Objetivos:
Específicos:
- Estimar los distintos tipos de
error que se producen
en la
resolución de problemas por métodos numéricos.
- Obtener aproximaciones sucesivas
a la
solución de un
sistema de ecuaciones lineales Ax=b.
- Resolver por aproximaciones
sucesivas una
ecuación no
lineal del tipo f(x)=0.
- Encontrar una función polinómica
que
pase por un
conjunto de puntos.
- Obtener una solución aproximada
de la
integral definida de
una función, ∫ab
f(x)dx .
Genéricos:
- Aprender a trabajar en equipo.
- Aprender a exponer públicamente un trabajo.
- Adquirir respeto por l@s compañer@s que exponen un
trabajo, atendiéndoles y ayudàndoles en caso necesario.
- Aprender a realizar razonamientos deductivos para demostrar
un
enunciado a partir de determinadas premisas.
- Adquirir la capacidad de cuestionar la fiabilidad de los
resultados obtenidos por métodos numéricos.
Metodología:
- Trabajo en clase en grupos pequeños, debatiendo textos,
demostrando enunciados
y resolviendo problemas, seguido de su exposición pública.
- Trabajo en equipo fuera de clase, elaborando trabajos para
su
presentación al profesor.
- Trabajo pràctico en aula de informàtica,
confeccionando programas para la resolución de problemas,
ejecutàndolos para obtener sus resultados, y valorando dichos
resultados, reflejando todo ello en una memoria de cada pràctica.
Bibliografía:
- Aubanell, A., Benseny, A., Delshams, A. (1991), Eines
bàsiques
de Càlcul Numèric, Universitat Autònoma de
Barcelona,
Bellaterra
- Aubanell, A., Benseny, A., Delshams, A. (1993), Útiles
bàsicos
de Càlculo Numérico, Editorial Labor, Barcelona
- Conte, S.D., de Boor, C. (1985), Anàlisis
Numérico,
McGraw-Hill, México
- Martínez Salas, J. (1989), Métodos
Matemàticos,
Ed.el autor, Valladolid
- Aràndiga, F. (2002), Càlcul Numèric,
Departament
de Matemàtica Aplicada, Universitat de València
Evaluación:
- La calificación final serà la media de la nota de
teoría y la nota de pràcticas, siempre que ambas sean
igual o superior a 4 (sobre un màximo de 10).
- Para la nota de teoría puntuarà hasta 8 puntos la
evaluación de un examen final individual escrito, y hasta 2
puntos la realización de trabajos en equipo, que solamente
podràn considerarse en caso de asistencia regular a clase (en
caso contrario, deberàn responderse cuestiones adicionales en el
examen final puntuables hasta los 2 puntos restantes). Se podrá
utilizar un formulario escrito a mano personalmente en un máximo
de 5 hojas sin problemas resueltos (no se admiten fotocopias).
Ademàs,
se primarà la participación activa en clase sumando una
décima por cada exposición pública de un trabajo
realizado en clase.
- Para la nota de pràcticas, sobre la base de la asistencia
obligatoria a las mismas, se valorarà la memoria presentada de
cada pràctica, que deberà contener los programas
elaborados, los resultados obtenidos con ellos y la valoración
de los mismos.
Tema
0: Estimar
los distintos tipos de error que se
producen en la
resolución de problemas por métodos numéricos:
Objetivos:
- Comprender la diferencia entre errores intrínsecos e
instrumentales.
- Comprender los conceptos de error absoluto y error relativo.
- Entender cómo tratan los ordenadores los números no
enteros.
- Estimar cuántas cifras significativas se conocen de una
determinada cantidad.
Metodología:
- Debatir un texto en grupos pequeños, poniendo
posteriormente en común el resultado del debate.
- Realización de tareas en grupos pequeños,
exponiendo públicamente a continuación sus conclusiones.
Actividades:
Actividad 1.
Debatir en grupos
pequeños el siguiente texto, escogiendo previamente un portavoz
de cada grupo para exponer posteriormente las conclusiones y en su caso
las dudas suscitadas:
Los métodos
numéricos permiten
obtener soluciones aproximadas a determinados problemas. Por evaluar
estas soluciones, es importante tener una estimación del
error.
Hay errores intrínsecos
al método utilizado. Normalmente estos errores se pueden hacer
tan
pequeños
como se quiera, a través de aproximaciones sucesivas. Aun
así,
al
disponer de un tiempo finito por realizar los cálculos, debemos
conformarse con aproximar con un cierto margen de error. Hará
falta, pues, un
compromiso entre la cota de error admitida y el tiempo
máximo de cálculo que
nos podemos permitir.
Naturalmente,
serán
preferibles
aquellos métodos que permetan aproximar hasta una determinada
cota
de error en menos tiempo, los cuales diremos que tienen una velocidad de
convergencia
mayor. En
los métodos
que aproximan iterativamente a través
de una serie
de pasos sucesivos, podemos mesurar esta velocidad por la inversa
del número de pasos necesarios. Aun así, desde el punto
de vista
del
tiempo de cálculo hace falta valorar también la
complejidad de los
cálculos a realizar
en cada paso.
A los efectos
anteriores, normalmente trabajaremos con elerror absoluto, definido como el valor
absoluto de la
diferencia
entre el valor exacto x
y la aproximación 
,
Definición 1:
ε = | x -

|
Naturalmente, al
desconocer el
valor exacto el único que podremos hacer es estimar el error,
dando una cota
superior para el mismo.
Hay también
errores
instrumentales
debidos al instrumento de cálculo utilizado. En
particular,
las
calculadoras y ordenadores digitales trabajan con un número
finito
de cifras
y por lo tanto no utilizan números con infinitas cifras
decimales,
como los irracionales o los fraccionarios "decimales
periódicos". Por
ejemplo, aproximarían 1/3 = 0' 3 ≈ 0'333333
, con un número de cifras
decimales
dependiente de la precisión del instrumento.
Por aproximar el
cálculo de los números racionales y reales, los
ordenadores
trabajan con números decimales en punto flotante, tratando por separado las
cifras
significativas (mantisa)
y el
orden de magnitud (característica).
Por ejemplo, 0'0000000000000235410347=
2'35410347.10
-14 se expresará como 2.35410347E-14
.
