TEROREMA DE MARKOV Y ACOTACIÓN DE CHEBYSHEV

(volver a esperanza matemática)

Tras conocer el concepto de operador esperanza , podemos adentrarnos en el denominado teorema de Markov y la consecuente acotación de Chebyshev , que nos servirá para establecer aproximaciones/acotaciones para la media e incluso para diversos valores de la variable .Planteadas la posibilidades que conllevan estos teoremas pasamos a desarrollarlos brevemente.

Teorema de Markov.

Dada una variable aleatoria X con función de densidad asociada f(X) y una función "No" negativa de esa variable
se verifica que para cualquier valor de K
veamos.

                    Dada la Variable aleatoria X y su función   

Podríamos tener su representación grafica de la siguiente forma.

                      En el gráfico se aprecia que S es el conjunto de valores para los que g(x)≥K , así

                              por otro lado tendremos que:

dado que S son los valores en que la función es mayor que K

                   tendremos también que

              y así tendríamos que

                          ya que cuando x pertenece a S se cumple que g(x)≥K

                            evidentemente tendremos que            

Consecuencia del teorema tendremos la siguiente expresión derivada

Acotación de Chebyshev.

Partiendo del teorema de Markov y tras establecer algunos cambios matemáticos se puede establecer la denominada "acotación de Chebyshev.

En base a la consecuencia directa del teorema de Markov que hemos anteriormente hemos establecido ,
es decir  

En la que realizamos los siguientes cambios:

A)     que es evidentemente una función no negativa siguiendo las pautas del teorema de Markov.

B)             que sigue siendo una determinada constante

En base a estos cambios la anterior desigualdad de Markov quedaría.

               dado que

tendríamos consecuentemente que     

                por lo que    o lo que es lo mismo

         que es la expresión de la acotación de Chebyshev

Esta expresión es susceptible de transformarse en otras de carácter más operativo, Así

Por la primera (1) tendríamos que nos explicita una cota mínima para la probabilidad de que la variable se encuentre dentro de los valores de un intervalo centrado en la media.

Por la segunda (2) tendríamos que indica la probabilidad mínima con la que la media se encuentra dentro de un intervalo centrado. Esta expresión es de gran importancia para llevar a cabo inferencias sobre la media de la población de una variable aleatoria cuando se desconoce como se distribuye ésta , siempre y cuando nos sea conocida la varianza de dicha población