2.3 Fluidos Viscosos

$\Longrightarrow$ Admitimos la existencia de gradientes de velocidad.

$\fbox{\parbox[b]{3.95in}{ \begin{displaymath} d \vec{F} = - {\cal P} d \vec{\Sigma} \end{displaymath}}}$

$\Longrightarrow$ $\cal P$ es un tensor (tensor de presiones), función de la presión termodinámica y del gradiente de velocidades.

$\Longrightarrow$ En coordenadas cartesianas, ${\cal P}_{ij}$ es la i-componente de la fuerza sobre la unidad de superficie orientada en la j-dirección.

$\Longrightarrow$ En general:

$\begin{displaymath} {\cal P} = p {\cal I} - {\cal S} \end{displaymath}$

(20)

$\cal I$ es la matriz unidad, y $\cal S$ es el tensor de tensiones:

$\fbox{\parbox[b]{3.95in}{ \begin{displaymath} {\cal S}_{ij} = 2 \mu \displaystyl... ..._{kk} \delta_{ij} \right) + \xi {\cal D}_{kk} \delta_{ij} } \end{displaymath}}}$

$\Longrightarrow$ $\mu$ : primer coeficiente de viscosidad (shear viscosity)

$\Longrightarrow$ $\xi$ : segundo coeficiente de viscosidad (bulk viscosity)

$\Longrightarrow$ ${\cal D}_{ij} = \displaystyle{\frac{\partial v_i}{\partial x^{j}} }$ (tensor de deformaciones).

$\Longrightarrow$ ${\cal D}_{kk} = Tr({\cal D}) \equiv \Theta$ (Expansión).

$\Longrightarrow$ ${\cal D} - \frac{1}{3} {\Theta} {\cal I}$ (tensor de distorsiones).

$\Longrightarrow$ (traza nula: deformación sin cambio de volumen)

Ecuación de Euler extendida: $\displaystyle{\frac{D \vec{v}}{Dt} = \vec{g} - \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} . {\cal P}}$

$\fbox{\parbox[b]{4.95in}{ {\bf Ecuaci\'on de Navier-Stokes:} \begin{displaymath... ...{3} \mu}{\rho} \right) \vec{\nabla} (\vec{\nabla} . \vec{v}) \end{displaymath}}}$

$\Longrightarrow$ Fluido incompresible :

$\begin{displaymath} \frac{D \vec{v}}{Dt} = \vec{g} - \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p + \nu \Delta \vec{v} \end{displaymath}$

(21)

$\Longrightarrow$ $\nu = \mu /\rho$ es el coeficiente de viscosidad cinemática

$\Longrightarrow$ ${\cal R} \equiv \displaystyle{\frac{LV}{\nu} }$ es el número de Reynolds

$\Longrightarrow$ : longitud y velocidad características

$\Longrightarrow$ $\cal R$ $\gg 1$ $\rightarrow$ efectos de viscosidad despreciables

$\Longrightarrow$ Aplicando el operador rotacional a N-S: Difusión de la vorticidad

$\begin{displaymath} \frac{D \vec{\omega}}{Dt} = (\vec{\omega} . \vec{\nabla}) \vec{v} + \nu \Delta \vec{\omega} \end{displaymath}$

(22)

Ecuación de la energía extendida:

$\begin{displaymath} \frac{D \left(\frac{1}{2} \vec{v}^2 + \epsilon \right)}{Dt} ... .... \vec{v} - \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} . ({\cal P} . \vec{v}) \end{displaymath}$

(23)

Disipación de energía $\rightarrow$ Despejando $\displaystyle{\frac{D \epsilon}{Dt}}$ , e introduciendo el tensor de tensiones:

$\begin{displaymath} \frac{D \epsilon}{Dt} = - \frac{p}{\rho} (\vec{\na... ...c{1}{\rho} Tr \left( ({\cal S} . \vec{\nabla}) \vec{v} \right) \end{displaymath}$

(24)

$\Longrightarrow$ El primer término a la derecha $\rightarrow$ expansión adiabática

$\Longrightarrow$ El segundo término a la derecha $\rightarrow$ $\displaystyle{\frac{1}{\rho} \left({\cal S}_{ij} \frac{\partial v_j}{\partial x^i} \right) }$

es un ritmo de generación de energía -calor- porefectos de viscosidad.

$\Longrightarrow$ Si hubiese flujo de calor, $\vec{Q}$ $\rightarrow$ $\displaystyle{ - \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} . \vec{Q} }$