DETERMINACIÓN DE FACTORES EXPLICATIVOS .     ANÁLISIS FACTORIAL.

        Cada uno de los dos análisis planteados (socio-demográfico , económico) se comienza por una primera fase cuyo objetivo es la determinación de los factores explicativos de la realidad estudiada y de su variación en el área metropolitana de Valencia , considerada. Con este fin se utilizan algunas técnicas del llamado Análisis Factorial ( en concreto , Análisis de Componentes Principales con rotación Varimax).

        En esencia , todas las técnicas de análisis factorial pretenden encontrar un número reducido de factores , categorías o variables no observables que nos expliquen la mayor parte de la variabilidad de la que nos informa el conjunto de n variables originales (obtener m factores donde m< n )

        Los efectos fundamentales buscados son la parsimonia científica ,una mayor fiabilidad y una más sencilla representación de la realidad que es , incluso gráfica .Si además , el porcentaje de la variabilidad explicado por los factores es alto y los factores tienen una clara interpretación , a partir de la obtención de estos factores habremos encontrado las principales categorías explicativas de la realidad que estudiamos.

        Básicamente , pues , la pretensión es explicar n variables (j= 1,2,……., n) en función de un número más reducido m (m<n) de factores explicativos comunes , (p=1,2,3,…..m) y n factores específicos , uno por cada variables . Otra hipótesis básica de tdo modelo factorial es la linealidad de la relación entre las variables originales y factores . Sin perder generalidad se considera que las variables originales están tipificadas a media 0 y desviación típica 1 . Llamando    a cada una de las variables originales tipificadas el modelo factorial quedaría como
                                           

        Esquema que , en realidad se traduce en un sistema de n ecuaciones que puede representarse matricialmente como           Z = AF+YU

                Donde Z es el vector de las n variables originales , F es el vector de los factores comunes , Y es el vector de los n factores específicos , A es la matriz (n x m) de los factores ( cargas , pesos o saturaciones ) y U es la matriz de unicidades o de coeficientes de los factores específicos.

        La determinación de los factores pasa por la estimación de los coeficientes o saturaciones y existen distintos métodos para ello , aunque uno de los más sencillos y que posee propiedades ventajosas es el basado en la factorización de la matriz de correlación inicial , que se conoce como método de las componentes principales .Según el modelo de componentes principales las n variables originales tipificadas pueden expresarse como combinación lineal exacta de otras n variables (factores) componentes principales . Todas incorreladas entre sí .           Z = AF.

       La matriz de coeficientes o de cargas , o de patrón factorial , puede obtenerse de forma relativamente sencilla factorizando , diagonalizando , la matriz de correlación original , y resulta estar formada (considerada por columnas) por los sucesivos vectores propios asociados a los sucesivos valores propios de la matriz de correlación.

A partir de este modelo podemos obtener unas nuevas variables , las componentes principales , que resultan estar incorreladas entre sí , y que explican la totalidad de la variablidad explicada por las variables originales.

Otra propiedad importante es que cada sucesiva componentes principal hace máxima su contribución a la suma de las varianzas de las n variables . Para un problema práctico , por tanto , bastará quedarse con un pequeño número de componentes que expliquen una proporción suficiente y adecuada de la varianza inicial. (este pequeño número de componentes principales , se corresponderá con los factores comunes del modelo factorial general y la parte no explicada quedaría subsumida como factores únicos) . En la práctica cada componentes principal (antes de ser tipificada tiene una varianza igual al valor propio de la matriz de correlación que corresponde con su orden . Para obtener una solución factorial que explique un porcentaje de la varianza total inicial bastará con ordenar las componentes principales en orden decrecientes de sus valores propios asociados y escoger las K primeras que verifiquen .
                                    

                Por otra parte , un aspecto fundamental de todo análisis factorial es la interpretación de los factores . De nada nos sirve ser capaces de explicar un alto porcentaje de las variables iniciales a través de unos pocos factores si no sabemos , siquiera aproximadamente , qué nos miden estos factores . La interpretación de los factores pasa generalmente por el estudio de las correlaciones entre los factores y las variables originales, ya que son estas últimas las únicas observables y por ello de significado conocido. La llamada matriz de estructura factorial , nos ofrece precisamente estas correlaciones y es relativamente sencillo probar que en el caso de utilizar el método de las componentes principales la matriz de correlación (estructura) y la de estructura A (patrón) coinciden , lo que supone una de las ventajas del método.

            Con todo la interpretación no es siempre sencilla y , en ocasiones ,es preferible obtener una solución alternativa de más sencilla interpretación a través del método conocido como rotación de la solución original.

            La solución factorial desde el punto de vista algebráico supone la expresión de las puntuaciones de los individuos en un espacio n-dimensional( el espacio de las variables originales ) en otro vectorial de inferior dimensión , m , el espacio de los factores . La rotación consiste , simplemente en la consideración de unos distintos ejes de referencia de este segundo espacio vectorial , realizando una rotación de los mismos . Si la rotación es ortogonal se mantendrá la incorrelación de los factores rotados , lo que siempre resulta conveniente . El método de rotación ortogonal que mejores resultados presenta de cara a una mejor interpretación es el de rotación varimax con normalización de Kaiser , que será el que emplearemos en nuestros dos análisis planteados sobre el área metropolitana de Valencia

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