3.3.1 Números de máquina aproximados

Estamos interesados en estimar el error en que se incurre al aproximar un número real positivo x mediante un número de máquina del MARC-32. Si representamos el número mediante:

$$x = (a_{1}a_{2} \cdots a_{24}a_{25}a_{26} \cdots)_{2} \times 2^{m}$$

en donde cada a_i es 0 ó 1 y el bit principal es a₁ = 1. Un número de máquina se puede obtener de dos formas:

• Truncamiento: descartando todos los bits excedentes $a_{25}a_{26}\dots$. El número resultante, x' es siempre menor que x (se encuentra a la izquierda de x en la recta real).
• Redondeo por exceso: Aumentamos en una unidad el último bit remanente a₂₄ y después eliminamos el exceso de bits como en el caso anterior.

Todo lo anterior, aplicado al caso del MARC-32, se resume diciendo que si x es un número real distinto de 0 dentro del intervalo de la máquina, entonces el número de máquina x^* más cercano a x satisface la desigualdad:

$$\delta = \left \vert \frac{x - x^{*}}{x} \right \vert \leq 2^{-24}$$ (20)

que se puede escribir de la siguiente forma:

$$x^{*} = x(1 + \delta) \vert\delta\vert \leq 2^{-24}$$

Ejemplo 6: ¿Cómo se expresa en binario el número x = 2/3? ¿Cuáles son los números de máquina x' y x'' próximos en el MARC-32?

El número 2/3 en binario se expresa como:

$$\left ( \frac{2}{3} \right )_{10} = (0.\overline{10})_{2}$$

Los dos números de máquina próximos, cada uno con 24 bits, son:

$$(0.101010\cdots1010)_{2}$$ x' =

$$(0.101010\cdots1011)_{2}$$ x'' =

en donde x' se ha obtenido por truncamiento y x'' mediante redondeo por exceso. Calculamos ahora las diferencias x - x' y x'' - x para estimar cual es el error cometido:

$$\frac{2}{3} \times 10^{-24}$$ x - x' =

$$\frac{1}{3} \times 10^{-24}$$ x'' - x =

Por tanto, el número más próximo es fl(x) = x'' y los errores de redondeo absoluto y relativo son:

$$\frac{1}{3} \times 10^{-24}$$ |fl(x) - x| =

$$\left \vert \frac{fl(x) - x}{x} \right \vert$$ = 2^-25 < 2^-24