2.4.2 Invariantes de Riemann

$\Longrightarrow$ Flujo adiabático, unidimensional: $\rho = \rho(t,x)$, $p = p(t,x)$, $\vec{v} = v(t,x) \vec{i}$

$$\displaystyle{ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial \rho v}{\partial x} = 0 }$$ (27)

$$\displaystyle{ \frac{\partial v}{\partial t} + v \frac{\part... ... x} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} }$$ (28)

$$\displaystyle{ \frac{\partial s}{\partial t} + v \frac{\partial s}{\partial x} = 0 }$$ (29)

$\Longrightarrow$ Ecuación de estado: $\rho = \rho(s,p)$ $\rightarrow$ $${c_s^{-2} = \left( \frac{\partial \rho}{\partial p}\right)_s }$$

$\Longrightarrow$ Variables primitivas: ${\bf U} = ( p, v, s )$

$${\cal A}^t {\bf U}_t + {\cal A}^x {\bf U}_x = 0$$ (30)

$\Longrightarrow$ (31) es un sistema cuasilineal (subíndices: variable respecto de la cual se calcula la derivada parcial), donde las matrices ${\cal A}^t$ y ${\cal A}^x$ dependen de U:

$${\cal A}^t = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \r... ...} & 0 \\ 1/\rho & v & 0 \\ 0 & 0 & v \\ \end{array} \right)$$

Sea la combinación lineal de las dos primeras ecuaciones en (31):

$\lambda_1 (p_t + v p_x + \rho c_s^{2} v_x ) + \lambda_2 (p_x + \rho v_t + \rho v v_x ) = 0$ $\rightarrow$

$\rightarrow$ $p_t + ( v + \zeta ) p_x + \zeta \rho v_t + (\rho c_s^{2} v_x + \zeta \rho v) v_x = 0$

$\rightarrow$ $(\zeta \equiv \lambda_2 / \lambda_1)$

Imponemos la condición de que las funciones presión y velocidad aparezcan derivadas a lo largo de la misma dirección (la correspondiente a una cierta curva $\cal C$):

$$\displaystyle{ \frac{v + \zeta}{1} = \frac{\rho c_s^{2} + \zeta \rho v}{\zeta \rho} } \Longrightarrow \zeta = \pm c_s$$

$$\rightarrow p_t + ( v \pm c_s ) p_x + \rho c_s \left( v_t + (v \pm c_s) v_x \right) = 0$$ (31)

$\Longrightarrow$ Operadores: $D_{\pm} \equiv \displaystyle{ \frac{\partial}{\partial t} + (v \pm c_s) \frac... ...tyle{ \frac{\partial}{\partial t} + v \frac{\partial}{\partial x} , }$

Las ecuaciones en (31) se han reescrito, en (2.4.2) y (2.4.2), de modo que las derivadas $D_{\pm}, D_{0}$ son direccionales según las curvas integrales ( ${\cal C}_{\pm}$, ${\cal C}_{0}$, respectivamente) de las ecuaciones diferenciales:

$\Longrightarrow$ Los campos de curvas ${\cal C}_{\pm}, {\cal C}_{0}$ son las características del sistema.

$\Longrightarrow$ Las ecuaciones en (2.4.2) y (2.4.2) son ecuaciones diferenciales ordinarias sobre cada una de las curvas características $\rightarrow$ método de las características

$\Longrightarrow$ En un diagrama espacio-tiempo $\rightarrow$ dominio de dependencia,rango de influencia

$\Longrightarrow$ Flujo isoentrópico $\rightarrow$ La (2.4.2) es redundante $\rightarrow$ $\rho = \rho (p)$ $\rightarrow$

$\rightarrow$ $c_s = c_s (p)$. En este caso, los invariantes de Riemann:

son constantes a lo largo de ${\cal C}_{\pm}$: $D_{\pm} J_{\pm} = 0$

$\Longrightarrow$ Gas ideal isoentrópico: $p=(\gamma - 1 )\rho \epsilon , d\epsilon = -p d(1/\rho)$

$$J_{\pm} = v \pm \displaystyle{\frac{2 c_s}{\gamma - 1} }$$ (32)