2.4.3 Ondas Simples

$\Longrightarrow$ Estado Constante: Región del plano x-t donde los valores de todas las magnitudes que definen el fluido son constantes.

$\Longrightarrow$ Flujo isoentrópico $\rightarrow$ velocidad y presión constantes

$\Longrightarrow$ Flujo isoentrópico $\rightarrow$ Las características son rectas

$\Longrightarrow$ La frontera de un estado constante (en el plano $x-t$) son características

$\Longrightarrow$ Onda Simple: Región del plano x-t donde uno de los invariantes de Riemann($J_{+}, J_{-}$) es constante.

$\Longrightarrow$ En una onda simple tal que$J_{+} (J_{-})$sea constante, las
características ${\cal C}_{-} ({\cal C}_{+})$ son líneas rectas.

$\Longrightarrow$ Las regiones adyacentes a los estados constantes son ondas simples.

$\Longrightarrow$ Las partículas del fluido que atraviesan una onda simple, $J_{-} (J_{+})$, lo hacen de derecha a izquierda (de izquierda a derecha); en consecuencia, ven viajar la onda simple, $J_{-} (J_{+})$ de izquierda a derecha (de derecha a izquierda)

$\Longrightarrow$ De la definición de $J_{-}$ en (2.4.2) $\rightarrow$ $${dv - \frac{dp}{\rho c_s} = 0}$$ $\rightarrow$ Las ondas simples $J_{-}$ verifican: $${\frac{d(v+c_s)}{dv} > 0}$$

$\Longrightarrow$ De la definición de $J_{+}$ en (2.4.2) $\rightarrow$ $${dv + \frac{dp}{\rho c_s} = 0}$$ $\rightarrow$ Las ondas simples $J_{+}$ verifican: $${\frac{d(v-c_s)}{dv} > 0}$$

$\Longrightarrow$ Onda de Rarefacción: Onda simple en la que la presión (densidad) disminuye al atravesarla.

$\Longrightarrow$ Si la onda simple, $J_{-} (J_{+})$ es de rarefacción $\rightarrow$ $v$ y $v+c_s$disminuyen ($v$ y $v-c_s$aumentan)a lo largo de las trayectorias de las partículas del fluido.

$\Longrightarrow$ Onda de Compresión: Onda simple en la que la presión (densidad) aumenta al atravesarla.

$\Longrightarrow$ Si la onda simple, $J_{-} (J_{+})$ es de compresión $\rightarrow$ $v$ y $v+c_s$aumentan ($v$ y $v-c_s$disminuyen)a lo largo de las trayectorias de las partículas del fluido.

$\Longrightarrow$ Onda Simple Centrada: La familia de características que son líneas rectas confluyen todas en un punto.

$\Longrightarrow$ Sea $J_{-}$ una onda simple de rarefacción centrada.

$\Longrightarrow$ Obtengamos la solución para toda la región

Figure 1: $J_{-}$ es una rarefacción centrada, en el origen, y adyacente a un estado constante

1. Estado constante: $v_0, p_0, \rho_0, c_{s_0}$. Gas ideal.

2. De la definición de $J_{-}$ en (2.4.2) $\Longrightarrow$ $${v - \frac{2 c_s}{\gamma - 1} = v_0 - \frac{2 c_{s_0}}{\gamma - 1} }$$

3. Las características${\cal C}_{+}$son rectas $\Longrightarrow$ $${\frac{dx}{dt} = v + c_s }$$ $\rightarrow$ $${x = ( v + c_s ) t }$$

4. Introduciendo la variable: $${\xi \equiv \frac{x}{t} }$$, de las dos últimas ecuaciones se obtienen $v$ y $c_s$ (y, por tanto, $p$) en función de $\xi$:

La solución para el flujo es la misma en todos los puntos (x,t) tales que $\xi = cte.$ $\Longrightarrow$ Flujo autosemejante.