6.2.4 Método de Gauss-Seidel

La iteración de Gauss-Seidel se define al tomar Q como la parte triangular inferior de A incluyendo los elementos de la diagonal:

$$Q= \left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & 0 & 0 & \cdots & 0 ... ...a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right)$$

Si, como en el caso anterior, definimos la matriz R=A-Q

$$R= \left( \begin{array}{ccccc} 0 & a_{12} & a_{13} & \cdots... ...dots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array} \right)$$

y la ecuación (63) se puede escribir en la forma:

Qx^(k) = -Rx^(k-1) + b

Un elemento cualquiera, i, del vector Qx^(k) vendrá dado por la ecuación:

$$\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j}^{(k)} = -\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j}^{(k-1)} + b_{i}$$

Si tenemos en cuenta la peculiar forma de las matrices Q y R, resulta que todos los sumandos para los que j > i en la parte izquierda son nulos, mientras que en la parte derecha son nulos todos los sumandos para los que $j \leq i$. Podemos escribir entonces:

$$\sum_{j=1}^{i} a_{ij}x_{j}^{(k)} -\sum_{j=i+1}^{n} a_{ij}x_{j}^{(k-1)} + b_{i}$$ =

$$a_{ii}x_{i}^{(k)} + \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}x_{j}^{(k)} -\sum_{j=i+1}^{n} a_{ij}x_{j}^{(k-1)} + b_{i}$$ =

de donde despejando x_i^(k), obtenemos:

$$x_{i}^{(k)} = \left( b_{i} - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}x_{j}^{(k)} - \sum_{j=i+1}^{n} a_{ij}x_{j}^{(k-1)} \right) / a_{ii}$$

Obsérvese que en el método de Gauss-Seidel los valores actualizados de x_i sustituyen de inmediato a los valores anteriores, mientras que en el método de Jacobi todas las componentes nuevas del vector se calculan antes de llevar a cabo la sustitución. Por contra, en el método de Gauss-Seidel los cálculos deben llevarse a cabo por orden, ya que el nuevo valor x_i depende de los valores actualizados de x₁, x₂, ..., x_i-1.

En la figura (15) se incluye un algoritmo para la iteración de Gauss-Seidel.

  

Figure: Algoritmo para la iteración de Gauss-Seidel.