Comoquiera que la
principal
limitación está en el número de cifras
significativas admitidas, lo que nos importará
será el error
relativo
del valor aproximado
respecto del valor exacto x, definido cómo
Definición 2:
ε
r = | x -

| / | x |
Actividad 2. Obtener
una
fórmula que conociendo el error relativo y la mantisa nos
proporcione el número de cifras significativas exactas que
conocemos, de acuerdo con la
Definición 3:
Diremos que
=aEb
(con 1≤
a<10) aproxima a x
con un
número entero de k
cifras significativas si y sólo si
ε
r
< 0'5 · 10
-k+1/a
(sugerencia: despejar
k en esta inecuación
y tomar
su parte entera)
La obtención de dicha fórmula nos permitirá
completar el enunciado del siguiente
Teorema 1: 
=aEb
aproximará a
x
con un
número de cifras
significativas exactas
k
igual
al mayor número entero menor que
¿Como podríamos interpretar el caso en que
k resultara negativo?
Actividad 3.
Problema 1:
calcular
el error absoluto y relativo en los siguientes
casos:
a)

= 2.35410347E-14, x = 2.35410343E-14
b)

= 2.35410347E16, x = 2.35410343E16
¿Con cuántas cifras significativas aproxima

a
x?
Trabajo 1 (para
su
realización en equipo):
a) Ampliar la clasificación de los errores planteada en la
Actividad 1 a partir de la bibliografía recomendada.
b) Poner distintos ejemplos de aproximación de

a
x con
distintos errores absolutos y
relativos y calcular el número de cifras significativas con que
se aproxima en cada caso. Evaluar de qué depende dicho
número. Considerar algún caso en que el error relativo
sea mayor a 0'5 y valorarlo.
Tema
1: Obtener aproximaciones sucesivas a la solución de un
sistema de ecuaciones lineales Ax=b :
Objetivos:
- Encontrar criterios de convergencia para una
transformación x(k+1)
=
G(x(k))
tal que A(lim k→∞ x(k))
= b
- Encontrar una condición suficiente para la existencia de
una solución única de una ecuación de
iteración lineal de punto fijo x=Bx+c
- Encontrar criterios de convergencia para una iteración
lineal de punto fijo x=Bx+c
- Transformar un sistema de ecuaciones lineales Ax=b en una
iteración lineal
de punto fijo x=Bx+c
equivalente
- Encontrar una condición suficiente para que dicha
transformación genere una iteración lineal de punto fijo
convergente
- Aproximar iterativamente la solución de un sistema de
ecuaciones lineales Ax=b
utilizando como
aproximación a la matriz A
su matriz diagonal D
(método de Jacobi)
- Obtener la iteración lineal de punto fijo equivalente al
sistema Ax=b
por el
método de Jacobi.
- Encontrar una condición para la matriz A que garantice que
dicha
iteración lineal de punto fijo sea convergente.
- Evaluar un sistema de ecuaciones lineales y adaptarlo en
su
caso para que cumpla la condición de convergencia
- Aproximar iterativamente la solución de un sistema de
ecuaciones lineales Ax=b
utilizando como
aproximación a la matriz A
su matriz triangular inferior L+D
(método de Gauss-Seidel)
- Encontrar una expresión simplificada en función
de L, D y U
de la matriz B
de la
iteración lineal de
punto fijo x=Bx+c,
equivalente
al sistema Ax=b
con A=L+D+U,
obtenida por
el método de Gauss-Seidel.
- Encontrar una expresión que nos permita calcular
sucesivamente los diferentes componentes del vector x(k+1)
.
- Discutir la convergencia de la iteración lineal de punto
fijo obtenida por el método de Gauss-Seidel
Metodología:
- Deducir enunciados lógicamente, trabajando en la medida de
lo posible en grupos pequeños para exponer públicamente a
continuación su demostración.
- Resolver problemas en grupos pequeños y exponer
públicamente a continuación su resolución.
- Trabajar en aula de informática elaborando programas para
la resolución iterativa de sistemas de ecuaciones lineales,
ejecutándolos para la resolución de un sistema
determinado y evaluando su velocidad de convergencia.
Actividades:
Actividad 1.
Definiendo la
norma matricial asociada a una norma vectorial por
Definición 4:
||A|| = max
x≠0 ||Ax||/||x||
con lo que se cumple
Teorema 2:
||Bx|| ≤
||B||·||x||
demostrar por reducción al absurdo que
Teorema 3:
Si
||B||<1 & x=Bx , entonces x=0
Actividad 2.
Recordando
cuál es la condición necesaria y suficiente para que:
a) un sistema homogéneo de ecuaciones lineales como x=Bx tenga
solución única x=0
b) un sistema inhomogéneo de ecuaciones lineales como x=Bx+c
tenga solución única,
demostrar que
Teorema 4:
Si
||B||<1,
entonces x=Bx+c tiene solución única
Actividad 3.
Recordando que,
por las propiedades de los números
naturales, habremos demostrado por inducción matemática
que una propiedad se cumple para todo
número natural k si se cumple para k=0 y podemos demostrar que,
suponiendo que se cumple para k, se cumplirá para k+1, [p
0
& (k) (p
k→ p
k+1)]→
(k) p
k , demostrar que
Teorema 5:
Si x=Bx+c
& para todo número natural k, x
(k+1)=Bx
(k)+c,
entonces para todo número natural k, x-x
(k)=B
k(x-x
(0))
.
Actividad 4.
Recordando que
podemos deducir que una sucesión no negativa tenderá a
cero si está acotada superiormente por otra sucesión que
tiende a cero, demostrar que
Teorema 6:
Si
||B||<1 & para todo número natural k, x
(k+1)=Bx
(k)+c,
entonces existe
x
tal que
x=Bx+c & x=lim
k→∞ x
(k)
.
Actividad 5.
Recordando que, si
x=Bx+c & x
(k)=Bx
(k-1)+c,
entonces x-x
(k)=B(x-x
(k-1)),
así como la propiedad triangular
Teorema -1:
||x-x
(k-1)||
≤ ||x-x
(k)|| + ||x
(k)-x
(k-1)||
demostrar que
Teorema 7:
Si x=Bx+c
& x
(k)=Bx
(k-1)+c
& ||B||<1, entonces podemos acotar el error de
aproximación de
x(k)
a
x
por
||x-x
(k)|| ≤ ||x
(k)-x
(k-1)||·||B||/(1-||B||)
.
Actividad 6.
Demostrar que,
siendo I=(δ
ij)
i,j=1...n
la matriz identidad (cuyos elementos valen 1 si i=j y 0 si i≠j) y A, B,
C matrices n por n, se cumple que
Teorema 8:
Si B=I-C
-1A
& c=C
-1b, entonces x=Bx+c es equivalente
a Ax=b .
