2.4.4 Ondas de Choque

$\Longrightarrow$ En el estado definido por laonda simple$J_{-}$de compresión los valores de la presión y la velocidadpermanecen constantes a lo largo de las características${\cal C}_{+}$ $\rightarrow$ En los puntos en que las características se cruzan la solución es discontinua $\rightarrow$ CHOQUE

$\Longrightarrow$ Flujo unidimensional, ecuaciones en forma conservativa:

$$\displaystyle{ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial \rho v}{\partial x} = 0 }$$ (33)

$$\displaystyle{ \frac{\partial \rho v}{\partial t} + \frac{\partial (\rho v^{2} + p)}{\partial x} = 0 }$$ (34)

$$\displaystyle{ \frac{\partial \rho (\frac{1}{2} v^{2} + \eps... ...frac{1}{2} \rho v^{2} + \rho h) v}{\partial x} = 0 }$$ (35)

Figure 2: Onda simple $J_{-}$ de compresión y onda de choque

$\Longrightarrow$ Si el campo vectorial${\bf F(U)}$se anula en el infinito:

$$\displaystyle{\frac{d}{d t} \int_{-\infty}^{+\infty} {\bf ... ... - \left[{\bf F}\right]_{-\infty}^{+\infty} = 0 }$$ (36)

$\Longrightarrow$ Sea $x = \zeta (t)$ la trayectoria de la discontinuidad:

$$\displaystyle{ \frac{d}{d t} \int_{-\infty}^{+\infty} {\bf... ...d}{d t} \int_{\zeta (t)}^{+\infty} {\bf U} dx = }$$ (37)

$$= \displaystyle{ \int_{-\infty}^{\zeta (t)} \fra... ...l t} dx - \frac{d\zeta}{d t} {\bf U} (\zeta_{+}) = }$$ (38)

$$= \displaystyle{ - \int_{-\infty}^{\zeta (t)} ... ...bf U} (\zeta_{-}) - {\bf U} (\zeta_{+}) \right) = }$$ (39)

$$= \displaystyle{ - {\bf F}_{-} + {\bf F}_{+} + \frac{d\zeta}{d t} ({\bf U}_{-} - {\bf U}_{+}) }$$ (40)

$\Longrightarrow$ $[X] \equiv X_{+} - X_{-}$ es el salto a través de la discontinuidad

$\Longrightarrow$ $v_s \equiv \displaystyle{\frac{d\zeta}{d t}}$ es la velocidad de propagación de la discontinuidad

$\Longrightarrow$ Sistema de referencia ligado a la discontinuidad $\rightarrow$ $u = v - v_s$ es la velocidad relativa del fluido

$\Longrightarrow$ El estado con subíndice $1 (2)$ es el delantero (trasero) o prechoque (postchoque).

$\Longrightarrow$ La cantidad$j$ es el flujo de masaa través de la discontinuidad.

$\Longrightarrow$ Las relaciones de salto no determinan completamente el sistema (condición de entropía).

$\Longrightarrow$ Definiendo $\tau \equiv 1/\rho$ (volumen específico), las condiciones de salto se pueden reescribir:

$\Longrightarrow$ La (2.4.4) es definida positiva $\rightarrow$ A través de la onda de choque, en principio son válidas las dos combinaciones de relaciones siguientes: a) $p_2 > p_1$ , $\tau_1 > \tau_2$, b) $p_2 < p_1$ , $\tau_1 < \tau_2$ $\rightarrow$ La condición de entropía selecciona la a) $\rightarrow$ De (2.4.4) $\epsilon_2 - \epsilon_1 >0$.

$\Longrightarrow$ La (2.4.4) es la adiabática de Hugoniot.

$\Longrightarrow$ La adiabática de Hugoniot (2.4.4) relaciona las variables termodinámicas a ambos lados de la onda de choque. Junto con la ecuación de estado $(p=p(\rho,\epsilon))$, y fijado el estado $1$, la (2.4.4) admite una representación en el plano $\tau - p$: lugar geométrico de todos los estados 2 que pueden ser conectados con el 1 a través de una onda de choque , la cual tiene al estado 1 como prechoque.

Figure 3: Diagrama $\tau - p$ donde se han representado la adiabática de Hugoniot ($H$) y la adiabática ($A$) que pasa por el estado $\tau _1 - p_1$

Algunas consecuencias de las condiciones de salto(2.4.4),(2.4.4) y (2.4.4):

$\Longrightarrow$ $${\frac{dp_{H}}{d\tau} \mid_{\tau_1} = \frac{dp_{A}}{d\tau} \mid_{\tau_1} }$$

$\Longrightarrow$ $${p_{H} > p_{A} \forall \tau < \tau_1 }$$

$\Longrightarrow$ En la adiabática de Hugoniot, sean los estados $(\tau_1, p_1)$ y $(\tau_2, p_2)$:

$${\mid \frac{p_2 - p_1}{\tau_2 - \tau_1}\mid > \mid \frac{dp_A}{d\tau} (\tau_1) \mid }$$ $\rightarrow$ De (2.4.4): $${j^{2} > \frac{c_{s_1}^2}{\tau_1^{2}} }$$ $\rightarrow$

$\rightarrow$ De (2.4.4): $\mid u_1 \mid > c_{s_1}$ $\rightarrow$ El estado prechoque, en el s.d.r. de la onda de choque, es supersónico.

$\Longrightarrow$ De las (2.4.4) y (2.4.4): $${u_1 - u_2 = \sqrt{(p_2 -p_1)(\tau_1 - \tau_2)}}$$

Discontinuidad de contacto: No hay flujo de masa