Desarrollo de la práctica

Considera el programa bugod.f que integra la ecuación de Burgers (ver práctica 2) usando el método de Godunov (primer orden).

1. Haz un diagrama de flujo del programa

2. Algoritmo de segundo orden espacial. Programa una subrutina que
   • Calcule las pendientes entre los valores de U de celdas contiguas.

           DO I = 0, CELLS+2
              S(I) = (U(I) - U(I-1))/DX 
           END DO
     

   • Construya valores de U a ambos extremos de cada celda numérica, UM, UP, usando las pendientes anteriores convenientemente monotonizadas para preservar la condición TVD.

     Limitador de pendiente MINMOD:

           DO I = 0, CELLS+1 
              IF ((S(I).EQ.0.0).OR.(S(I+1).EQ.0.0)) THEN
                 SL(I) = 0.0
              ELSE
                 SL(I) = 0.5*(S(I)/ABS(S(I)) + S(I+1)/ABS(S(I+1)))
          &                 *AMIN1(ABS(S(I)),ABS(S(I+1))) 
              END IF
              UM(I) = U(I) - SL(I)*DX/2.0 
              UP(I) = U(I) + SL(I)*DX/2.0 
           END DO
     

     Limitador de pendiente SUPERBEE:

           DO I = 0, CELLS+1
              IF ((S(I).EQ.0.0).OR.(S(I+1).EQ.0.0)) THEN
                 SL(I) = 0.0
               ELSE IF (ABS(S(I)).GE.ABS(S(I+1))) THEN 
                 SL(I) =  0.5*(S(I)/ABS(S(I)) + S(I+1)/ABS(S(I+1)))
          &                    *AMIN1(ABS(S(I)),ABS(2*S(I+1))) 
              ELSE 
                 SL(I) =  0.5*(S(I)/ABS(S(I)) + S(I+1)/ABS(S(I+1)))
                               *AMIN1(ABS(2*S(I)),ABS(S(I+1))) 
              END IF 
              UM(I) = U(I) - SL(I)*DX/2.0 
              UP(I) = U(I) + SL(I)*DX/2.0 
           END DO
     

     Limitador de pendiente VANLEER:

           DO I = 0, CELLS+1
              IF ((S(I).EQ.0.0).AND.(S(I+1).EQ.0.0)) THEN
                 SL(I) = 0.0
              ELSE
                 SL(I) = 2.D0*S(I)*S(I+1)/(S(I) + S(I+1)) 
              END IF
              UM(I) = U(I) - SL(I)*DX/2.D0 
              UP(I) = U(I) + SL(I)*DX/2.D0 
           END DO
     

   • Inserta la subrutina que acabas de programar ( minmod.f, superbee.f, vanleer.f) en bugod.f, junto con las declaraciones de variables, actualizaciones de los bloques COMMON, redefiniciones de dimensiones y modificaciones de las condiciones de contorno necesarias.

   • Modifica la subrutina fluxes.f para usar los valores de U reconstruidos (UM, UP) en la definición de los problemas de Riemann locales:

          DO 10 I = 0, CELLS
             UL = UP(I)
             UR = UM(I+1)
             ...
      10  CONTINUE
     

3. Algoritmo de segundo orden temporal. El algoritmo básico del avance temporal es el del esquema explícito conservativo de primer orden (ver práctica 2)

   
   

   $$u^{n+1}_j = u^n_j - \frac{\Delta t}{\Delta x} (\hat{f}_{j+1/2} - \hat{f}_{j-1/2}) (\equiv u^n_j + \Delta t L(u^n)).$$
   
   

   Implementa el siguiente algoritmo de Runge-Kutta en el avance temporal de bugod.f para conseguir segundo orden de precisión temporal:

   
   

   $$u^{n+1/2}_j = u^n_j + \Delta t L(u^n)$$
   
   
   
   
   $$u^{n+1}_j = \frac{1}{2} u^n_j + \frac{1}{2} u^{n+1/2}_j + \frac{1}{2} \Delta t L(u^{n+1/2})$$
   
   

4. Utiliza el programa para integrar la ecuación de Burgers con dato inicial $u_0(x) = \sin(2\pi x)$ en el intervalo $[0,1]$. Puedes usar gnuplot (ver práctica 1) para visualizar los resultados.