del gas que tenen dins altres bombolles de gas que tenen dins altres bombolles de líquid, i així successivament fins al nivell molecular.

Veure també:
Article en Wikipedia sobre Punt Crític en http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_cr%C3%ADtico
Experiments en l'Estació Espacial Internacional en http://ciencia.nasa.gov/headlines/y2004/16jun_colloids.htm
Técnica de Secadors de Punt Crític en http://www.2spi.com.mx/catalog/instruments/dryers_technique.html
(hi ha una gràfica de les transicions de fase del CO2 en http://www.2spi.com/catalog/instruments/images/critical.jpg)

Per altra banda, en l'evolució social es pot donar una transició d'un mode de producció a altre a través d'un únic acte revolucionari, on per exemple s'abolisquen els privilègies senyorials passant del feudalisme al capitalisme. Aquest podria ser el procés de la Revolució Francesa. Naturalment, hi ha també un procés de transició a través del qual hi ha territoris sota règim feudal i territoris sota règim capitalista, però amb unes fronteres delimitades que es veuran desplaçades com a resultat de la guerra. En canvi, el procés de transició d'un mode de producció capitalista a un mode de producció socialista pot realitzarse a través d'un llarg periode d'economia mixta en el qual coexisteixen dins d'un mateix territori empreses de propietat social a diferents nivells (cooperatives, municipals, estatals...) i empreses de propietat privada capitalista, junt a tot un entramat d'institucions de diferents àmbits, i el personal es pot desplaçar d'unes a altres. A més, unes i altres empreses actuarien dins d'un mercat sota regles capitalistes, i al mateix temps haurien d'estar sotmeses a la regulació d'una planificació subordinada a l'interés general (article 128-1 de la Constitució Espanyola de 1978, http://www.gva.es/cidaj/val/v-normas/constitucio.htm#Article%20128), en tant que la pressió fiscal dins d'un sistema tributari progressiu pot aminorar les diferències de renda (article 31-1 de la Constitució Espanyola de 1978, http://www.gva.es/cidaj/val/v-normas/constitucio.htm#Article%2031).

En general, anomenem paràmetre d'ordre a una quantitat que tendeix a zero quan s'arriba al fenòmen crític. En el cas de la transició de fase líquid-gas, el paràmetre d'ordre seria la diferència entre la densitat del líquid i la densitat del gas. En el cas d'una economia mixta "crítica", deixem com a exercici imaginar quin podria ser el paràmetre d'ordre.

Així mateix, cal assenyalar que en els fenòmens crítics es dóna una autosimilaritat pròpia dels sistemes fractals, de manera que les seues característiques es repeteixen a diferents escales, o dit d'altra manera, són independents de l'escala, encara que aquesta autosimilaritat tinga el límit de l'estructura pròpia de la matèria de que es tracte (les molècules en la transició de fase líquid-gas, les persones humanes en les estructures econòmiques...), límits que no es donen en els fractals pròpiament dits en tant que models matemàtics.

Per a caracteritzar els fractals haurem de distingir entre la dimensió topològica i la dimensió fractal.

La dimensió topològica d'una figura geomètrica es determina assignant als punts dimensió topològica 0, i postulant que una figura té dimensió topològica n si i a sols si l'hem de tallar per una figura de dimensió topològica n-1 per a partir-la. Així una corva té dimensió topològica 1 per tal com es pot partir per un punt, una superfície té dimensió topològica 2 per tal com s'ha de tallar per una corva per a partir-la, i així successivament.

Un fractal es caracteritza perqué la seua dimensió topològica és menor que la seua dimensió fractal, definida per
DF = -limδ→0 lnN(δ)/lnδ ,
on N(δ) és el número d'elements de longitud característica δ necessaris per a recobrir-ho (naturalment, solament en un objecte matemàtic podem fer tendir δ a zero). Així, els fractals poden tener una dimensió fractal fraccionària. Pel contrari, els objectes geomètrics no fractals tindran una dimensió fractal entera igual a la seua dimensió topològica. Pensem per exemple en un segment d'una recta que és recoberta exactament per N(δ0) segments de longitud δ0. Si ara prenem segments de longitud δ=δ0/3 necessitarem N(δ)=3N(δ0) elements per a recobrir-ho. I si prenguérem δ=δ0/3n, necessitariem N(δ)=3nN(δ0) elements. Per tant
DF = -limn→∞ -ln(3nN(δ0))/ln(δ0/3n) = -limn→∞ -(lnN(δ0)+nln3)/(lnδ0-nln3) = 1