Actividad 7.
Demostrar que,
definiendo
Definición 5:
C
es una buena aproximación a A, C≈A, si y sólo si ||I-C
-1A||<1
se cumple que
Teorema 9:
Si C≈A
& B=I-C
-1A & c=C
-1b
& para todo
número natural k, x
(k+1)=Bx
(k)+c,
entonces A(lim
k→∞ x
(k))=b
.
Actividad 8.
Recordando que la
inversa de la matriz diagonal D=((δ
ijA
ii)
i,j=1...n
es
Teorema -2:
D
-1=((δ
ij/A
ii)
i,j=1...n
que los productos matriciales se calculan mediante (XY)
ij=∑
k X
ikY
kj
y que ∑
k δ
ikX
k
= X
i, demostrar que
Teorema 10:
Si C=D
& B=I-C
-1A & c=C
-1b
, entonces, para todo
i,j=1...n, c
i=b
i/A
ii
& B
ij = -A
ij/A
ii
si i≠j & Bij=0 si i=j .
Actividad 9.
Obtener la
expresión de la iteración correspondiente al
método de Jacobi,
Teorema 11:
x
(k+1)i
=
Actividad 10.
A partir de las
siguientes definiciones:
Definición 6:
Diremos que la matriz A es estrictamente diagonalmente dominante por
filas si y sólo si, para todo i=1...n,
|A
ii| > ∑
j≠i |Aij|
Definición 7:
||x||
∞ = max
i |x
i|
y sabiendo que
Teorema -3:
||A||
∞
= max
i ∑
j=1n |Aij|
demostrar que
Teorema 11:
Si la
matriz A es estrictamente diagonalmente dominante por filas, entonces
la iteración correspondiente al método de Jacobi es
convergente.
Actividad
11.
Problema
2:
Aproximar la solución del sistema de ecuaciones
{10x
1+x
2+x
3=12,
x
1+10x
2+x
3=12,
x
1+x
2+10x
3=12}
por el método de Jacobi: iterar desde (x
1,x
2,x
3)=(0,0,0)
hasta que ||x
(k)-x
(k-1)||
∞<0.005
; acotar el error.
¿Qué pasaría si tomáramos el sistema de
ecuaciones
{x
1+10x
2+x
3=12,
x
1+x
2+10x
3=12,
10x
1+x
2+x
3=12}?
Actividad 12. Siendo L
ij=A
ij
si i>j, L
ij=0
si i≤j, U
ij=A
ij
si i<j, U
ij=0
si i≥j, de modo que
obtener una expresión
simplificada de B en función de L, D y U,
Teorema 12:
Si C=L+D
& B=I-C
-1A, entonces B=
Actividad 13.
Recordando que c=C
-1b,
obtener la expresión matricial de la iteración
correspondiente al método de Gauss-Seidel,
Teorema 13:
x
(k+1)
=
Actividad 14.
Aplicar D
-1(L+D)
a ambos términos de la expresión anterior y reescribir la
expresión resultante en la forma
Teorema 14:
x
(k+1)
= D
-1(
)
Actividad 15.
Obtener una
expresión que nos permita calcular sucesivamente los distintos
componentes
Teorema 15:
x
(k+1)i
=
Desarrollar dicha expresión para el caso n=3
Actividad 16.
Discutir las
condiciones de convergencia del método de Gauss-Seidel.
Actividad 17.
Problema 3:
Aproximar
la solución del sistema de ecuaciones
{10x
1+x
2+x
3=12,
x
1+10x
2+x
3=12,
x
1+x
2+10x
3=12}
por el método de Gauss-Seidel: iterar desde (x
1,x
2,x
3)=(0,0,0)
hasta que ||x
(k)-x
(k-1)||
∞<0.005
; comparar su velocidad de convergencia con el método de Jacobi.
Trabajo 2
(para su
realización en equipo)
:
Aproximar la solución del sistema de ecuaciones {5x+y=6, x+4y=5}
por el método de Jacobi a partir de x
(0)=(2,2)
y de x
(0)=(10,0) hasta que se cumpla ||x
(k)-x
(k-1)||
∞<0.05
, representando gráficamente en el plano los sucesivos puntos
encontrados.
Aproximar dicha solución por el método de Gauss-Seidel a
partir de x
(0)=(2,2),
representando
gràficamente en el plano los sucesivos puntos encontrados.
Aplicar el método de Jacobi a partir de x
(0)=(2,2)
con el sistema escrito de esta forma: {x+4y=5, 5x+y=6}, representando
gràficamente en el plano los sucesivos puntos encontrados.
Comparar las distintas iteraciones, valorando su convergencia.
Tema
2: Resolver por aproximaciones sucesivas una ecuación no
lineal del tipo f(x)=0 :
Objetivos:
- Desarrollar un algoritmo que nos permita ir acotando en
intervalos cada vez más
pequeños una solución de la ecuación f(x)=0
teniendo en cuenta el signo
de
f(x) en los extremos de un
intervalo.
- Desarrollar un algoritmo que nos permita ir aproximándonos
cada vez más a
una solución de la ecuación f(x)=0 teniendo en cuenta el valor de f(x) en los
extremos de un
intervalo.
- Desarrollar un algoritmo que
nos permita ir acotando en intervalos tan pequeños como queramos
una solución de la ecuación f(x)=0 teniendo en cuenta el
valor de f(x)
en los extremos de intervalos sucesivos.
- Desarrollar un algoritmo que
nos
permita ir aproximándonos cada vez más a una
solución de la ecuación f(x)=0 teniendo en cuenta el
valor de f(x)
en un punto y su derivada.
- Entender las dificultades
que se encuentran con los distintos algoritmos para aproximarse o
acotar una solución de la ecuación f(x)=0.
- Estudiar la velocidad de convergencia
de una sucesión que tienda a una solución de la
ecuación f(x)=0.
- Desarrollar un algoritmo que permita converger lo más ràpidamente posible
hacia una
solución de la ecuación f(x)=0.
Metodología:
- Reflexionar colectivamente, en grupos pequeños y en el
conjunto de la clase, sobre distintos procedimientos para aproximarse a
una solución de la ecuación f(x)=0.
- Deducir el orden de convergencia de distintos métodos de
búsqueda de una solución de la ecuación f(x)=0, en
clase (en grupos pequeños exponiendo a continuación las
conclusiones obtenidas) y a través un trabajo en equipo.
