LAS
MATEMÁTICAS EN EL SIGLO XIX
“En 1821, un matemático francés, Augustin Louis Cauchy, consiguió un enfoque lógico y
apropiado del cálculo. Cauchy basó su visión del cálculo sólo en cantidades
finitas y el concepto de límite. Sin embargo, esta solución planteó un nuevo
problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la definición de
cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático
alemán Julius W. R. Dedekind quien encontró una definición adecuada para los
números reales, a partir de los números racionales, que todavía se enseña en
la actualidad; los matemáticos alemanes Georg Cantor y Karl
T. W. Weierstrass
también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo. Un problema más
importante que surgió al intentar describir el movimiento de vibración de un
muelle —estudiado por primera vez en el siglo XVIII— fue el de definir el
significado de la palabra función. Euler, Lagrange y el matemático
francés Joseph Fourier aportaron soluciones, pero fue el
matemático alemán Peter G. L. Dirichlet quien propuso su definición en los términos
actuales.
Además de fortalecer los fundamentos del análisis,
nombre dado a partir de entonces a las técnicas del cálculo, los matemáticos
del siglo XIX llevaron a cabo importantes avances en esta materia. A principios
del siglo, Carl Friedrich Gauss dio una explicación adecuada del
concepto de número complejo; estos números formaron un nuevo y
completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy,
Weierstrass y el matemático alemán Bernhard Riemann. Otro importante avance del análisis fue el estudio,
por parte de Fourier, de las sumas infinitas de expresiones con funciones
trigonométricas. Éstas se conocen hoy como series de Fourier, y son
herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Además, la investigación de funciones que pudieran ser iguales a series de
Fourier llevó a Cantor al estudio de los conjuntos infinitos y a una aritmética
de números infinitos. La teoría de Cantor, que fue considerada como demasiado
abstracta y criticada como “enfermedad de la que las matemáticas se curarán
pronto”, forma hoy parte de los fundamentos de las matemáticas y
recientemente ha encontrado una nueva aplicación en el estudio de corrientes
turbulentas en fluidos.
Otro descubrimiento del siglo XIX que se consideró
abstracto e inútil en su tiempo fue la geometría no euclídea. En esta geometría se pueden trazar al menos dos
rectas paralelas a una recta dada que pasen por un punto que no pertenece a ésta.
Aunque descubierta primero por Gauss, éste tuvo miedo de la controversia que su
publicación pudiera causar. Los mismos resultados fueron descubiertos y
publicados por separado por el matemático ruso Nikolái Ivánovich Lobachevski y por el húngaro János Bolyai.”(3)
“En la geometría encuentro ciertas imperfecciones que
considero la razón por la cual esta ciencia, a parte de ser transición a lo
analítico, no puede avanzar más allá del estado en que llegó a nosotros
desde Euclides. Entre estas
imperfecciones encuentro la oscuridad de los conceptos fundamentales de las
magnitudes geométricas y de los modos y métodos de representar la medición en
estas magnitudes, y con finalmente los vacíos ocasionados en la teoría de las
paralelas, cuyos intentos de remiendo por parte de los matemáticos han sido
hasta el momento vanos.”
Nikolái
Ivánovich Lobachevski, The Theory of Parallels,1840.(2)
“Las geometrías no euclídeas fueron estudiadas en
su forma más general por Riemann, con su descubrimiento de las múltiples
paralelas. En el siglo XX, a partir de los trabajos de Einstein, se le han encontrado también
aplicaciones en física.”(3)
Observa la
representación gráfica de las siguientes funciones de Riemann:
La superficie de la función (z^2-1)1/4 de Riemann (2)
Superficie de la función (z^4)-1/4 de Riemann.(2)
¿A qué son
interesantes?.
“Gauss es uno de los más importantes matemáticos
de la historia. Los diarios de su juventud muestran que ya en sus primeros años
había realizado grandes descubrimientos en teoría de números, un área en la
que su libro Disquisitiones arithmeticae
(1801) marca el comienzo de la era moderna. En su tesis doctoral presentó la
primera demostración apropiada del teorema fundamental del álgebra. A menudo
combinó investigaciones científicas y matemáticas. Por ejemplo, desarrolló métodos
estadísticos al mismo tiempo que investigaba la órbita de un planetoide recién
descubierto, realizaba trabajos en teoría de potencias junto a estudios del
magnetismo, o estudiaba la geometría de superficies curvas a la vez que
desarrollaba sus investigaciones topográficas.