Comprovar com a exercici que la dimensió fractal de l'àrea interior d'un rectangle és 2 (podem començar suposant que recobrim exactament el rectangle amb una retícula de a×b quadrats amb costat de longitud δ0).

Anem a estudiar ara el següent fractal "crucífer", del que mostrem els primers pasos de la seua construcció:





Es pot visualitzar en http://www.uv.es/pla/Tutoria/scca/crucifer.gif el procés de la seua construcció. Observem que en cada pas la longitud es multiplica per 5/3, i per tant la longitud total del fractal serà infinita. Així mateix, i per tal com el procés de construcció es repeteix a totes les escales, la longitud de la porció del fractal entres dos punts qualsevol del mateix serà també infinita.

Observem igualment que si partim de un segment de longitud 1, en el primer pas l'altura de la figura és 1/3, en el segon pas s'afegeix una altura de (1/3)·(1/3), en el tercer altra altura de (1/3)·(1/3)·(1/3), i així successivament. Per tant, l'altura total del fractal serà la suma de la sèrie geomètrica amb termini inicial 1/3 i raó 1/3, S=(1/3)/(1-(1/3))=(1/3)/(2/3)=1/2. Per tant, recobrirem totalment el fractal amb 2 quadrats adosats de longitud δ0=1/2. En la figura següent es mostren els recobriments amb δ=δ0 i amb δ=δ0/3.
 
Tenint en compte que aquest procés es repeteix a totes les escales, calcular la seua dimensió fractal.

Assenyalem que en molts fractals és difícil calcular directament la seua dimensió fractal. En aquest cas es pot aproximar el seu valor per la pendent de la recta de regressió d'un conjunt de punts (-lnδ , lnN(δ)) per a diferents recobriments. Aquest mètode rep el nom de box-counting.

En les figures que són construides formalment a través d'un procés determinista en el qual, al variar l'escala dividint per E la longitud d'un element, el número d'elements es multiplica per M, es pot definir una dimensió de similaritat constant DS que acomplisca
M/EDS = 1 .
Aquesta dimensió de similaritat,
DS =  lnM/lnE ,
coincideix amb la dimensió fractal, com es pot comprovar en els exemples anteriors.

Tanmateix, hi ha processos reals que no són construïts amb regles deterministes, sinó que pel contrari han de ser descrits de forma probabilística i en els quals la relació de similaritat varia a diferents escales.

Suposem que l'espai en el que es dóna la figura es divideix en m porcions cadascuna de les quals té una probabilitat pi, i=1:m, que seria la probabilitat de que a l'escollir a l'atzar un punt de la figura aquest estiga en la porció i. Aleshores, definim la dimensió de correlació d'ordre q com
D(q) = lim L→0 ln Σi=1m piq/((q-1)lnL)
on L indica la longitud d'escala.

D(0) és precisament la dimensió fractal (comprovar-ho com a exercici).

Així mateix, si prenem D(1) = lim q→1 D(q), obtindrem
D(1) = - lim L→0 S(L)/lnL ,
on
S(L) = - Σi=1m pi lnpi 
és l'entropia de Shannon a l'escala L (comprovar-ho com a exercici aplicant la regla de l'Hôpital): anomenarem a D(1) dimensió d'informació.

En el cas del fractal "crucífer", podem observar que excloent aquelles porcions que no contenen cap part del mateix, les restants porcions contenen la mateixa proporció del fractal, i per tant, si prenem m com el número d'aquestes porcions, la probabilitat de cadascuna d'elles serà pi=1/m .

Comprovar com a exercici que en aquest cas D(q) és constant i igual a la dimensió fractal per a qualsevol número real q.

