La distribución normal verifica el teorema de adición para los parámetros media y varianza . Esto es, dado un conjunto de variables aleatorias normales independientes de distintas medias y distintas varianzas , la variable suma de todas ellas se distribuirá  según una distribución normal con media, la suma de las medias; y con varianza , la suma de las varianzas.

Teniendo en cuenta que nosotros hemos caracterizado la distribución normal con los par metros media , m , y desviación típica , s , el enunciado del teorema quedaría de la siguiente manera:

Dado un conjunto de variables aleatorias normales independientes de distintas medias y distintas desviaciones típicas , la variable aleatoria suma de todas ellas se distribuir  según una distribución normal , con media , la suma de las medias ; y con desviación típica , la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las desviaciones típicas.

Teniendo en cuenta la recursividad de la operación suma, para demostrar el teorema para cualquier número de variables aleatorias basta  probarlo para el caso de dos variables.

Demostración:

Sean X e Y dos variables aleatorias independientes y tales que:

                queremos comprobar que la variable U=X +Y es tal que:

Así y en efecto:

            por ser x e y normales sus Funciones Generatrices de Momentos serán:

             para  X    será   

             para Y será       

dado que son independientes  ,  la F.G.M . de la suma será el producto de las Funciones Generatrices de Momentos

                 y así: 

                         luego : que es la función generatriz de momentos de una distribución normal con media       y    varianza     

                       luego lo es de la distribución :

queda , por tanto , demostrado que la distribución normal verifica el teorema de adición para los parámetros : m y s

ejemplo