De mayor importancia para el álgebra que la
demostración del teorema fundamental por Gauss fue la transformación que ésta
sufrió durante el siglo XIX para pasar del mero estudio de los polinomios al
estudio de la estructura de sistemas algebraicos. Un paso importante en esa
dirección fue la invención del álgebra simbólica por el inglés George
Peacock. Otro avance destacado fue el descubrimiento de sistemas algebraicos que
tienen muchas propiedades de los números reales. Entre estos sistemas se
encuentran las cuaternas del matemático irlandés William Rowan Hamilton, el análisis vectorial del matemático y físico
estadounidense Josiah Willard Gibbs y los espacios ordenados de n
dimensiones del matemático alemán Hermann Günther Grassmann. Otro paso
importante fue el desarrollo de la teoría de grupos, a partir de los trabajos
de Lagrange. Galois utilizó estos trabajos muy a menudo para generar una teoría
sobre qué polinomios pueden ser resueltos con una fórmula algebraica.
Del mismo modo que Descartes había utilizado en su
momento el álgebra para estudiar la geometría, el matemático alemán Felix
Klein y el noruego Marius Sophus Lie lo hicieron con el álgebra del siglo XIX.
Klein la utilizó para clasificar las geometrías según sus grupos de
transformaciones (el llamado Programa Erlanger), y Lie la aplicó a una teoría
geométrica de ecuaciones diferenciales mediante grupos continuos de
transformaciones conocidas como grupos de Lie. En el siglo XX, el álgebra se ha
aplicado a una forma general de la geometría conocida como topología.
También los fundamentos de las matemáticas fueron
completamente transformados durante el siglo XIX, sobre todo por el matemático
inglés George Boole en su libro Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854) y por Cantor
en su teoría de conjuntos. Sin embargo, hacia finales del
siglo, se descubrieron una serie de paradojas en la teoría de Cantor. El matemático
inglés Bertrand Russell encontró una de estas paradojas, que afectaba al
propio concepto de conjunto. Los matemáticos resolvieron este problema
construyendo teorías de conjuntos lo bastante restrictivas como para eliminar
todas las paradojas conocidas, aunque sin determinar si podrían aparecer otras
paradojas —es decir, sin demostrar si estas teorías son consistentes. Hasta
nuestros días, sólo se han encontrado demostraciones relativas de consistencia
(si la teoría B es consistente
entonces la teoría A también lo es).
Especialmente preocupante es la conclusión, demostrada en 1931 por el lógico
estadounidense Kurt
Gödel, según la cual en
cualquier sistema de axiomas lo suficientemente complicado como para ser útil a
las matemáticas es posible encontrar proposiciones cuya certeza no se puede
demostrar dentro del sistema.”(3)
Te destacaré
también a M.C. Escher(1898-1972) que se dedicó a grabar en madera ya que era
un mal estudiante, (8), pero en esta realizó cosas como:
Circulo
limitado IV. Un claro ejemplo artístico de la representación de una geometría
hiperbólica.(2)
La cinta
de Moebius (8). Esta cinta fue uno de los primeros espacios de topología exóticos
con una única superficie que linda con un solo lado. Dos cintas de Moebius
engarzadas consigo mismas forman la botella de Klein.(2)
Para
completar sumérgete en:
-
Riemann
- Ensayo sobre las Paradojas de la Teoría de Conjuntos.
“En la Conferencia Internacional de Matemáticos que
tuvo lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert expuso sus teorías. Hilbert era
catedrático en Gotinga, el hogar académico de Gauss y Riemann, y había
contribuido de forma sustancial en casi todas las ramas de las matemáticas,
desde su clásico Fundamentos de la
geometría (1899) a su Fundamentos de
la matemática en colaboración con otros autores. La conferencia de Hilbert
en París consistió en un repaso a 23 problemas matemáticos que él creía
podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que empezaba.