- Trabajar en aula de informática elaborando programas para
aproximar una solución de la ecuación f(x)=0, ejecutarlos
y valorar los resultados obtenidos.
Actividades:
Actividad 1:
teniendo en cuenta
el Teorema de Bolzano,
Teorema -4:
Para todo
intervalo [a,b] de números reales, y toda función
continua f : [a,b]→R, si f(a)·f(b)<0, entonces existe un
número x
c[a,b]
tal que f(x)=0,
si se cumple la premisa del teorema y tomando inicialmente u=a
&
v=b, calculando w=(u+v)/2 y examinando el signo de f(w), estudiar
qué nuevo intervalo deberíamos tomar para seguir acotando
la solución (
método de
la Bisección).
Puede experimentarse gráficamente con un "applet" en
http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/bolzano.htm
Puede encontrarse un modelo de algoritmo en
http://www.uv.es/~pla/Tutoria/mniq/algorit1.gif
Si reiteramos el proceso hasta que la longitud del intervalo sea menor
que una tolerancia ε, ¿de qué dependerá, en
general, el número de veces que debamos reiterarlo?
Actividad 2.
Problema 4:
Si a=0,
b=8, ε=0.25, ¿cuántos pasos serán necesarios como
máximo para llegar a una solución aproximada con esa cota
de error? Obtener una expresión general que nos dé el
número de pasos en función de a, b y ε.
Actividad 3.
Suponiendo a<b
& f(a)·f(b)<0 y tomando inicialmente u=a & v=b,
obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos (u,f(u))
& (v,f(v)) y calcular el punto (w,0) en que corta al eje de
abcisas,
w =
|

|
Examinando el signo de f(w), estudiar
qué nuevo intervalo deberíamos tomar para seguir acotando
la solución (
método de
Regula-Falsi).
Puede experimentarse gràficamente con un "applet" en
http://www.apropos-logic.com/nc/RegulaFalsiAlgorithm.html
Puede encontrarse un modelo de algoritmo en
http://www.uv.es/pla/Tutoria/mniq/algorit2.gif
Actividad 4.
Problema 5:
Aplicar el
método de Regula-Falsi en la figura adjunta hasta que la
longitud del intervalo sea menor a la del segmento indicado (ε):
Analizar las dificultades
encontradas
para finalizar el problema y reflexionar sobre cómo superarlas.
Actividad 5.
Problema 6.
Repetir el
problema anterior en la figura adjunta modificando el método
seguido de modo que cuando dos valores intermedios w consecutivos nos
den valores de f(w) con el mismo signo, en vez de volver a trazar la
recta hasta el mismo punto que en el paso anterior, se trace hasta un
punto con la mitad de la ordenada, según se muestra en la figura
pequeña (
método de
Regula-Falsi modificado)
Puede encontrarse un modelo
de algoritmo
en
http://www.uv.es/pla/Tutoria/mniq/algorit3.gif
Puede experimentarse gráficamente con un "applet" (adaptado para
Netscape 4.5) en
http://www.uv.es/pla/java/Regulafa.html
Actividad 6.
Calculando para un
valor x los
valores de la
función f(x) y de su derivada f '(x), obtener la ecuación
de la recta tangente correspondiente (recta que pasa por el punto
(x,f(x)) de pendiente f '(x) ) y calcular el punto (v,0) en que corta
al eje de abcisas,
v =
|

|
Discutir las dificultades que pueden encontrarse para aproximar la
solución de la ecuación f(x)=0 aplicando reiteradamente
el proceso anterior (
método
de
Newton) y las precauciones que habría que adoptar.
Puede encontrarse un modelo de algoritmo en
http://www.uv.es/pla/Tutoria/mniq/algorit4.gif
Puede experimentarse gráficamente con un "applet" (adaptado para
Netscape 4.5) en
http://www.uv.es/pla/java/Newton.html
Actividad 7.
Problema 7:
Aplicar el
método de Newton a la ecuación f(x)=2x/(1+x
2)
a partir del punto x=1/3
½ (hacer los cálculos
sin aproximar). Interpretar el resultado a partir de la figura adjunta.
Actividad 8.
Definiendo el orden de
convergencia
de una sucesión por la
Definición 8:
Dados pcR+,
αcR
y la
sucesión de números reales (xn)ncN
tal que
α=lim n→∞ xn,
diremos que dicha sucesión tiene orden de convergencia p si y
sólo si existe un número real L≠0 tal que
L=lim
n→∞ (xn+1-α)/(xn-α)p
& si p=1, entonces |L|<1
y utilizando
la expresión del
desarrollo
en serie de Taylor hasta el segundo orden del
Teorema -5:
Para todo
intervalo [a,b] de números reales, toda función real
continua y derivable hasta segundo orden en dicho intervalo, f
cC
2([a,b],R),
y todo par de números α,x
c[a,b],
existe ξ
c[α,x]
tal que
f(x) = f(α) + f '(α)(x-α)
+ f "(ξ)(x-α)2/2
demostrar que para la sucesión obtenida por el
método de Regula-Falsi
se
cumple
Teorema 16:
Para todo f
cC
2([x
0,y
0],R),
x
0,y
0cR tales
que f(x
0)·f(y
0)≠0,
si para todo n
cN,
x
n+1
= x
n
- f(x
n)(y
n-x
n)/(f(y
n)-f(x
n))
y
n+1 =
y
n
& α = lim
n→∞ x
n
& para todo x
c[x
0,y
0],
f "(x)≠0,
entonces existe η
c[α,y
0]
tal que
lim
n→∞ |x
n+1-α|/|x
n-α|
= 1/(1+2f '(α)/(f "(η)(y
0-α)))
Actividad 9.
Problema 8:
Examinar
la figura adjunta para determinar cuál es, en las condiciones
del Teorema 16, el signo de
f '(α)/(f "(η)(y
0-α))
Actividad 10.
Demostrar el
Teorema 17:
Para toda f
cC
2([x
0,y
0],R)
con
x
0,y
0cR tales
que f(x
0)·f(y
0)≠0
& para todo x
c[x
0,y
0],
f "(x)≠0 , el método de Regula-Falsi tiene orden de convergencia
1.
Actividad 11.