En general, si la funció D(q) és constant (i superior a la dimensió topològica), direm que la figura és un fractal pur. En altre cas, direm que és un multifractal, en el qual la relació de similaritat serà variable, i D(q) serà monòtona decreixent. Definirem les funcions
r(q) = D(q) (q-1)
α(q) = dr(q)/dq
f(α) = q α(q) - r(q)
En el cas d'un fractal pur, r(q) serà lineal i f(α) =  α(q) = D(0) (la dimensió fractal). Si la figura és un multifractal, anomenarem espectre de dimensions fractals generalitzades a f(α), que tindrà el seu valor màxim en f(α(0))=D(0) (comprovar com a exercici aquestes igualtats).

En general, α(q) es trobarà entre un valor mínim αm i un valor màxim αM, la diferència entre els quals expressa la "amplitut" de l'espectre. Per tal com f(α) és una funció convexa de α, els seus valors estaran compresos entre D(0) i el mínim de f(αm) i f(αM). Quant menor siga la seua variació, menor serà la variabilitat de les relacions de similaritat a diferents escales. Aquesta variabilitat s'expressa també en el canvi de pendent de r(q).

Podem aplicar aquests conceptes a la següent figura:
multifractal MM quadriculat
Tercer pas de la construcció del multifractal MM amb un doble quadriculat

A la dreta, aproximacions a les seues dimensions D(0) i D(1) per les pendents de (-lnL,lnm) i (-lnL,lnS) respectivament.
 Dimensions MM
Intentar com a exercici aproximar les seues dimensions fractals i d'informació contant respectivament caixes quadrades de longitud L i els vèrtex que contenen per a calcular S(L). Dividir a tal efecte L per 5 en cada pas (observar que el costat de cada quadrat és el doble del d'un quadrat contigu)

En general, si les propietats d'un determinat sistema són independents de l'escala d'observació, direm que segueixen una llei d'escala. Un cas trivial és el de les relacions lineals y=Ax, però en general les lleis d'escala tenen característicament la forma d'una llei potencial, del tipus y=Axd . En efecte, si comparem dos valors y2=Ax2d i y1=Ax1d , tindrem que y2/y1 =(x2/x1)d = (λx2/λx1)d , raó per la qual la relació entre aquests dos valors de y no es modifica si canviem l'escala de x multiplicant-la per λ.

En canvi, no podrem fer el mateix si la llei és, per exemple, de la forma y=A1xd1 + A2xd2 . Tanmateix, si d1 i d2 són molt similars, les propietats variaran poc al variar l'escala d'observació. Podriem dir que les relacions de similaritat varien poc al variar d'escala.

Per això, quan experimentalment trobem que un determinat fenòmen complexe segueix una llei d'escala (amb exponent fraccionari), és previsible que el puguem modelitzar mitjançant un fractal.

Per a trobar una possible llei d'escala y=Axd podem prendre lny=lnA+dlnx i ajustar lnA i d per regressió lineal, valorant la bondat de l'ajustament mitjançant el corresponent coeficient de correlació.

Podem discutir, com exercici, en quins casos podriem descriure un procés com un multifractal, quins casos admetran una modelització simple sense utilització de fractals, i quins casos solament podran ser descrits com processos aleatoris.
Cercar com a exercici:
  1. La llei d'escala que dóna N en funció de δ en el fractal crucífer.
  2. Una llei d'escala que puga descriure la frecuencia dels diferents agrupaments de números 1 en la successió (e) del tema 1.
  3. La dimensió fractal de la successió (e) del tema 1.

Podem veure en la figura adjunta els gràfics corresponents a les rectes de regressió de la llei d'escala i del "box counting" per a la successió (e), així com de la corresponent llei potencial.


Veure també:
Imatge del 4rt pas de la construcció del multifractal MM en http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/multifractal/
Espectre multifractal en http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/multifrac/
Modelització multifractal de l'abundància de plancton en http://www.biosci.ohiou.edu/faculty/currie/ocean/mf-main.htm
Exemples de fenòmens que es poden descriure mitjançant lleis d'escala en http://coco.ccu.uniovi.es/geofractal/capitulos/02/02-03.shtm