CÁLCULO DIFERENCIAL Y DIALÈCTICA
Hace tiempo envié un correo electrónico a marxist.com con algunas
puntualizaciones a un artículo titulado "El Materialismo Dialéctico y
el Cálculo". No obtuve ninguna respuesta por correo electrónico, pero
el 25 de noviembre de 2010 me enteré por Twitter de una respuesta en marxist.com
a mis puntualizaciones, fechada en julio de 2005. Desde marxist.com me comunicaron que el artículo de 2005 no fue publicado entonces, y había sido publicado en el 2010 por error, habiendo ya sido retirado de dicha web. En mayo de 2018, buscando mi canal de YouTube, me entero de un vídeo publicado en abril en el que se hace referencia a dicho texto, que ahora se encuentra en http://periodicorevolucion.org.mx/wp-content/uploads/2018/05/pla02.pdf. Sigue a continuación mi respuesta del 2010.
Rafael Pla López,
Licenciado en Física y Doctor en Matemáticas
"El Juan" que crípticamente firma el artículo comienza afirmando que "Rafael
Pla no argumenta su(fi)cientemente
sus observaciones, de manera que a partir de esta misiva no puede
entablarse una polémica seria",
una forma cómoda de eludir la refutación efectiva de mis
argumentaciones. Naturalmente, yo podría decir lo mismo con
mayor
fundamento, pero me abstendré de decirlo centrándome en cuestionar lo
que plantea:
- Sorprendentemente, ante mi afirmación de que "como profesor y doctor en
Matematicas no puedo menos de comentar algunas de las cuestiones que se
plantean" declara que "Como
marxistas no podemos permitirnos una presentación de este tipo, ya
que si bien Rafael Pla es doctor y profesor, este hecho no le da más
fuerza a las argumentaciones que vaya a hacer".
Sorprendentemente, porque reconociendo que mi presentación se ajustaba
a la realidad, critica algo que yo no he dicho: en ningún momento
planteo mis calificaciones académicas como un argumento de autoridad,
sino como una motivación personal: después de décadas dedicado a la
docencia en Matemáticas, no resulta extraña mi afición a
corregir errores matemáticos. Pero, singularmente, es "El
Juan" y
no yo quien plantea argumentos "de autoridad", con expresiones como "no sólo eso se enseña en los
cursos, también se enseña que (...)". Eso sí, debo
recordar que mi título académico no es "nobiliario"
como él afirma, sino resultado de largos años de estudio, que
ciertamente me califican para tratar de problemas matemáticos. En todo
caso, supongo que "El Juan" aceptará que autotitularse "Como marxistas"
tampoco da más fuerza a sus argumentaciones. Y ya que estamos hablando
de presentaciones y calificaciones, invito a "El Juan" a realizar un
sencillo test en http://www.uv.es/pla/marxista.html
para justificar su calificación como "marxista".
- Eso sí, reconozco que mi presentación era incompleta, cosa
que permite a "El Juan" replicarme que "Hay muchos matemáticos que
niegan la veracidad de este proceso de
construcción. Esto se debe a su ignorancia en las demás ciencias
naturales, al no conocerlas, ellos se forman la idea de que las
matemáticas forman partido aparte de las demás ciencias, esto los
encierra en su mundito apartado y se vuelven cerrados en el terreno
científico".
Porque se da el caso de que no sólo soy doctor en Matemáticas, sino
también licenciado en Física, y he estado trabajando hasta mi
jubilación en un Departamento de Matemática Aplicada, después de haber
estado en un Departamento de Física Teórica, de modo que difícilmente
podía compartir "la idea
de que las
matemáticas forman partido aparte de las demás ciencias".