Aplicando el
desarrollo en serie de Taylor de f(x) hasta el segundo orden,
así como el desarrollo en primer orden de f '(x),
Teorema -6:
Para todo
intervalo [a,b] de números reales, toda función real
continua y derivable hasta segundo orden en dicho intervalo, f
cC
2([a,b],R),
y todo par de números α,x
c[a,b],
existe ξ
c[α,x]
tal que
f '(x) = f '(α) + f
"(ξ)(x-α)
demostrar el
Teorema 17:
Para todo
subconjunto A de R y toda f
cC
2(A,R),
α,x
0cA, si
para todo n
cN,
x
n+1 =
x
n
- f(x
n)/f '(x
n)
c
A
& α = lim
n→∞ x
n
& f(α)=0 & f '(α)≠0 (
raíz
simple)
& f "(α)≠0
entonces el método de Newton tiene orden de convergencia 2.
¿Qué podría pasar si f "(α)=0?
Actividad 12.
Demostrar el
Teorema 18:
Para todo
subconjunto A de R y toda fcC2(A,R),
α,x0cA, si
para todo ncN,
xn+1 =
xn
- f(xn)/f '(xn)
c
A
& α = lim n→∞ xn
& f(α)=0 & f '(α)=0 (raíz
múltiple)
entonces el método de Newton tiene orden de convergencia 1.
Actividad 13.
Utilizando la
expresión del desarrollo en serie de Taylor hasta el orden m+1,
Teorema -7:
Para todo
intervalo [a,b] de números reales, toda función real
continua y derivable hasta orden m+1 en dicho intervalo, fcCm+1([a,b],R),
y todo par de números α,xc[a,b],
existe ξc[α,x]
tal que
f(x) = ∑
i=0
m f
(i)(α)(x-α)
i/i! + f
(m+1)(ξ)(x-α)
m+1/(m+1)!
y recordando que
Teorema -8:
Para todo m
cN,
(m+1)! = (m+1) m!
demostrar el
Teorema 19:
Para todo
subconjunto A de R y toda f
cC
m+1(A,R),
α,x
0cA, si
para todo n
cN,
x
n+1 =
x
n
- m·f(x
n)/f '(x
n)
c
A (
método de Newton
modificado)
& α = lim
n→∞ x
n
& para todo i=0,1,...m-1, f
(i)(α)=0
& f
(m)(α)≠0 (
raíz de multiplicidad m)
& f
(m+1)(α)≠0
entonces la sucesión (x
n)
ncN
tiene
orden de convergencia 2.
¿Qué podría pasar si f
(m+1)(α)=0?
Actividad
14.
Problema 9:
Aplicar el método de Newton (modificado en su caso) a la
ecuación
f(x) = x3 = 0, representada en la figura
adjunta.
¿Cuál podría ser su orden de convergencia? |

|
Trabajo 3
(para su
realización en equipo)
:
Obtener algebraicamente las soluciones de la ecuación x
2-5x+6=0
.
Aplicar el método de Newton para aproximarse a una
solución α a partir del valor inicial x
0=1
hasta
llegar a una distancia menor a 0'1 de dicha solución.
Calcular
lim
xn→α (x
n+1-α)/(x
n-α)
2
para comprobar que la
sucesión generada por el método de Newton a partir de x
0=1
tiene orden de convergencia 2 .
Tema 3:
Encontrar una función polinómica que pase por un
conjunto de puntos:
Objetivos:
- Demostrar la existencia y unicidad del polinomio interpolador
de grado
menor o igual que m
que pasa
por m+1
puntos de
abcisas distintas.
- Encontrar una fórmula que nos dé directamente la
expresión del polinomio interpolador.
- Encontrar un método para obtener sucesivamente puntos
interpolados a medida que introducimos nuevos puntos para interpolar.
- Encontrar un método que nos dé sucesivos
términos del polinomio interpolador.
- Encontrar un método para interpolar conociendo las
ordenadas de un conjunto de puntos y algunas derivadas en los mismos.
- Entender los problemas de fiabilidad
de la interpolación, especialmente si se realiza fuera del
intervalo en el que se tienen datos (extrapolación) o se
utilizan polinomios de un grado elevado.
Metodología:
- Deducir enunciados lógicamente, trabajando en la medida de
lo posible en grupos pequeños para exponer a
continuación públicamente su demostración.
- Aplicar algoritmos para resolver problemas en grupos
pequeños, exponiendo a continuación públicamente
su resolución.
- Trabajar en aula de informática elaborando programas para
interpolación y regresión lineal, ejecutarlos y valorar
los resultados obtenidos.
Actividades:
Actividad 1.
Teniendo en cuenta
la condición necesaria y suficiente para que un sistema de
ecuaciones lineales sea determinado, el valor del
determinante de Vandermonde
Teorema -9:
|x
ki|
= ∏
k>i (x
k-x
i)
y la
Definición 9:
Diremos que p(x) = ∑
i=0 m
a
i
x
i es un
polinomio
interpolador de grado menor o igual que
m en los puntos {(x
k,f
k)
/ k=0,1...m} si y sólo si, para todo k=0,1...m, p(x
k)=f
k
,
demostrar el
Teorema 20:
Si para
todo i≠k, x
i≠x
k,
entonces existe un único polinomio interpolador de grado menor o
igual que
m
en los puntos {(x
k,f
k)
/ k=0,1...m} .
Actividad 2.
Teniendo en cuenta
que
∑
i=0 m Ξ
i
=
Ξ
k + ∑
i≠k Ξ
i
para todo k=0,1...m, y que
∏
j≠i Ξ
kj
= Ξ
kk·∏
j≠i & j≠k Ξ
kj
para
todo i≠k
demostrar el
Teorema 21:
Si para todo
i≠k, xi≠xk,
entonces p(x) =
∑ i=0 m fi
|
∏
j≠i (x-xj)
∏
j≠i (xi-xj)
|
es el polinomio interpolador de {(x
k,f
k)
/ k=0,1...m}
(
método de Lagrange).
Actividad 3.
Problema 10:
Dados los
puntos
x
k
|
1
|
2
|
4
|
5
|
f
k
|
0
|
2
|
12
|
21
|
obtener por el método de Lagrange su interpolación para
x=3
(sugerencia: al aplicar la fórmula, escribir primero cada
denominador para evitar errores)
Actividad 4.