Estos problemas, de hecho, han estimulado gran parte de los trabajos matemáticos
del siglo XX, y cada vez que aparecen noticias de que otro de los “problemas
de Hilbert” ha sido resuelto, la comunidad matemática internacional espera
los detalles con impaciencia.
A pesar de la importancia que han tenido estos
problemas, un hecho que Hilbert no pudo imaginar fue la invención del ordenador o computadora digital programable, primordial en
las matemáticas del futuro. Aunque los orígenes de las computadoras fueron las
calculadoras de relojería de Pascal y Leibniz en el siglo XVII.”(3)
“Una de las primeras
calculadoras fue la inventada por Pascal en 1642. La suma se realizaba girando
las ruedecitas con un estilete, pero otras operaciones resultaban realmente difíciles”.(2)
”Charles
Babbage, en la Inglaterra del
siglo XIX, diseñó una máquina capaz de realizar operaciones matemáticas
automáticamente siguiendo una lista de instrucciones (programa) escritas en
tarjetas o cintas. La imaginación de Babbage sobrepasó la tecnología de su
tiempo, y no fue hasta la invención del relé, la válvula de vacío y después
la del transistor cuando la computación programable a gran escala se hizo
realidad. Este avance ha dado un gran impulso a ciertas ramas de las matemáticas,
como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y ha generado nuevas áreas
de investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Se ha convertido en una poderosa herramienta en campos
tan diversos como la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra
abstracta. Además, el ordenador ha permitido encontrar la solución a varios
problemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente, como el
problema topológico de los cuatro colores propuesto a mediados del siglo XIX.
El teorema dice que cuatro colores son suficientes para dibujar cualquier mapa,
con la condición de que dos países limítrofes deben tener distintos colores.
Este teorema fue demostrado en 1976 utilizando una computadora de gran capacidad
de cálculo en la Universidad de Illinois (Estados Unidos).”(3)
“El Museo de la Ciencia de Londres construyó en
1991, el primer Difference Engine completo en honor al nacimiento de Charles
Babbage. Tiene unas 4000 piezas y pesa más de 2’5 toneladas. El aparato según
lo concibió Babbage, sería un
ordenador automatizado con salida para impresora y alimentado con motor a
vapor.”(2)
“Recreación del Colossus, ordenador descodificador
en Bletchley Park (1997). Se trata del primer ordenador electrónico programable
en el mundo. Ayudó a los criptógrafos a descubrir las claves de German Lorenz
durante la Segunda Guerra Mundial.”
“El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca. Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas”.(3)
Como por ejemplo, te tengo que
destacar La Teoría de la Relatividad de Einstein, pincha y culturízate:
“Aunque la mayoría de los problemas más
importantes han sido resueltos, otros como las hipótesis de Riemann siguen sin
solución. Al mismo tiempo siguen apareciendo nuevos y estimulantes problemas.
Parece que incluso las matemáticas más abstractas están encontrando aplicación.
Animo
amigo que estoy apunto de nacer, pero antes debes completar más la información
en:
Sociedad Colombiana de Matemáticas.
Y
por fin llegas a mí creador: Benôit Mandelbrot,” actualmente profesor
de la Universidad de Yale y miembro
emérito de IBM, es sinónimo de la geometría de campo o fractal. Su interés
en lo que luego denominó fractales, que empezó en 1951, culminó en 1977 con
su libro “La geometría fractal de la naturaleza”. Mandelbrot fue el primero
en imprimir con ayuda de un ordenador lo que hoy se conoce como el Conjunto de
Mandelbrot. El Conjunto de Mandelbrot es en realidad un conjunto de números.
Poco a poco, a medida que las impresoras y los gráficos informáticos ganaban
potencia, se fue desvelando una estructura increíblemente bella, con sus
relampagueantes zarcillos dentados.
Los temibles monstruos del análisis
matemáticos (z= z^2 –m, con z número complejo) habían renacido como
criaturas hermosas, y se les dio acogida en la familia de las matemáticas. A
Mandelbrot, le gustaba denominarlos “dragones”.(2) …he
aquí mi nacimiento.
Si
quieres saber obtener información acerca de mi familia, busca en estas
direcciones:
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