- Ante mi argumentación de que "La afirmacion de que el calculo
diferencial e integral requiere ir mas
alla de la logica formal no tiene ninguna base. Dicho calculo, de
hecho, se desarrolló, bastante antes del origen del marxismo",
"El Juan" replica que "la
naturaleza se comporta de manera dialéctica independientemente del
entendimiento del hombre". Pero olvida que el cálculo
diferencial e integral es un artefacto, un producto cultural, y es
importante situarlo históricamente: el cálculo diferencial e integral
no ha necesitado históricamente "ir
más allá de la lógica formal" para desarrollarse, sino
todo lo contrario; de hecho, su formulación rigurosa a partir de Cauchy
utilizando el concepto de límite y superando los balbuceos del "cálculo
de fluxiones" de Newton, permite precisamente reconciliar el cálculo
con la lógica formal, y está vinculado al desarrollo mismo de la lógica
formal.
- Singularmente, después de haber enfatizado que "este texto no está dirigido para
los escolásticos de la matemática formal, sino para un público bastante
más amplio", me reprocha que hable genéricamente de "espacio de las funciones"
sin especificar si me refiero a "las
Riemann-integrables, las Lebesgue-integrables", etc.,
cuando realmente ello es irrelevante para el tema en discusión. Y para
intentar justificar que el problema de la derivación-integración es "mucho más complicado"
de lo que yo expongo, lo ilustra con innecesarias expresiones
matemáticas (el hecho de que escriba mal la Regla de Barrow a la que
llama "Segundo Teorema
Fundamental del Cálculo Infinitesimal" tiene poca
importancia: si f=g', la integral de f entre a y b no es g(a) como él
escribe, supongo que por despiste, sino g(b)-g(a)). Pero la cuestión se
puede explicar sin fórmulas: la derivación de una función puede
considerarse como el resultado de aplicar un operador que "transforma"
una función en otra, del mismo modo que el sumar (por ejemplo) 2 puede
considerarse como el resultado de aplicar un operador que "transforma"
un número en otro. Escribo "transforma" entre comillas porque
el uso de este término en matemáticas difiere de su uso en el lenguaje
cotidiano: no se trata de que la función o el número cambien en el
tiempo, sino de un "desplazamiento" en un "espacio" matemático de
funciones o de números, respectivamente. Y del mismo modo que al
aplicar el operador "restar 2" recuperamos exactamente el número
inicial,
al aplicar el operador "integración" con las correspondientes
condiciones iniciales recuperamos exactamente la función inicial. Por
ello decimos que la "integración" es la operación inversa de la
"derivación" del mismo modo que la resta es la operación inversa de la
suma. Ciertamente, decir que al derivar una función la "negamos" es un
abuso del término "negación". Pero lo importante es que, al contrario
de la "negación de la negación" dialéctica, después del ciclo de
aplicar una operación y su inversa estamos exactamente en la posición
de partida, y no se genera ninguna cualidad nueva que justificara
hablar de un proceso dialéctico. Señalemos que la propiedad de que al
completar un ciclo estemos en una situación nueva es característica de
los procesos irreversibles, que en sistemas termodinámicamente cerrados
llevan necesariamente a una degradación, pero que en sistemas abiertos,
sean biológicos, sociales u otros sistemas cibernéticos, pueden llevar
a una evolución generadora de nuevas cualidades y por ende genuinamente
dialéctica.
- Por otra parte, para insistir en que "si tenemos una funcion de
velocidad continua, entonces podemos
considerar esta como la union de una infinidad de movimientos
rectilineos uniformes" argumenta que "toda función continua es el
límite de funciones simples, por
consecuencia se puede expresar ésta como la unión de una infinidad de
funciones constantes". Ello revela una mala comprensión
del concepto de límite. Para explicarlo, comenzaremos por un caso más
simple: si tomamos la sucesión generada dividiendo un número
sucesivamente por 2, por ejemplo (1, 0'5, 0'25, 0'125, 0'0625...), el
límite de dicha sucesión es el número cero, dado que podemos encontrar
números de la sucesión tan próximos al cero como queramos, de acuerdo
con el concepto de límite. Pero el número cero no forma parte de la
sucesión. Del mismo modo, si tenemos por ejemplo la función real
continua y=x2, podemos tomar una serie de
aproximaciones sucesivas formadas por "funciones simples" quebradas,
por ejemplo tomando los valores de x con n cifras decimales y los
correspondientes valores de y; por ejemplo, si n=2,
calcularíamos los cuadrados de los valores 0, 0'01, 0'02,
0'03, etc., y tomaríamos segmentos constantes con valores de y iguales
a dichos cuadrados. Dicha "función simple", no continua, coincidiría
con el valor de la función y=x2 exclusivamente
para los valores de x que tengan únicamente 2 cifras decimales. Si
hacemos tender n a infinito, dado que cualquier número real es el
límite de alguna sucesión de números decimales (cada uno de los cuales
tiene un número finito de cifras decimales), el límite de dicha
sucesión de funciones "simples" será la función y=x2.