Demostrar el
Teorema 22:
Si para
todo i,j=0,1...m, si i≠k, entonces x
i≠x
k,
& si i+j≤m , entonces p
i,j
es el
polinomio interpolador de grado
menor o igual que j en {(x
k,f
k)
/ k=i,i+1...i+j},
entonces para todo j=1...m, i=0,1...m-j,
pi,j(x)
=
|
(xi+j-x)pi,j-1(x)
+ (x-xi)pi+1,j-1(x)
xi+j
- xi |
(sugerencia: comprobar que p
i,j(x
i)=f
i
& p
i,j(x
i+j)=f
i+j
& para todo k=i+1...i+j-1, p
i,j(x
k)=f
k
).
Actividad 5.
Teniendo en cuenta
que, con los p
i,j
definidos en el Teorema 22,
Teorema 23:
para todo
i=0,1...m & para todo x
cR,
p
i,0(x) = f
i
y
Teorema 24:
p
0,m
es el polinomio interpolador de grado menor o igual que
m en {(x
k,f
k)
/ k=0,1...m} ,
utililizar el algoritmo

(
método
de Neville)
para resolver el
Problema 11:
Dados los
puntos
obtener por el método de Neville su interpolación para
x=3 .
Añadir a continuación el punto (x
3,
f
3) = (5, 21) y
obtener la nueva
interpolación para x=3 .
Comparar el resultado obtenido con el del problema 10.
Actividad 6.
De acuerdo con la
Definición 10:
Con {(x
k,f
k)
/ k=0,1...m} tal que para
todo i,j=0,1...m, si i≠k, entonces x
i≠x
k,
definiremos las
diferencias
divididas
f[x
i,x
i+1,...x
j]
mediante
f[xi]
=
|
fi |
para
todo i=0,1...m
|
f[xi,xi+1,xj]
=
|
f[xi+1,...xj]
- f[xi,...xj-1]
xj
- xi
|
para
todo i=0,1...m-1,
j=i+1,...m
|
y calculándolas con el algoritmo
f[x0]
f[x1]
f[x2]
f[x3]
|
> f[x0,x1]
> f[x1,x2]
> f[x2,x3]
|
>
f[x0,x1,x2]
> f[x1,x2,x3]
|
>
f[x0,x1,x2,x3]
|
Problema 12:
comprobar
a partir de los puntos
k
|
0
|
1
|
2
|
3
|
x
k
|
1
|
2
|
4
|
5
|
f
k
|
0
|
2
|
12
|
21
|
y comparando con los resultados obtenidos por el método de
Neville que, para m=0,1,2,3,
p
m(x)
= ∑
j=0 m
f[x0,...xj]
∏
i=0 j-1
(x-x
i)
es el polinomio
interpolador de grado
menor o igual que
m
en {(x
k,f
k)
/ k=0,1...m} (
método
de
Newton)
Actividad 7.
Recordando que, de
acuerdo con la fórmula de Taylor
Teorema -10:
p
m(x)
= ∑
j=0 m
[
f
(j)(x
0)
/ j! ] (x-x
0)
j
es el
polinomio de grado menor o igual que
m
que cumple las condiciones p
m(j)(x
0)=f
(j)(x
0)
para j=0,1...m
así como que
Teorema -11:
lim
x→xi
(f(x)-f(x
i))/(x-x
i)
= f '(x
i)
tomaremos
Definición 11:
f[x
i,x
i+1,...x
j]
= f
(j-i)(x
i)/(j-i)!
si x
i=x
i+1=...=x
j
y conocemos la derivada de orden j-i en el punto x
i
de la función
f
a
interpolar (naturalmente, será también f
i=f
i+1=...=f
j),
con lo cuál podremos generalizar el método de Newton
repitiendo
r
veces el punto (x
i,f
i)
si conocemos las derivadas hasta el orden r-1 en x
i
(
interpolación de Hermite).
Problema 13:
Aplicar
el método de Newton generalizado a partir de los datos p(0)=1,
p'(0)=2, p(1)=3. Comprobar que el resultado obtenido es el polinomio de
grado igual o inferior a 2 que cumple dichas condiciones.
Actividad 8.
Asumiendo que el
error de la interpolación polinómica de grado menor o
igual que
m
viene dada por
Teorema -12:
f(x)-p
m(x)
= [f
(m+1)(ξ(x))/(m+1)!]
∏
i=0 m
(x-x
i) tal
que ξ(x)
c[a,b]
tal que para todo
i=0,1...m, x
ic[a,b]
Problema 14:
Acotar el
valor de f(3) suponiendo que
x
k
|
1
|
2
|
4
|
5
|
f(x
k)
|
0
|
2
|
12
|
21
|
y que la cuarta derivada de la función f(x) en el intervalo
[1,5] está entre 1 y 2 .
Tema
4. Obtener una
solución aproximada de la integral definida de
una función, ∫ab
f(x)dx :
Objetivos:
- Obtener unos pesos Wk
independientes de la función f(x) tales que sumando su producto
por los correspondientes valores de la función en determinados
nodos xk, ∑
i=0 m Wk
f(xk), proporcione la
integral exacta para
polinomios hasta un cierto grado, y una buena aproximación para
otras funciones.
- Aprender a acotar el error de dicha aproximación
expresándolo
como el producto de un factor C independiente de la función f(x)
por la derivada de un cierto orden r
de la función en algún punto ξ del intervalo de
integración [a,b] , Cf(r)(ξ).
- Estudiar el caso de nodos equidistantes, xk=a+kh
(Fórmula de Newton-Cotes).
- Aprender a mejorar la aproximación aumentando el
número de nodos.
- Aprender a mejorar la aproximación utilizando valores de
la derivada de la función.
- Aprender a mejorar la aproximación escogiendo de forma
adecuada los nodos (integración gaussiana).
- Aprender a valorar comparativamente distintos métodos
teniendo en cuenta tanto su máximo error de aproximación
como su coste de computación.
Metodología:
- Utilizar el método de coeficientes indeterminados para
obtener tanto los pesos Wk
como el factor C del error, a partir de la integral exacta de potencias
simples y resolviendo en grupos pequeños los correspondientes
sistemas de ecuaciones para exponer públicamente a
continuación los resultados obtenidos.
- Aplicar las fórmulas obtenidas para aproximar la integral
de determinadas funciones trabajando en grupos pequeños y
exponiendo públicamente a continuación los resultados
obtenidos.
- Trabajar en aula de informática elaborando programas para
la aproximación de integrales por distintos métodos,
valorando y comparando los resultados obtenidos.
Actividades:
Actividad 1.
