2.4.1 Teoría lineal de perturbaciones

$\Longrightarrow$ Perturbaciones adiabáticas ( $\delta \rho, \delta p$ ) en un fluido perfecto, homogéneo y en reposo

$\fbox{\parbox[b]{3.5in}{ \begin{displaymath} \left(\Delta - \frac{1}{c_s^{2}} \f... ...partial^{2}}{\partial t^{2}} \right) \delta \rho = 0 \end{displaymath}}}$

$\Longrightarrow$ A primer orden: $\displaystyle{\delta p = \left( \frac{\partial p}{\partial \rho} \right)_{s} \delta \rho}$

$\Longrightarrow$ $\displaystyle{c_s^{2} \equiv \left( \frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_s }$

$\Longrightarrow$ $\displaystyle{c_s^{2} = \frac{\gamma p}{\rho} \sim T}$ , para gas ideal

$\Longrightarrow$ $\delta p$ satisface la misma ecuación de ondas.

$\Longrightarrow$ Estado inicial: irrotacional e isoentrópico (en un fluido perfecto) $\rightarrow$ el estado perturbado es irrotacional $\rightarrow$ $\vec{v} = \vec{\nabla} \phi$ $\rightarrow$ $\phi$ y cada componente de $\vec{v}$ satisfacen la misma ecuación de ondas.

$\Longrightarrow$ Flujo unidimensional, en coordenadas esféricas (ondas esféricas):

$\begin{displaymath} \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial }{\partial r} \left(r^{2} \f... ...ac{1}{c_s^{2}} \frac{\partial^{2} A}{\partial t^{2}} = 0 \end{displaymath}$

(25)

$\begin{displaymath} A = \delta \rho, \delta p, v_i, \phi \nonumber \end{displaymath}$

$\Longrightarrow$ Solución general: superposición de ondas esféricas convergentes y divergentes:

$\begin{displaymath} A = \frac{1}{r} \left[ f_1(r-c_s t) + f_2(r+c_s t) \right] \end{displaymath}$

(26)