Pero si tomamos la unión de todos los valores de x en los que alguna de
dichas funciones "simples" coincida con el valor de y=x2,
obtendremos el conjunto de todos los números decimales (con un número
finito de cifras decimales), excluyendo por tanto tanto los números
irracionales como los números racionales con infinitas cifras decimales
periódicas, como 1/3=0'3333... ; para dichos números, el valor de la
función y=x2 no coincide con el valor
de ninguna de dichas funciones simples; y del mismo modo, aunque la
función y=x2 sea el límite, cuando n
tienda a infinito, de una sucesión de funciones "simples", cada una de
las cuáles se puede considerar como la unión de funciones constantes,
la función y=x2 no es una unión (finita
o infinita) de funciones constantes. Dicho resultado matemático es
coherente con la realidad física: como señalaba, un movimiento curvo de
un cuerpo requiere que sobre él actúe una fuerza total no nula,
mientras que los movimientos rectilíneos uniformes requieren que la
fuerza total sea nula (dado que la fuerza es una magnitud aditiva, la
distinción entre una fuerza total nula y la ausencia de fuerzas es
puramente escolástica).
- "El Juan" me acusaba extrañamente de no haber leído su
texto, cuando mi respuesta incluía citas textuales del mismo. Supongo
que él si habrá leído mi respuesta, y no se habrá limitado a "copiar y
pegar" la misma fraccionándola. Pero no parece haber seguido mi
recomendación "Antes de
querer ver una dialectica trivializada por todas partes, es
recomendable releer el prologo de Marx a la tercera edicion del Capital",
lo cuál por otra parte es lógico ya que había equivocado la referencia:
se trata del postfacio a la segunda edición, del cual reproduzco aquí
los fragmentos pertinentes: después de reproducir una cita del Wiestnik
Ievropi que decía, entre otras cosas, "cada época histórica tiene sus
propias leyes (...) Los viejos economistas desconocían el carácter de
las leyes económicas cuando las comparaban con las leyes de la física y
la química... Un análisis un poco profundo de los fenómenos demuestra
que los organismos sociales se distinguen unos de otros tan
radicalmente como los organismos vegetales y animales (...) el valor
científico de tales investigaciones estriba en el esclarecimiento de
las leyes especiales que presiden el nacimiento, la existencia, el
desarrollo y la muerte de un determinado organismo social y su
sustitución por otro más elevado", Marx concluye: "al exponer lo que él llama mi
verdadero método de una manera tan acertada (...) ¿qué hace el autor
sino describir el método dialéctico". Pero no es
necesario recurrir al argumento de autoridad de Marx para cuestionar la
lapidaria afirmación de que "La
dialéctica en las matemáticas aparece donde hay movimiento, porque el
movimiento en sí, ya es contradictorio", por mucho que
intente apoyarse en el argumento de autoridad de Engels. De hecho, la
afirmación de que todo movimiento es contradictorio nos retrotrae a
varios milenios atrás, hasta Heráclito o las aporías de Zenón de Elea.
Pero si algo es función del tiempo, x(t), el hecho de que x(2) sea
distinto a x(1) no supone ninguna contradicción. Lo que sería
una contradicción sería que x(1) fuera distinto a x(1). En vez de
plantear lo que no son sino juegos de palabras, resulta más productivo
buscar la dialéctica en los procesos complejos en los que concurren
tendencias contradictorias generando procesos evolutivos y
transformaciones revolucionarias. Más productivo para la ciencia, y
para la lucha por la emancipación de la clase trabajadora.