Teniendo en cuenta
la
Definición 14:
Siendo f:[a,b]→R una función integrable, llamaremos
integral numérica polinómica
de
f
en los nodos x
k
tales que a≤x
0<...<x
m≤b
a la integral en el intervalo [a,b] del polinomio interpolador de grado
menor o igual que
m
en los
puntos {(x
k,f(x
k)}
k=0,1...m
y utilizando la expresión del polinomio interpolador
proporcionada por el Método de Lagrange, justificar la
existencia de unos pesos W
k
independientes de
la función f(x) con los cuáles ∑
i=0 m
W
k
f(x
k)
sea su integral numérica polinómica.
Actividad 2.
Teniendo en cuenta
que una integral numérica polinómica en
m+1 nodos es igual a
la integral
exacta para polinomios de grado menor o igual que
m, encontrar un
sistema de
ecuaciones para la obtención de los pesos Wk y demostrar que si
para todo i≠k, x
i≠x
k,
dicho sistema de ecuaciones tiene solución única.
Actividad 3.
Deducir
la
fórmula de la integral numérica polinómica
tomando como nodos los extremos del intervalo (
Fórmula del Trapecio),
T=
Actividad 4.
Problema 15:
Aplicar
la Fórmula del Trapecio para obtener una aproximación a
la integral de (1+x
3)
½ entre
0 y 10 (ver
Figura en
http://www.uv.es/pla/Tutoria/mniq/p15.gif).
Actividad 5.
Teniendo en cuenta
la expresión del error de la interpolación
polinómica de grado menor o igual que
m dada por el
Teorema -12,
así como que
Teorema -13:
Para toda
función integrable f:[a,b]→R, |∫
ab
f(x)dx|
≤ ∫
ab |f(x)|dx .
Teorema -14:
Para todo
par de funciones integrables f:[a,b]→R, g:[a,b]→R
+,
existe ξ
c[a,b]
tal
que
∫
ab
f(x)g(x)
dx = f(ξ
)
∫
ab g(x) dx
demostrar el
Teorema 25:
El valor
absoluto del
error de la integral numérica polinómica en m+1 nodos
puede acotarse por el producto de dos factores, uno de los
cuáles depende únicamente de los nodos, y el otro depende
únicamente de la derivada de orden m+1 en algún punto ξ
del intervalo de integración [a,b].
Actividad 6.
Suponiendo que el
error de un método de integración aproximada sea de la
forma
ε = C·f
(r)(ξ)
para algún punto ξ del intervalo de integración [a,b],
deducir cómo utilizar la función f(x)=x
r para
obtener el valor de C.
NOTA: en caso de obtenerse C=0 puede inferirse que el método es
exacto para dicha función, y deberá repetirse el proceso
sustituyendo
r
por
r+1 .
Actividad 7.
Obtener
la
expresión del error para la Fórmula del Trapecio,
ε
T =
Indicar
para qué polinomios será exacta dicha fórmula.
Actividad 8.
Problema 16:
Acotar ∫
0 10
(1+x
3)
½dx
sabiendo que |f "(x)|<1'468 en dicho intervalo.
Actividad 9.
Teniendo en cuenta
el
Teorema -15:
∫
ab
f(x) dx = ∫
u-1(a)
u-1(b)
f(u(t)) u'dt
demostrar el
Teorema 26:
En el caso
de nodos equidistantes x
k=a+kh,
con k=0,1...m, h=(b-a)/m, demostrar que los pesos para el
cálculo de la correspondiente integral numérica
polinómica (pesos de
Newton-Cotes)
tienen la forma W
k=hW'
k(m),
donde W'
k(m), que son
los pesos
correspondientes al caso h=1, sólo dependen de
k y de
m (pero no de
a y de
b).
Puede utilizarse para la demostración la expresión
de los pesos W
k
obtenida en la Actividad 1,
aplicando en la correspondiente integral el cambio de variable x=a+th .
Actividad 10.
Obtener los pesos
de Newton-Cotes para m=2 y el intervalo [0,2]. A partir de los mismos,
obtener la fórmula general (
Fórmula
de Simpson) para la integral numérica polinómica
en los nodos {a, a+h, a+2h} = {a, (a+b)/2, b},
S =
Actividad 11.
Problema 17:
Aproximar
mediante la Fórmula de Simpson ∫
-1
1 e
x2
dx .
Actividad 12.
Teniendo en
cuenta el
Teorema -16:
Para todo fcC
r(R→R),
xcC1(R→R),
|
dr f
dtr
|
(x(t)) = ﴾dx/dt﴿r
|
dr f
dxr |
(x)
|
así
como el
Teorema -15 y el Teorema 26, demostrar el
Teorema 27:
Si la
expresión del error para aproximar ∫
0 m
f(t)dt con nodos equidistantes y h=1 es
ε' = C' |
dr f
dtr |
(ζ) para
algún ζc[0,m],
|
entonces la expresión general del error para aproximar ∫
ab
f(x)dx con nodos equidistantes y h=(b-a)/m será
ε = C |
dr f
dxr
|
(ξ) para
algún ξc[a,b]
con C=hr+1 C' |
Actividad 13.
Obtener la
expresión del error para la Fórmula de Simpson para el
intervalo [0,2] (con h=1), y a partir de ella obtener la
expresión general del error para la Fórmula de Simpson
para el intervalo [a,b] (con h=(b-a)/2),
ε
S =
Indicar para qué polinomios será exacta dicha
fórmula.
Actividad 14.
Problema 18:
Acotar el
error de la Fórmula de Simpson aplicada a ∫
-1
1 e
x2
dx .
Valorarlo.
Actividad 15.
Teniendo en
cuenta la
Definición 15:
Siendo f:[a,b]→R una función integrable, llamaremos
integral numérica compuesta
de grado
m
en los mM+1 nodos
{a+kh}
k=0,1...mM ,
con h=(b-a)/(mM), a
∑
i=0
M-1 N
m(i)
,
donde N
m(i)
es
la fórmula de Newton-Cotes de grado
m
para la integración
numérica polinómica de la función f(x) en el
intervalo [a+imh,a+(i+1)mh] ,
demostrar el
Teorema 28:
Para toda
función integrable f:[a,b]→R , su integral numérica
compuesta de grado 2 en los 2M+1 nodos {a+kh}
k=0,1...2M
,
con h=(b-a)/(2M) (
regla
de Simpson),
viene dada por
[f(a) + 4f(a+h) +
2f(a+2h) + 4f(a+3h)
+ ... + 2f(b-2h) + 4f(b-h) + f(b)] h/3
= [f(a) + f(b) + ∑
i=1 M-1
2f(a+2ih)
+ ∑
i=0 M-1 4f(a+(2i+1)h)](b-a)/(6M)
Actividad 16.
