Introducción

• Los métodos de alta resolución de captura de choques tienen forma conservativa.

• Son algoritmos de alto orden que tienen variación total estable. La variación total de una solución en $t=t^n$, TV($u^n$), se define como
  

  $${\rm TV}(u^n) = \sum_{j=0}^{+\infty} \vert u_{j+1}^n - u_j^n\vert .$$ (126)

  
  
  Un esquema numérico se dice que es TV-estable si TV($u^n$) está acotada para cualquier $\Delta t$ en cualquier instante y para cualquier dato inicial. El interés en los métodos TV-estables radica en el hecho de que para esquemas numéricos en forma conservativa con flujos numéricos consistentes, la estabilidad TV es una condición suficiente de convergencia.

  El alto orden se consigue mediante funciones polinómicas monótonas conservativas que interpolan las soluciones aproximadas o los flujos numéricos en las celdas numéricas. Algoritmos de reconstrucción bien conocidos son el MINMOD (segundo orden), PPM (tercer orden) o los métodos ENO (que mantienen la variación total acotada).

  
  
  

  
  Reconstrucción MINMOD: en cada celda numérica se efectúa una
  interpolación lineal con la menor de las pendientes con las celdas contiguas.

• La disipación numérica necesaria en las proximidades de los choques se consigue mediante la resolución de problemas de Riemann exactos o aproximados entre las celdas numéricas contiguas (métodos tipo Godunov) o mediante la adición de términos disipativos conservativos a métodos en diferencias finitas estándar.

  
  
  

  

• La precisión de alto orden en el tiempo se consigue mediante métodos semidiscretos tipo Runge-Kutta, que permiten preservar la propiedad TVD del esquema completo de forma natural.

• Referencias:

  R.J. LeVeque, Numerical Methods for Conservation Laws, Birkhäuser, 1992. Parte II

  E.F. Toro, Riemann solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer, 1997. Capítulo 4

  C.-W. Shu, S. Osher, Efficient Implementation of Essentially Non-Oscillatory Shock-Capturing Schemes, JCP, 77, 439 (1988)