6.1.1 Sistemas fáciles de resolver

Analizaremos previamente un sistema que sea fácil de resolver. Por ejemplo, supongamos que la matriz A de $n \times n$presenta estructura diagonal, es decir, todos los componentes distintos de cero se encuentran sobre la diagonal principal. El sistema de ecuaciones (43) toma por tanto la forma:

$$\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & 0... ...} \\ b_{3} \\ \vdots \\ b_{n} \end{array} \right) \end{array}$$ (45)

En este caso el sistema se reduce a n ecuaciones simples y la solución es:

$$x = \left( \begin{array}{c} b_{1}/a_{11} \\ b_{2}/a_{22} \\ b_{3}/a_{33} \\ \vdots \\ b_{n}/a_{nn} \end{array} \right)$$ (46)

Continuando con la búsqueda de sistemas con soluciones fáciles, supongamos ahora que A tiene una estructura triangular inferior, es decir, todos los elementos de Adistintos de cero se sitúan bajo la diagonal principal:

$$\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & 0... ...} \\ b_{3} \\ \vdots \\ b_{n} \end{array} \right) \end{array}$$ (47)

Es fácil ver que el valor de x₁ se obtiene directamente a partir de la primera ecuación. Sustituyendo el valor conocido de x₁ en la segunda ecuación es posible obtener el valor de x₂. Procediendo de la misma forma para el resto de las ecuaciones, es posible obtener todos los valores x₁ , x₂, x₃, ..., x_n uno tras otro y en ese orden. El algoritmo formal para encontrar la solución se denomina sustitución progresiva y se puede expresar como:

 

$$x_{i} = \left( b_{i} - \sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_{j} \right) \left/ a_{ii} \right. (i = 1,2,\dots,n)$$ (48)

Se puede emplear el mismo razonamiento para el caso en que la estructura de la matriz A sea triangular superior. En este caso el sistema matricial adopta la forma:

$$\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & a... ...} \\ b_{3} \\ \vdots \\ b_{n} \end{array} \right) \end{array}$$ (49)

y es posible obtener las soluciones en el orden x_n, x_n-1, ..., x₁, empleando en este caso una modificación del algoritmo expresado por la ecuación (48) y que denominados algoritmo de sustitución regresiva:

 

$$x_{i} = \left( b_{i} - \sum_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_{j} \right) \left/ a_{ii} \right. (i = n,n-1,\dots,1)$$ (50)

Como es lógico, los métodos descritos se pueden aplicar a todos aquellos sistemas que se pueden convertir en un sistema triangular permutando filas y columnas de forma adecuada.