Teniendo en
cuenta el
Teorema -17:
Para toda
función continua f:[a,b]→R y todo conjunto de puntos ξ
ic[a,b],
i=1...n, existe ξ
c[a,b]
tal que
∑
i=1
n f(ξ
i) =
nf(ξ)
demostrar el
Teorema 29:
Para toda f
cC
4([a,b],R),
el error de la regla de Simpson para aproximar ∫
ab
f(x)dx viene dado por
ε
RS
= - f
(4)(ξ)(b-a)
5/(2880M
4)
para algún ξ
c[a,b]
Actividad 17.
Problema 19:
¿Qué incremento h
deberemos tomar para obtener una aproximación a ∫-1
1 e
x2 dx
con un error menor a 0'01 mediante la regla de Simpson?
Actividad 18.
Calcular los
pesos adecuados para que W'0
f(0)+W'1
f(1)+W'2 f
'(0)+W'3
f '(1) nos dé el valor exacto de
∫0 1
f(t)dt para polinomios hasta
el tercer grado. A partir de dichos pesos, y teniendo en cuenta el
Teorema -18:
Para todo
fcC
r(R→R),
xcC1(R→R),
df/dt = (df/dx)·(dx/dt) ,
obtener la fórmula general (Fórmula
del Trapecio Corregida) que resulta de sustituir la
integral ∫ab
f(x)dx por la integral del polinomio interpolador de Hermite para el
que coinciden los valores de la función y de su primera derivada
en los extremos del intervalo,
TC=
Comparar con la fórmula obtenida en la Actividad 3 y justificar
por qué se llama Fórmula del Trapecio Corregida. ¿En qué
caso ambas fórmulas coincidirán?
Actividad 19.
Obtener la
expresión del error para la Fórmula del Trapecio
Corregida para el
intervalo [0,1] (con h=1), y a partir de ella obtener la
expresión
general del error para la Fórmula del Trapecio Corregida para el
intervalo [a,b]
(con h=b-a),
εTC
=
Indicar para qué polinomios será exacta dicha
fórmula.
Actividad 20.
Problema 20:
Acotar ∫0 10
(1+x3)½dx
sabiendo que |f (4)(x)|<10
en dicho
intervalo (ver Figura en http://www.uv.es/pla/Tutoria/mniq/p15.gif).
Actividad 21.
Demostrar el
Teorema 30:
Para toda fcC4([a,b],R),
[f(a)+f(b)]h/2 + [f
'(a)-f '(b)]h
2/12
+ h∑
i=1 M-1 f(a+ih)
con
h=(b-a)/M (
regla del
Trapecio Corregida)
da una aproximación
a ∫
ab
f(x)dx con un error
ε
RTC
= f
(4)(ξ)(b-a)
5/(720M
4)
para algún ξ
c[a,b]
Actividad 22.
Teniendo en
cuenta que el coste computacional del cálculo numérico
aproximado de una integral puede medirse por el número de veces
que se evalúa la función f(x) o su derivada f '(x),
comparar el coste computacional de la regla de Simpson y la regla del
Trapecio Corregida con el mismo valor de M. ¿Cuál
sería el coste computacional de la regla de Simpson con M=11?
¿Para qué valor de M la regla del Trapecio Corregida
tendría el mismo coste computacional? Comparar la
estimación de los errores de ambas reglas con el mismo coste
computacional.
Actividad 23.
Problema 21:
¿Qué incremento h
deberemos tomar para obtener una aproximación a ∫-1
1 e
x2 dx
con un error menor a 0'01 mediante la regla del Trapecio Corregida?
Comparar su coste computacional con el del Problema 19 (Actividad 17).
¿En qué casos será preferible utilizar la regla
del Trapecio Corregida?
Actividad 24.
Calcular los
pesos W'0 y W'1
y
el valor de c
para los
cuáles W'0 f(-c) + W'1
f(c) da el valor exacto de
∫-1 1 f(t)dt
para polinomios
hasta el segundo grado. Comprobar que {-c, c} son las raíces del polinomio de Legendre
de 2º grado, P2(t)=(3t2-1)/2,
que cumple las condiciones de ortogonalidad
∫-1 1 P2(t)P1(t)dt
= 0
∫-1 1 P2(t)P0(t)dt
= 0
con P0(t)=1 y P1(t)=t
polinomios de Legendre que cumplen a su vez
∫-1 1 P1(t)P0(t)dt
= 0
Actividad 25.
Obtener la
expresión del error de la integral numérica
polinómica de ∫-1 1
f(t)dt
en las raíces del polinomio de Legendre de 2º grado.
Indicar para qué polinomios será exacto dicho
método.
Actividad 26.
Obtener una
fórmula general para la integración de ∫ab
f(x)dx realizando el cambio x=(a+b)/2 + (b-a)t/2 y utilizando la
integral numérica polinómica de ∫-1 1
f(t)dt en las raíces del polinomio de
Legendre de
2º grado,
L2 =
con un error
εL2
=
Actividad 27.
Problema 22:
Aproximar, utilizando la fórmula derivada de la
integración numérica polinómica en las
raíces del polinomio de Legendre de 2º grado,
a) ∫-1
1
e x2 dx
b) ∫0 10
(1+x3)½dx
Acotar los correspondientes errores.
Actividad 28.
Demostrar el
Teorema 31:
Para toda fcC4([a,b],R),
(h/2)∑
i=0 M-1
[f(a+(i+1/2-1/(2·3½))h)
+
f(a+(i+1/2+1/(2·3½))h)] con h=(b-a)/M
da una aproximación a ∫
ab
f(x)dx con
un error
ε
RL2
= f
(4)(ξ)(b-a)
5/(4320M
4)
para algún ξ
c[a,b]
Valorar para qué valores de
M
puede ser preferible utilizar esta fórmula.
Trabajo 4
(para su
realización en equipo)
:
Obtener los coeficientes W
0,
W
1,
W
2 y W
3
que hacen
que
W
0
f(a) + W
1
f(a+h) + W
2 f(a+2h) +
W
3
f(b),
con h=(b-a)/3, dé el
resultado
exacto de la integral
∫
ab
f(x)dx
si f(x) es un polinomio de
grado menor o
igual que 3 (Fórmula de Newton-Cotes para m=3). Obtener la
expresión del error para cualquier función
analítica f(x).